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『Q.E.D.証明終了』のタイトルバック、n次元の球の体積

分かった! 今週からスタートのNHKドラマ8、高橋愛(モーニング娘。)&中村蒼

主演『Q.E.D.証明終了』のタイトルバックに映されてる数式の意味を、ほぼ解

できた♪ 去年の福山雅治&柴咲コウ『ガリレオ』の数式よりもっと瞬間的な映

像で、スロー再生&静止画でもなかなか上手く見えないし、数式の量も多くて雑多

な並べ方になってる。ただ、数式のレベルは『ガリレオ』より少し低いし、物理では

なく単なる数学だから、その意味ではラクだった。

          

一言でいうなら、あのオープニングは「n次元の球の体積」を求めてるのだ。と言っ

てもSFとかトンデモ科学みたいなお遊びではなくて、ちゃんとした数学の求積だ。

       

まず普通の球、つまり3次元の球は、原点中心・半径1として、高校数学で

「x²+y²+z²=1」という式で表してた。これは球面の式だから、球の中身まで含

めて正確な書き方をするなら、{(x,y,z)|x²+y²+z²≦1}。つまり、不等式を満

たす点(x,y,z)の集合だ。

           

続いて原点中心・半径1の円(中身も含む)を考えてみると、{(x,y)|x²+y²≦1}

と表される。この式は、球の式を2次元ヴァージョンにした形になってるから、円は

2次元の球」と呼び、円の面積は「2次元の球の体積」と呼ぶことにしよう。もちろ

んここで、「体積」という言葉の意味が拡張されてるわけで、円の体積はπとなる。

             

同様に考えると、「1次元の球」というのも定義できる。つまり、{(x)|x²≦1}で、

要するにx軸の2点、(-1)と(+1)両端とする線分のことだ。すると、「1次元の

球の体積」とはこの2点間の距離のこと。つまり、2だ。

            

新しい記号を導入して、ここまでをまとめてみよう。まず、拡張された意味での体

積を表すのに「vol」という記号を使う。英語の「volume」(ヴォリューム)の省略

だ。また、3次元の球をS³と表す。英語の「Sphere」(スフィア)の省略から造っ

た記号だ。同様に、2次元の球(つまり円)をS²、1次元の球(つまり線分)をS¹

とする。Sの右上の数字は、普通はこうではないようだけど、ここではドラマの映

像に合わせておこう。この時、次のようにまとめられる。

          

  (1次元の球の体積):V₁=vol(S¹), S¹={(x)|x²≦1}

  (2次元の球の体積):V₂=vol(S²), S²={(x,y)|x²+y²≦1}

  (3次元の球の体積):V₃=vol(S³), S³={(x,y,z)|x²+y²+z²≦1}

       

美しい! これぞ数学の形式美というもんだ♪ で、ここから先は機械的に4次

元、5次元・・・n次元と拡張していくことになる。普通の感覚だと非現実的かも知

れないけど、数学にとってはリアルな存在。これらの球の体積を、積分計算を使っ

て求めてたのがあのタイトルバックなのだ。画面では4次元まで映ってた。

    

今晩はもう時間がないから、簡単なV₂までの式だけを再現しとこう。高校の教

科書レベルの簡単な定積分(V₂は数Ⅲの置換積分で、x=sinθと置いてる)に

すぎない。残りのV₃やV₄については来週以降のお楽しみってことで♪ 大学

レベルの数学が登場することになる。

                       

090110    

   

   

090110b

      

    

     

   

   

   

   

   

   

   

     

   

     

さて、この後はいよいよ、山P=山下智久&新垣結衣&戸田恵梨香&比嘉愛未

&浅利陽介の『コード・ブルー 新春スペシャル』が登場だ。明日中にはレビュー

をアップする予定。『Q.E.D.』で時間を使いすぎちゃったから、どの程度マジメ

にレビューするか、ビミョーだけどね。

ではまた。。☆彡

     

    

   

P.S. 4年半後、n次元の球の体積を証明する記事をアップした。

    n次元の球の体積(帰納法による証明)と、cosθのn乗の部分積分

        

        ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

cf.『Q.E.D.証明終了』というタイトルバックの正確な意味

  『Q.E.D.証明終了』第1話、黒板の数式の解説

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