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ドーナツ型とボール型の区別~ポアンカレ予想の理解2

先日アップした記事、「ポアンカレ予想」の正確な数学的理解を目指して、に続い

て、第二弾の記事をアップしよう。ポアンカレ予想に関する話には、ボール型とドー

ナツ型、2つの簡単な形がよく出て来るけど、これらを数式でハッキリ区別しようと

いう記事だ。ポアンカレ予想と関係なしに考えても、意味のある内容だと思う。

          

ネット上の説明を色々見ると、球面とドーナツ型の曲面(円環面=トーラス)は違

うという話がよく持ち出されてる。でもほとんどは、曲面上にロープやループを張って

手元とか一点に引き締められるかどうかを語る大まかなイメージ的説明だ。「トポ

ロジー」の世界だからそれで済むと言えなくもないけど、話が一気に飛びすぎてる

感がある。数学なのに、どうして数式による説明が見当たらないのか。球面は数

式でさんざん扱ってるはずだし、教科書に載ってる話にすぎない。

                                   

多くの人が理解できる高校レベルの数式で、球とドーナツがどう違うのかを説明

したサイトがあればいいのに、なかなか見当たらない。ポアンカレ予想の説明で

は皆無だ。ポアンカレと無関係でも、円環面の方程式を書いてるサイトというの

が少なくて、しかも大部分は方程式を説明抜きで出している。少なくとも2009年

3月21日の時点において、Yahoo!とGoogleで「円環面の方程式」、「トーラス

の方程式」などを検索した結果はそうだった(実際に見たりフレーズ検索したりし

て、無関係なものは除いた結果)。

                                                     

この式は、高校数学で実際に登場することはないけど、理系の高校生が導ける

レベルなのは間違いない。実際、私は昔、自力で解いた覚えがあるし、ハイレベ

ルな高校参考書で見かけたことがあるような気もする。今日、久し振りに計算して

みたけど、簡単な計算にすぎないし、出てきた結果は確かに国内のサイトや英語

版ウィキの数式と一致した。

            

そこで以下、円環面の方程式(普通の2次元曲面の式)をまず簡単に導き、その

後で球面の方程式と比較しながら、n次元へと拡張してみよう。なお、「円環面」と

か「トーラス面」という呼び方は珍しいので、今後は単に円環とかトーラスと呼ぶ

ことにする(たまに面という言葉も付ける)。一方、「球面」は球(中身を含む「球体」)

と分ける方が普通だと思うので、今後も基本的には球面と呼ぶ。「球の方程式」と

呼ぶ人も少なくないので、念のため。

                 

あと、「2次」とか「3次」という次数の呼び名は、空間全体と、曲面と、方程式とで、

それぞれ別扱いとなる。誤解や混同の多い点なのでご注意あれ。たとえば普通

のドーナツとかトーラスの式は、3次元空間における2次元曲面で、4次方程式を

用いて表すことが多い。

                

         ☆          ☆          ☆                   

090321    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

     

上の円環の図は「ウィキディア」で公開されてるものを少しだけ処理したものだ。

余分なものを消去し、重要なものを強調して、ほぼ2分の1に縮小してある。やや

真ん中の穴が小さいけど、何とか分かるだろう。円環の中心軸(垂直の線)を z軸

とし、図のように x 軸、y 軸を設定する。円環の太さを r 、円環の空洞の中心

一周する円の直径を Rとすると、R > r > 0

                                            

いま、z 軸を含む平面による、円環の切り口を考える。例えば、本物のドーナツ

をナイフで真上から4等分とか切り分けた時のことをイメージすればいい。ただし、

090321b 円環は本物のドー

 ナツと違って中身

 が空洞だから、切

 り口は円(丸い線)

 になる。円上の点

 P(x,y.z)がみ

 たすべき方程式は、

 図の直角三角形で

                                   三平方の定理を考えて、

       {(√x²+y²)-R }²+z² = r²  (丸カッコ内の全体がルートの中)

                

これが直感的に一番分かりやすい円環(トーラス)の方程式だろう。z の絶対値

記号(縦線2本)が消えるのは、2乗したからだ。ルートの記号(√)を消したい場

合は変形して(末尾のP.S.参照)次の4次方程式になる(ちなみに球面は2次)。

       (x²+y²+z²+R²ーr²)² = 4R² (x²+y²)

         

英語版ウィキの「Torus」の項目には、この順で両方載せてあるけど、普通この種

の話でルートは使わないので、この下側の式を基本にしよう。実際、国内の2つ

のサイト(東大と愛知教育大)もルート無しの4次式を基本にしている。

                     

ちなみに、この式を求めるには、z 軸に垂直な水平面による切り口(二重の円)

を考えてもいいが、似たような話だから省略する。また、まったく別な形の式と

して、三角関数を使ったパラメーター(媒介変数)表示もあるけど、一般的ではな

いし必要でもないのでここでは扱わない。興味のある方は英語版ウィキその他を

ご参照あれ♪ (水平回転の角と垂直回転の角を、2つのパラメーターにする)

             

             

          ☆          ☆          ☆

090321c 

 もう一方の、球面の方程式(原

 点中心、半径r )は、高校の教

 科書の通り、

       x²+y²+z² = r²

        

 より正確な表現は、この式を

 みたす点の集合と考えて

    {(x,y,z)|x²+y²+z²=r² }

だけど、この記事では全て省略する。ちなみに図は、英語版ウィキメディアから

頂いたものに少しだけ手を加えたものだ。また、中身も含む「球体」の場合は、

式の等号「=」を不等号「≦」に変えればよい。

                  

上の式は、我々が実際に住んでる3次元空間における2次元球面だ。3次元空

間とは、x,y,zの3文字(日常的表現なら縦、横、高さ)あるという意味。2次元と

は、方程式が1本あるから1文字消して2文字に出来ると考えてもしいし、面だか

らと考えてもいい。あるいは、地球の表面のように、経度と緯度の2つで場所が

決定するから2次元とも言える。同様に、最初に求めた円環は、正確には3次元

空間における2次元円環だ(省略して3次元の円環と言うこともある)。

            

この自然な拡張として、2次元空間における1次元球面(つまり)の方程式は、

        x²+y² = r²   

     

すると、4次元空間における3次元球面の方程式ならこうなるはずだ。

        x²+y²+z²+w² = r²

           

n+1次元空間におけるn次元球面なら、変数(アルファベット)をn個にすればよい。

            

         ☆          ☆          ☆

3次元球面を2次元と4次元に拡張した上で、元に戻って円環を考えてみる。3次

元でさえ少ないから、2次元の円環の式や4次元の円環の式は、ネット上でまだ

発見できてない。でも、もし球面と同様の自然な拡張を行うなら次のようになる。

                                        

2次元空間における1次元円環の方程式は、

     (x²+y²+R²ーr²)² = 4R² x²

        

これは (x±R)²+y² = r² に変形できるから、半径 r の円2つ(中心間の距離

2R)を表す。一方、ネットであちこち調べると、1次元トーラスは円とだけ書いて

ある。2つの円を区別せずに1つとみるのか、片方だけみるのか、あるいは数式

からの拡張に小さな問題があるのか、今のところ不明だ。まあ、球面のことを考

えても、基本的な考え方は正しいだろう。

            

続いて、4次元空間における3次元円環の方程式

     (x²+y²+z²+w²+R²ーr²)² = 4R² (x²+y²+z²)

    

n+1次元空間におけるn次元円環なら、変数をn個に増やせばいいだけだろう。

            

        

             ☆          ☆          ☆

こうして、2次元の円環や球面の式を形式的に拡張することで、3次元円環とか、

3次元球面の意味も数学的に明確になるし、ドーナツ型とボール型の区別も明

確になる。また、イメージしにくいn次元への一般化も、理論的に可能となるわけ

だ。この後は、トポロジー(位相幾何)特有の議論を理解していく必要がある。

                                         

とりあえず、第二弾はこの辺で。第三弾はかなり後にずれ込みそうだ。

ではまた。。☆彡  

        

        

        ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

P.S.円環の方程式の変形は次の通り。右辺を√の項だけにして両辺2乗する。

    {(√x²+y²)-R }²+z² = r² ⇔ x²+y²-2R (√x²+y²)+R²+z²-r² = 0

                      ⇔ x²+y²+z²+R²-r² = 2R (√x²+y²)

                      ⇔ (x²+y²+z²+R²ーr²)² = 4R² (x²+y²) 

         

P.S.2 以上では「ドーナツ型トーラス」だけを考えていて、「平坦トーラス」と呼

      ばれる奇妙な図形については考慮してない。普通はドーナツ型を考え

      るし、ポアンカレ予想の話でもそうだから、差し当たり問題ないだろう、

          

         ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 

cf.「ポアンカレ予想」の正確な数学的理解を目指して  

  「閉じた宇宙」と閉多様体~ポアンカレ予想の理解3 

  ドーナツ(3次元円環=トーラス)の体積

  ドーナツ(円環=トーラス)の表面積とパラメーター表示

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コメント

楽しんで拝見させていただいています。
文中の±の表記の話について
どちらでも同じ事なので些細ですが、
(x±R)²+y² = r²
は拡張元の最初の式
x²+y²+z²+R²-r² = 2R (√x²+y²)
と対応した式の変形として記述されているようなので、
(x-R)²+y² = r²
とするのが解釈上自然ではないかと思います。
(図の説明でR>r>0が自明であるため)

投稿: 通りすがり | 2012年11月30日 (金) 00時27分

> 通りすがり さん
   
はじめまして。コメントどうもです。
   
細かく読んでくださってるのは嬉しいし、まったく
些細な問題なのですが、文脈に誤解があるようですね。
話のスタート、「拡張元」の式が違ってます。
      
記事の中段に、赤字で「この下側の式を基本にしよう」と
書いてます。つまり、2乗してルートを消した式が基本。
そこから変形したから、(x±R)²となってるのです。
実際、変形の直前には、2乗してルートを
消した式を書いてあります。
ルートの式や図は使ってません。    
        
    
本文で、まず図を用いてトーラスの式を出した際には、
ルートが付いてました。
しかし、そこから一歩進んで、2乗してルートを消した式を
「新たに基本に」してるわけです。
理由もちゃんと本文に書いてあります。
      
       
なお、当サイトではコメントにお名前を頂いてます。
ご丁寧で中身のある文章なので掲載しましたが、
コメント欄は他の方も読むので、一応書き添えておきます shine

投稿: テンメイ | 2012年11月30日 (金) 03時39分

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