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ドーナツ(3次元円環=トーラス)の体積

先日の「4次元の球の体積」に続いて、今回はドーナツ(3次元の円環=トーラス)

の体積を求めてみよう。体積というくらいだから当然、円環面(表面だけ)ではなく

円環体(中身も含む)のことだ。基本的には、ワードで数式を入力する練習にすぎ

ないけど、知的好奇心の豊かな方には参考になるかも知れない。意外にこうゆう

記事はネットだと少ないのだ。私は何の参考書も見てないけど、最後の答だけは

キレイな値として中学時代から知ってたし、考え方も計算も合ってるはずだ。

                   

090518 まず、空間的イメージを用

 意しよう。左の円環の図は

 「ウィキディア」で公開され

 てるものを少しだけ処理し

 たもので、先日のポアンカレ

 予想の記事に挿入したもの

 とほぼ同じだ。円環の中心軸

 (垂直の線)を z軸とし、図の

ように x 軸、y 軸を設定する。小半径(チューブの太さ)を r 、大半径(チューブ

の中一周する円の半径)を Rすると、R > r > 0

                                            

この体積は、(切り口の円の面積)πr² ×(大円の周の長さ)2πR、すなわち

2π² r² Rとなる。昔から知られていた有名な事実として、先に書いておこう。以下

ではその証明を、まず高校レベルの積分で行って、さらに大学レベルに進む。

       090427

      

    

    

    

    

    

    

     

        

上の図で、y軸は画像(あるいはPCモニター)に垂直な方向に伸びている。ドー

ナツをxz平面で切ると、左右対称に半径 r の円(正確には円板)が生じる。この

右側の円をz軸中心に回転させて出来る立体がドーナツだから、高校数学で「

転体の体積」を求める式を用いれば、体積Vは求まる。V=π∫{f(x)}² dx とか

書かれてる公式の簡単な応用だ(回転軸の周りに穴があるタイプ)。

               

090427c

    

    

    

      

      

         

                   

上では、2行目の積分の意味を考えて半円の面積としたが(常套手段)、もし積分

のまま計算するのなら、z=r sin θ と置換すれば簡単な置換積分となる(教科

書の例題レベル)。

    

            ☆          ☆          ☆

続いて大学1年レベルで考えると、トーラスの体積は3重積分∫∬dxdydzで定

し、それを累次積分∫dz∬dxdyに直して計算することになる。「中身まで含めた

トーラス(円環体)の式」は、以前の記事で求めた「トーラスの表面(円環面)の式

の等号を不等号に変えたもの。すなわち、

      {(√x²+y²)-R }²+z² ≦ r²  (丸カッコ内の全体がルートの中)

            

したがって、以下のように計算すればいい。ブログの横幅の制限で、4行目の式

を2段に分けざるを得なかったけど、悪しからずご了承を。。

                                      

090508         

    

    

    

   

    

  

   

   

      

        

これで、高校レベルの積分と同じ式になったから、以下は先ほどと同じ計算に

なる。上で「2重積分 ∬dxdy 」を、「2つの円の面積の差」(穴あきコインの形)

としているが、これを真面目に積分計算するのなら、さらに累次積分∫dy∫dx

に直せばいい。ただ、かなり不自然だと思う。

           

という訳で、今回はこれにて終了。数学や物理のネタなら無限にあるし、ウチの

過去の記事をキレイに打ち直すだけでも相当な量になる。時々こうして数式入力

すれば、やたら使いにくい数式エディター「Microsoft 数式 3.0」にも慣れてくる

だろう。あとは、pdfファイルにして、さらにエクセルでグラフに挑戦かな。

ではまた。。☆彡

      

       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

cf.ドーナツ型とボール型の区別~ポアンカレ予想の理解2

  ドーナツ(円環=トーラス)の表面積とパラメーター表示

  4次元の球の体積

  ワードで数式をPC入力する練習

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数学」カテゴリの記事

コメント

テンメイさんこんにちは。

ワード数式シリーズですね♪
ちょっと、数式が見ずらい気もしますが…あしからずって書いてありますし♪
って、テンメイさんWinだったんですね。
私のとこはMacです。
めちゃくちゃ使いやすいから学校でWinだとイライラします。
グラフとかならiWorkがありますよ♪
しかし、やはり手書きの方が見やすいような…

やっぱり忙しいですsad
疲れるし。一日がとんでもなく早いです。
実は最近、柴咲コウみたいな髪型にしてみたら眼が目立っちゃいましたwobbly
なので隙を入れようと思ってます。
婚カツを見逃し、相棒も終わっちゃってちょっとゲンナリしてます。
トップの写真見てうらやましがってます。
芝生が青々と…北海道じゃあり得ません!また雪降りましたし。
ではこの辺で。

投稿: 碧沢 香 | 2009年4月27日 (月) 16時56分

> 碧沢 香ちゃん
     
アハハ happy01 数式関連は食いつきがいいネ!
そうなんだよ。ワード数式シリーズ。
野球のワールドシリーズみたいだな♪
     
で、見づらいって? ボヤケちゃってるのが大きいかな。
数式の横幅が広がりすぎて、縮小しなきゃなんない
のが誤算だった。意外にブログの横幅が狭くて sweat01
        
入力の段階で縮めようとすると、今度は
小さい数字や記号とかが薄れちゃうのよ。
手書きなら何とでも調整できるのに、
その辺りがワードの(?)限界だね。
もっと慣れると、何かワザがあるのかも知れないけど。
    
テンメイさんって言うか、フツーみんなWinでしょ♪
Macは、芸術関連と教育関連の人が多いね。
香ちゃんもそんな感じだし。年配の人も好きだよな。
         
自分のPCで使うだけならいいんだけど、他の人との
やり取りとかサイトの閲覧とか、まだ制約があるでしょ。
ファイルが開けないとか、Win対応のみとか。
まあ、iPodの大成功以来、アップル社も急激に
息を吹き返してるから、今後の戦いは見ものかも。
                    
マックならiWorksだけど、Winならエクセル。
フリーソフトのgrapesで補強して。
わりと近いうちにグラフ記事を書こうと思ってる所。
常連さんのウケが悪すぎて苦笑中 ^^;                  
       
で、中学1年は忙しいと。。それは、よく分かる。
あの時期は強烈なストレスがかかってた気がするな。
ま、刺激的でもあったけどね。新しい経験だらけ。
特に、急に女の子が気になり始めて、それだけを
楽しみに学校行ってた感じ heart01
教育実習生の女子大生virgoに憧れたりとか♪
「女教師」&「お姉さん」で、萌えポイントが高い☆
    
柴咲コウみたいな髪型って言われても、
画像検索だと色んな髪型が出ちゃうよ。
「隙」を入れるって、「スキ」とか「梳き」ね♪
漢字検定に出されちゃうかも。
って言うか、漢検はどこへ行くのか。。
           
     
婚カツ、第2話は第1話より面白かったと思うな。
視聴率は11.2%に急落だけど、初回のせいでしょ。
相棒はレンタルや録画で楽しみってことで。
トップの写真、キレイでしょ clover
そうか、まだ雪が降るんだ! こっちは暑いくらい。。
    
ってことで、学校がんばってネ♪shine

投稿: テンメイ | 2009年4月28日 (火) 11時11分

円の面積の公式でX=rsinシーターとおくのはなぜですか?

投稿: | 2012年4月20日 (金) 19時13分

> 名無しさん
   
はじめまして。質問コメントどうもです。
おそらくドーナツ型とは関係ない話でしょう。
この記事で書いたのはXでなくzですしね。
      
X=rsinθ とおくのはなぜか。
    
まず、元のルートの式では積分できません。
また、そう置けば簡単に積分できます。
しかも、高校の教科書に載ってる基本テクニックです。
だからみんな、そう置くのです。
    
ちなみに、rcosθと置いてもいいし、
積分の計算の代わりに円の面積公式を使うこともできます。
この記事前半では、積分の代わりに半円の面積の式を使いました。
        
なお、もしまたコメントする機会がありましたら、
今度はお名前をよろしくお願いします。。shine

投稿: テンメイ | 2012年4月20日 (金) 23時38分

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