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「1×1=1」はなぜか?~ペアノの自然数論2(掛け算)

先日扱った「1+1=2」、つまり自然数の足し算(加法)に続いて、今日

は「1×1=1」、つまり自然数の掛け算(乗法)について考えてみよう。

今回も、現代数学の先駆者の1人、ペアノの自然数論の話だ。分野的

には数学基礎論であって、集合論や論理学と共に数学全体の土台に位

置している。参考書は『現代数学小事典』(寺阪英孝編,講談社)のみで、

非常に省略されてる記述だから、かなりの部分を自分で考えて補ってる。

    

   (☆追記: ペアノ自身の論文に即した記事を追加。

    自然数に関するペアノの公理~論文『数の概念について』に即して

         

まず、普通の素朴な考え方から始めよう。書店で小学生用の算数の参

考書を見ると、「3×2=6」というようなかけ算は、「みかんが3個入った

袋が2つあると、全部でみかんは6個」というような話で説明されている。

非常に分かりやすいし、数千年くらいの数学の歴史を遡っても、おそらく

そんな具体的かつ日常的な話からスタートしたんだろう。

       

ただ、前回の足し算の時も触れたように、そうゆう具体例での説明をい

くつ並べても、すべての場合をカバーすることは出来ないし、反例のよう

なものもいくらでも見つけられるだろう。そこで、人工的に完全な自然数

の掛け算を作ったのがペアノというわけだ。人工的に作るといっても、普

通の掛け算はキレイに説明できるし、現代数学というものはそもそも全

体的に、人工的な構成になってるのだ。

         

既に、足し算は説明してあるけど、最低限の内容を復習しておこう。あ

る1つの自然数(0,1,2,・・・)に対して、その次の自然数を表す記号

「´」を導入する。つまり、0´=1、0´´=2、0´´´=3。

    

その上で、今度は足し算を次の2式で定義する。

   ① m+0=m

   ② m+n´=(m+n)´

     

この時、「1+1=2」のような個別の計算はすべて証明できたし、以下

の3つの基本法則も証明できた。

   ③ (k+m)+n = k+(m+n) ・・・和の結合法則(または結合律)

   ④ m+n = n+m    ・・・・・・・・・和の交換法則(または可換律)

   ⑤ k+n = m+n ならば k=m・・・和の簡約法則(または簡約律)

        

以下では、こうした性質を持つ足し算を用いて、掛け算を定義し、様々な

計算や一般法則を証明する。なお、④の証明の途中で、次の式も証明し

てある。便利で簡単なので、これも使うことにしよう。

   ⑥ 0+m = m

         

          

         ☆          ☆          ☆

まず、掛け算(乗法)の定義は次の2式で与えられる。

   ⑦ m×0 = 0

   ⑧ m×n´ = m×n+m

             (注.×と+が混在する時は、×を先に計算する)

         

ちなみに⑧は、普通の数学だと 「m×(n+1)=m×n+m」と書ける性

質で、分配法則を用いた簡単な例になっている。ただし、ペアノの自然数

論では、逆にここから始めて、分配法則などを証明することになる。単純

な話から始めて複雑な話を導くのだから、高度で有意義な作業なのだ。

      

ではまず、「1×1=1」を証明しよう。

    1×1 = 0´×0´

         = (0´×0)+0´ ・・・・・・(⑧より)  

        = 0+0´      ・・・・・・(⑦より)

        = 0´         ・・・・・・(⑥より)

        = 1

      

同様にして、「3×2=6」も証明しよう。

    3×2 = 0´´´×0´´

        = (0´´´×0´)+0´´´ ・・・・・・(⑧より)

        = ((0´´´×0)+0´´´)+0´´´ ・・・・・・(⑧より)

        = (0+0´´´)+0´´´  ・・・・・・(⑦より)

        = 0´´´+0´´´      ・・・・・・(⑥より)

        = (0´´´+0´´)´    ・・・・・・(②より)

        = ((0´´´+0´)´)´   ・・・・・・(②より)

        = (((0´´´+0)´)´)´ ・・・・・・(②より)

        = (((0´´´)´)´)´    ・・・・・・(①より)

        = 0´´´´´´

        = 6

      

            

        ☆          ☆          ☆

では最後に、一般法則。『小事典』では、以下の順に4つ挙げている。

   

   (k×m)×n=(k×m)×n ・・・・・・結合法則

   m×n=n×m         ・・・・・・交換法則

   n ≠ 0のとき、k×n=m×n ならば k=m ・・・・・・簡約法則

   k×(m+n)=k×m+k×n ・・・・・・分配法則

     

これらについて、『小事典』では、いずれもnについての数学的帰納法

証明できて、交換法則以外は簡単だと書いている。私が実際に解いてみ

た所、最初に分配法則を証明して、次に結合法則を証明するのが好都合

だった。

     

交換法則については、足し算の時と同様、帰納法を3回使うことになった。

あらかじめ「0×m=0」と、「p×m+m=p´×m」を帰納法で証明してお

くとスマートな解答になると思う。いずれにせよ、分配や結合よりは面倒だ

けど、さほど難しくない高校レベル(中の上 or 上の下)の証明にすぎない。

        

ただ、簡約法則だけはどうしても帰納法では証明出来なかったので、

理法を用いた。つまり、k=mでないとすると矛盾する、という論法で証明

するしかなかった(例えば、k=m+p かつ p≠0 だと矛盾)。『小事典』

の筆者に勘違いがあるのではなかろうか。ちなみに、ネット上にはこの辺

りの証明はまったく見当たらない。いずれ図書館で、ペアノの著作とか、

専門書を確認したいと思ってる。

                    

既に長くなったので、ここでは分配法則「k×(m+n)=k×m+k×n」

だけ証明しておこう。

   

    (1) n=0の時、(与式左辺)=k×(m+0)

                      =k×m ・・・・・・(①より)

               (与式右辺)=k×m+k×0

                      =k×m+0 ・・・・・・(⑦より)

                      =k×m ・・・・・・(①より)

             ∴(与式左辺)=(与式右辺)

    

     (2) n=pの時、与式が成立すると仮定すると、

          k×(m+p)=k×m+k×p ・・・・・・⑨

        これを用いて、n=p´ (つまりp+1)の時を考えると、

          (与式左辺)=k×(m+p´)

                 =k×(m+p)´ ・・・・・・(②より)

                 =k×(m+p)+k ・・・・・・(⑧より)

                 =(k×m+k×p)+k ・・・・・・(⑨より)

                 =k×m+(k×p+k) ・・・・・・(③より)

                 =k×m+k×p´

                 =(与式右辺)

         よって、n=p´の時にも与式は成立する。

     

     以上、(1)(2)より、すべての自然数nに対して与式は成立する。

                             (Q.E.D. 証明終了)

     

               

          ☆          ☆          ☆

という訳で、掛け算の基礎を説明した。残念ながら、『小事典』には引き算

や割り算の話が載ってない。自然数の範囲で収まらない(マイナスや分数

が出て来る)から、ペアノが考えてないのか、それとも小事典の筆者が省

いただけなのかは分からない。いずれにせよ、ペアノの自然数論につい

てこれ以上の事を書くには、専門書を調べた方が良さそうだ。あるいは、

英語のサイトを検索すれば何とかなるのかも知れない。

☆追記: 12年2月、ペアノの引き算の記事アップ、下にリンクを追加。)

     

ともあれ、今日の所はこの辺で。。☆彡

     

     

     ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

cf.「1+1=2」はなぜか?~ペアノの自然数論(足し算) 

  引き算の証明、負の数~ペアノの整数論(減算=減法)

  集合論における自然数の表記と計算  

  自然数に関するペアノの公理~論文『数の概念について』に即して 

  0、1、「次の数」に関する哲学的考察~フレーゲ『算術の基礎』

  「1+1=2」はなぜか~小学1年生の算数の教科書 

  引き算、足し引き連続、0(ゼロ)~小学1年生の算数2

  掛け算の導入、足し算・引き算との関係~小学校の算数3

  同じ数ずつ分ける計算、割り算(除法)~小学校の算数4

  原始リカーシヴ関数と足し算(加法)、掛け算(乗法)     

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コメント

手元の資料に乗法演算の定義式が無かったので助かりました、ありがとうございます(`・ω・´)

投稿: 僕は自己準同型 | 2015年6月27日 (土) 12時03分

> 僕は自己準同型 さん
   
はじめまして。コメントどうもです。
文面、顔文字、お名前から考えて、10代の学生さんかも。
ハイレベルな概念を御存知ですね。
お役に立てて良かったです。
今後も頑張ってください♪shine  

投稿: テンメイ | 2015年6月27日 (土) 22時11分

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