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集合論における自然数の表記と計算

昨年の暮れにかけて、「1+1=2」、「1×1=1」といった、自然数(0,

1,2,・・・)の基本的計算を再考してみた。要するに、理数系の学問の

一番根本的な話、数学のスタート地点に立ち返ろうということだけど、こ

れが本当にスタート地点かどうかについては、考え直す余地がある。

    

例えば、理数系の記事に時々使ってる講談社のロングセラー『現代数学

小事典』を見ると、「第1章 数学基礎論」の内容は、「1 論理」「2 集合

論」「3 自然数論」の順になっている。1の論理は別格としても、自然数論

より先に集合論があるのだ。これは現代数学の標準的な発想であって、

自然数という基本的な存在でさえも、集合論の中に組み込んでしまうのだ

(19世紀後半に確立)。

      

つまり、自然数は集合の一種と考えられている(別の考えも存在)。一般

人の素朴な発想では、自然数というのは集合の要素になり得るとしても、

集合そのものではないだろう。その辺りの納得できる説明というのはなか

なか見当たらなくて、上の『小事典』にもないし、ウィキペディアの日本語

版や英語版にも「結果」しか書かれてない。

                         

そのうち、『新版 現代論理学』(東海大学出版会)に簡単な説明がある

のを発見したものの、最小限の説明だから正直言って分かりにくかった。

まあ、読者に自分で考えさせるという意味では、良書なのかも知れない♪

         

だからここでも、最小限の説明に留めよう・・・などとは言うまい。逆にこ

こで丁寧な説明を行っておけば、記事に独自の価値が生まれるだろう。

真面目な読者が何人いるかは別として♪ と言う訳で、以下では、自然

数を集合で表す方法について説明してみよう。

               

         

         ☆          ☆          ☆  

まず、集合の初歩から復習しておく。集合とは、差し当たりは、何らかの

個物(要素)の集まりだと考えればいい。例えば、a と b を要素とする集

合を X とすると、X={ a,b }。つまり、要素全体を { } に入れてまとめ

たものが集合だ。また、b と c が要素の集合を Y とすると、Y={ b,c }

だ。更に、「a は X の要素だ」ということは「 a ∈ X 」と表し、何も要素が

ない集合(「空集合」)は などと表す(丸印に斜め線)。

               

この時、( X と Y の和集合):X∪Y={ a,b,c }。つまり、2つの集合

の要素を合わせて、重複(この場合はb)を除いたのが和集合で、「結

び」とか「合併」とも言う。また、空集合 ∅ には何も要素が無いから、

∅ ∪X=X 。つまり、∅ との和集合は、元の集合のままとなる。

     

集合について、この程度に理解していれば、もう自然数についても大丈

夫だ。イメージをもってもらうために、先に説明抜きで答を書いておこう。

自然数を集合で表す標準的な方法はこんな感じだ(他のやり方もある)。

     

     0= ∅

     1={ ∅ }

     2={ ∅ ,{ ∅ } }

     

かなり奇妙な表現で、0以外は「集合の集合」、つまり、集合を要素とす

る集合になってる。1はともかく、2の表し方には違和感があるだろう。

      

簡単に言うと、まず一番「小さい」集合、つまり要素が何もない空集合 ∅

を0として、それ以降は、「1=0∪」、「2=1∪」という具合に

表して行く。つまり、「次の数=( 前の数 )∪前の数」という風にして、

順に構成していくのだ。この時、式の後ろ側にある { } は集合を表す

記号であって、普通の丸カッコ(計算上のまとまりを付ける記号)ではな

いことに注意しよう。( ) と { } は、集合論においては全く別物だ。

         

0を空集合とするのはわりと自然だろうけど、それ以降の奇妙な構成

の仕方は、様々な自然数の間に大きさの順序を付けるため、つまり、

不等式を導入するためだ。例えば、「 1 < 2 」(1は2より小さい)と書

く代わりに、「 1 ∈ 2 」(1は2の要素)書く。こういった式が、集合の話

として全体的に上手く簡潔に成立するよう定めてるのが、上の奇妙な

構成法なのだ。

                                

話を戻すと、なぜ 1 = { ∅ } になるのか。それは次の変形による。

     

    1 = 0∪{ 0 } = ∅ ∪{ ∅ } = { ∅ }

     

右端の変形は、∅ との和集合は元通りという話を思い出せば納得でき

るだろう。続いて、2 = { ∅ ,{ ∅ } } は、次のような変形による。

   

   2 = 1∪{ 1 } = { ∅ } ∅ ,{ ∅ }

    

これも右端の変形が引っ掛かる箇所だけど、要するに「∪」という記号

和集合を作る時には、一番外側の{ }の中身を併せるのだ。内側辺

りにある{ }と混同しないように、上ではを付けておいた。

ちなみに、3の場合は次のようになる。

                   

   3 = 2 ∪ { 2 } = ∅ , { ∅ } { ∅ , { ∅ } }

     = ∅  , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } }  

      

ここから、0<3、1<3、2<3が成り立ってるのがよく分かるだろう。つ

まり、集合論的に見て、0∈3、1∈3、2∈3が成り立っている。ちなみに

3以降、4とか5とか、単純なのにわずらわしい計算は、パソコンでコピー

&ペーストを使うと便利だ♪ 手書きだと、カッコの数を間違えやすい。

右端には } がズラッと並ぶことになる。4なら、4コの } が並ぶわけだ。

       

                        

          ☆          ☆          ☆

では最後に、足し算についても少しだけ書いておこう。基本は、以前の記

事に書いた、ペアノ的な考えと同じで、次のように決めておけばよい(広い

意味では、足し算の公理)。

      

      m + ∅ = m

      m + ( n ∪ { n } ) = ( m + n ) ∪ { m + n }

       

上の m,n は、自然数を表す集合のこと。2番目の式が分かり辛いだろ

うが、要するに

       ( 「n の次の数」との足し算 )=( 「n との足し算」の次の数 )

という意味で、普通の数式で表現するなら

      m + ( n+1 ) = ( m + n ) + 1

ということだ。以前のペアノ的な書き方では、

      m + n´ = ( m + n )´

となってた。ちなみにペアノ本人の書き方は、時代的制約もあって、遥か

にややこしいので、いずれまた記事にしたいと思ってる。

   

   (追記: ペアノ自身の記述に関する記事を追加。

    自然数に関するペアノの公理~論文『数の概念について』に即して

        

話を戻すと、結局、1+1=2の集合論的な証明は以下のようになる。

        

   1+1 = { ∅ } + { ∅ }

        = { ∅ } + ( ∅ ∪ { ∅ } )

        = ( { ∅ } + ∅ ) ∪ { { ∅ } + ∅ }

        = { ∅ } ∪ { { ∅ } }

        = { ∅ , { ∅ } }

        = 2

     

もちろん、こういった計算は実用的ではないけど、足し算とは何かという

問題や、数学全体における集合論の位置付けを考える際には重要なの

だ。ただし、集合論には独自の弱点(or 注意点)もあるので、それにつ

いてもまた別扱いで論じることにしよう。

    

以前書いた記事だと、足し算の読者は結構いたけど、掛け算の読者は

少なかった。果たして、集合論だとどの程度の人が読むのか、と言うよ

り、どの程度の少なさなのか、屈折した興味が湧く所だ♪

ではまた。。☆彡

    

         

      ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

cf.「1+1=2」はなぜか?~ペアノの自然数論(足し算)

  「1×1=1」はなぜか?~ペアノの自然数論2(掛け算)

  引き算の証明、負の数~ペアノの整数論(減算=減法)

  自然数に関するペアノの公理~論文『数の概念について』に即して

  0、1、「次の数」に関する哲学的考察~フレーゲ『算術の基礎』

  「1+1=2」はなぜか~小学1年生の算数の教科書 

  引き算、足し引き連続、0(ゼロ)~小学1年生の算数2

  掛け算の導入、足し算・引き算との関係~小学校の算数3

  同じ数ずつ分ける計算、割り算(除法)~小学校の算数4

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数学」カテゴリの記事

コメント

保育園の自転車での送迎中の朝の30分を利用して、数学を伝授しました。2年間で、目に見えるもの、聞こえるもの、匂うもの全てに、自然数を対応付けれることをマスターしました。3年目にはべき乗計算ができるようになりました。線形代数をやろうと思いましたが、天才は自分で発見するらしいので、やめました。楽しくできれば、子供は何でも吸収できると信じるに至った3年間でした。が、子は何も覚えていません。でも、算数は楽しくやってるから、無駄ではなかったようです。私は、今は絶版になっている、高木貞治先生の、数の体系上下で、自然数に親しみました。

投稿: shoji12 | 2010年1月 9日 (土) 21時19分

> shoji12 さん
    
はじめまして。コメントありがとうございます♪
この記事にすぐコメントが付くとは、嬉しい驚きです。
      
お子さんに英才教育を行ってたわけですね。
楽しさというのは、特に子供の教育では重要でしょう。
大人なら楽しくなくても我慢して頑張れますが、
子供はなかなか我慢できませんからね。
他の楽しい事の方へと、気が逸れてしまう。
   
僕自身は、どんどん問題を解いたり、先生や親に
褒めてもらったりするのが楽しかった気がします。
そうした中で、子どもなりのプライドとか自尊心と
いったものも養われたんでしょう。
周りの生徒に教えるという経験も、貴重でしたね。
      
親に算数や数学を教えてもらった覚えはありませんが、
母に国語を、父には将棋を教わりました。
要するに、文系と理系の教育を受けてたわけですね。
まさに、ありがたい(=有難い)ことです♪
   
高木貞治氏の『数の体系』というのは、ひょっとして
『数の概念』のことでしょうかね。
あるいは、彌永昌吉氏の『数の体系(上下)』とか。
いずれにせよ、自然数は数の根幹なので、
もうしばらく色々と考察してみようと思ってます shine

投稿: テンメイ | 2010年1月10日 (日) 10時56分

彌永先生ですよね。穴に入りたくなりました。
子供には、1を足すのは、次の数を持って来ることだよ、と教えました。30分で256まではいけます。+1を言うのをやめると1000を越えてたと思います。
楽しかったみたいで、1ヶ月ぐらいしました。

投稿: shoji12 | 2010年1月11日 (月) 12時01分

> shoji12 さん
    
再びコメント、どうもです♪
    
あっ、やっぱり彌永氏の本でしたか。
いや、別に聞き流しても良かったんですが、
著名な数学者の名前を書いてみたかったんですよ♪
僕も何だったか、本を買ってますが、
どこかへ埋もれちゃってます(苦笑)。
    
1を足すのは、次の数を持って来ることなのか。
逆に、次の数を持って来るのは、1を足すことなのか。
その辺りは、基礎論的には微妙ですよね。
ただ、子どもの場合、足し算より先に幾つかの自然数を
知ってるから、その教え方の方がスムーズでしょう。
     
そう言えば僕も、子どもの頃は、大きな数を
覚えたり書いたりするのが嬉しかったですね♪
そうゆう素朴な原初的感情もあってこそ、
人は無限を追い続けるかも知れません。。shine

投稿: テンメイ | 2010年1月12日 (火) 00時45分

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