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自然数に関するペアノの公理~論文『数の概念について』に即して

学問一般に言えることだが、偉大な古典とか難解な書物というものは、

自分で本当に読んでる人は意外なほど少ない。別に外国語の原書に限

らず、翻訳さえあまり読んでないことが多くて、大抵が何かの解説本の

請け売りとか、孫引き(元の著作からの引用の引用)に過ぎないのだ。

これは、専門家レベルでさえ珍しくないことだと思う。

     

日本の人文系の学者に限ると、欧米との言語の差が顕著だから、自分

の専門分野に限っては、それなりに原書は読んでるだろう。ところが理

系の学者の場合、古典的著作に関してはほとんど無頓着な人が多い

ように思われる。これは一応理解できることで、要するに理系は、最新

の動向とか一般的事実を知ってれば十分なことが多いわけだ。

    

しかし、理数系科目の中でも特殊な位置にある数学について、その根

本を考える時、すなわち、数学基礎論的な考察を行う時には、例えば

古代ギリシアのユークリッド(=エウクレイデス)の『原論』などは、いまだ

に熟読に値する本だろう(いずれ扱う予定)。他にも幾らでも「必読文献」

はあるはずだ。

                   

今回、私がこだわったのは、「ペアノの公理」とか「自然数の公理」という

自然数論の業績で有名な、イタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノ( Giuseppe

Peano )の論文「数の概念について」[ Sul concetto di numero,1891]だ。

関連論文「数学的論理学の公式」[ Formole di logica matematica ]と共

に、共立出版『数の概念について』に収められている(小野勝次,梅沢敏

郎訳)。

     

残念ながら、イタリア語の原論文はネット上で発見できてないし、国内の

所蔵図書館でさえ僅かだから、差し当たりは諦めよう。何しろ、「数の概

念について」のイタリア語の原題さえなかなか見つからず、翻訳本にさえ

書かれてないほどなのだ(単なるミスだろう)。

           

それでも、数式や記号の表記に関しては原書と翻訳で同じであって、重

要な公理・定義・定理などに関しては、ペアノ自身の記述に触れることが

出来た。論文自体は短いけれど、中身は深くて濃密だから、何回かに分

けて記事にしよう。。

       

                                  

        ☆          ☆          ☆

今回はまず、最も根本的な、自然数とは何かということについて扱う。以

前に書いたように、複素数に至るまで様々な数が、自然数から構成され

るのだ。現在の数学では、0も含めて考えることが少なくないようだが、

普通の扱いでは1から2、3、4・・・と続く数だし、ペアノでもそうなってる。

        

ところが現在、ペアノの自然数の公理を「紹介」する際には、0から始め

てることが多いようだ。実際、私が前に記事で使った『現代数学小事典』

(講談社)も『新版 現代論理学』(東海大学出版会)もそうだし、ウィキ

ペディアの英語版だけでなく、イタリア語版まで0から始めている(日本

版については後述)。

     

まず『小事典』から、わりと普通の形の「ペアノの公理」を引用してみよう。

以下、自然数全体を想定した集合。「´」は以前のウチの記事でも使っ

てたもので、自然数に対して「次の数」(successor)を対応させる記号だ。

つまり下の「n´」とは、日常的な書き方だと「n+1」のこと。先行する研究

者・デデキント(R.Dedekind)の表記法に従ったのだと思う。では、始めよう。

                       

   Ⅰ  0 は N の要素である。

   Ⅱ n が N の要素ならば n´ も N の要素である。

   Ⅲ Ⅰ、Ⅱの過程で得られるものだけが、N の要素である。

   Ⅳ N のどの要素についても、n´ は 0 と等しくない。

   Ⅴ Nの2つの要素 m と n とについて、m と n とが等しいとき、

     かつそのときに限って m´ と n´ とが等しい。

  

   これらの公理系がみたされるとき、N を自然数の集合といい、その

   要素を自然数という。

         

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲだけから、自然数の集合Nは0,1,2,3・・・だと決定するよう

にも見えるし、特にⅣは不要にも感じられる。この点について『小事典』で

は、Ⅳ、Ⅴは「等しい」ということ(=の使い方)に関する基準だと説明して

ある(それにしてもⅤは回りくどい)。また、の形をした公理は、自然数

に限らず見られるもので、一般に「排他公理」と呼ばれるものだと補足し

てある。Ⅰ、Ⅱの過程で得られるものの他は排除するから、「排他」と呼

ばれるのだ。

                                         

ちなみにこのは、日本版ウィキや『論理学』だと全く違う書き方になって

いる。比較的分かりやすいウィキを少し参考にして、Ⅲを書き直すなら、

0がある性質を満たし、aがある性質を満たせばa´もその性質を満たす

とき、すべてのNの要素はその性質を満たす」となる。この形なら、高校

数学でもお馴染みの「数学的帰納法」、あるいはその基礎だと、すぐ分か

るだろう。実はこの方が、ペアノ自身の表記に近い。『小事典』は、かなり

筆者独自の解釈が入ってるような気がする。

          

    

       ☆          ☆          ☆

では、いよいよペアノ自身の記述について。書き方が非常に独特なもの

になってるし、「公理」という言葉も使われてない。運よく、ハバート・ケネ

ディ(Hubert Kennedy)がネットで無料公開しているペアノ関連の論文集

Twelve Articles on Giuseppe Peano』を発見できたので、そこからコピー

&ペーストさせて頂こう。パソコンの普通の文字だと、感じが出ないのだ。

     

100122   

  

  

  

         

          

     

      

訳本だとp.93にある上の5つの文字式は、「原始命題」とされている。

つまり、他からは導けない、最初に位置する命題だから、現代では「

」と言い換えるのだ。この言い換えが可能かどうか、そもそも気にな

る所だけど、ここではとりあえず流しておこう。それよりも、この書き方自

体の解説が必要だ。

        

珍しく、日本版ウィキが「ペアノ自身による記述」としてキレイに訳してる

ので(「ペアノの公理」の項目ラスト)、番号だけ追加して引用してみよう。

     

   Ⅰ  1 は自然数である

   Ⅱ 任意の自然数 a に対して、a+ が自然数を与えるような右作用

     演算+が存在する

   Ⅲ もし a,b を自然数とすると、 a+ = b+ ならば a=b である

    Ⅳ a+=1 を満たすような自然数 a は存在しない

   Ⅴ 集合 s が二条件「(i) 1 は s に含まれる, (ii) 自然数 a が s に

     含まれるならば a+ も s に含まれる」を満たすならば、あらゆ

     る自然数は s に含まれる。

    

これで大体、ペアノ自身が何を何番目に書いてるかは理解できる。注目

すべきは「+」という記号の使い方で、日常的には「1+2」のように、前

後に数を並べる記号なのに、ここではある1つの数の右側に付加されて

るだけなのだ。つまり、『小事典』だと「´」とだけ書いてたもので、厳密な

な言い回しだと「右作用演算」ということになる。

         

もう1つ、注目すべきはⅤで、集合「sに含まれる」という言い回し。これ

は前の「数学的帰納法」の表現だと、「ある性質を満たす」に相当する。

つまり、s とはある性質を満たす数の集合のこと。また、『小事典』のⅢ

は、ペアノ自身では5番になってるのだ。

     

さらに細かく、ペアノ自身の書き方を見てみよう。「1εN」は、今の書き

方だと「1N」。つまり、「1は集合Nの要素である」。0ではなく、1から

スタートしてるのだ。続いて「+εN/N」とは、「+は、“Nの要素からNの

要素への対応づけ(or 演算)全体の集合”の要素である」と読む。+とは

自然数の中での関数記号ということだ。集合の要素という話を多用して

るから、読みづらくなっている。

                  

3番の右側は、今の書き方だと「(a+=b+)⊃(a=b)」。カッコの代わ

りに黒い点を使って、その数が1個、2個、3個と増えるほど、区切りが強

ことにしてある。4番は、今だと「『1∈{x+1|x∈N}』ではない」。この

「ではない」ことを示す記号をパソコンで打てないので、仕方なく日本語で

書いてる。要するに、1は、Nの各要素を+1ずつずらした集合N+には

入ってないということ。1が最初、または左端だと言ってるのだ。

       

ラストの5番が内容的には最も分かりにくい。前半は、sはK(集合)であっ

て、1はsの要素だ(=ある性質を満たす)と条件を付けてるにすぎない。

その後は、今の書き方に翻訳すると「((s+)⊆s)⊃(N⊆s)」。つまり、

集合 s をプラス1ずつズラした集合が s に含まれる(=ある性質を満た

す)なら、N全体も s に含まれる(=その性質を満たす)。要するに、数学

的帰納法だ。

                          

今だと、部分集合の記号、つまり集合が別の集合に含まれることを表す

」と、論理的な「ならば」を表す」は似て非なる記号を使うけど、

アノでは同じ記号(Cを左右逆転させたようなもの)なのだ。

    

     

         ☆          ☆           ☆

最後に、もっと本質的な問題を改めて書いとこう。それは、これら5つが

何なのかということだ。ペアノでは「原始命題」、つまり他から導けない最

も基礎的な話とされていた。これを現代では「公理」と受け取ってる訳だ

が、「原始命題」と「公理」が本当に同じかどうかはかなり気になる所だ。

今の所、少し違うような気がするものの、はっきりした事はまだ言えない。

            

あと、これら5つが何を行ってるのか、どのような意義を持つのかも問題

だ。日本版ウィキは、「自然数そのものを定義しようとはしなかった点に

は注意・・・」と書いているが、この点は微妙だ。

            

確かに「定義」とはされてないものの、実際には5つの性質で、我々は「1,

2,3,4・・・」みたいな集合しか思いつけない。ダッシュを使って「1,1´,

1´´・・・」と書こうが、集合論のカッコで「{ {  } }, { {  },{ { } } },・・・」

と書こうが、本質的には何も変わらない。

             

したがって実際上、ペアノの5つの原始命題は、自然数の定義として機

することになる。だからこそ、『小事典』は「定義」として扱ってるのだ。

ただし、そこで使われてる「1」とか「+」は、明確な定義が与えられてい

ないから(いわゆる無定義語)、5つの命題も厳密な意味では定義と言

えないのだ。

    

            

        ☆          ☆          ☆

以上、今回は、ペアノの自然数論の原点とも言うべき「ペアノの公理」を、

原論文に即して考察してみた。次はいつになるか分からないが、最も初

歩的で基礎的な算術、足し算(加法)を考察する予定だ。今回、右作用

演算の記号であった「+」が、左右作用演算の記号に拡張される。つま

り、我々が普通に「1+2」などと書いてるように、2つの数に対する計算

(=2変数関数)になるのだ。

             

なお、ペアノの公理の初出をこの「数の概念について」とする考えは、日

本版ウィキにもあるものだが、もしかすると翻訳者(とりわけ小野)を代表

とする一部の学者の見方にすぎない可能性はある。世界的には、多数

派でさえないかも知れない。

         

実際、欧米ではこの論文はあまり話題になってないし、そもそもなぜペア

ノの論文であって、デデキント(R. Dedekind)の「数とは何か、何であるべ

きか 数の本質と意義」(岩波書店『数について』所収)ではないのかとい

う問題もある。加法も含めて、先行者のデデキントの方がむしろ明晰に

感じてしまうのは事実だ。

                   

ともあれ、今日はもう時間だ。ひとまず、この辺で。。☆彡

           

     

           

P.S. 約4年後の13年12月、足立恒雄『フレーゲ・デデキント・ペアノを

     読む』(日本評論社)に目を通してみた。ペアノの公理系(のような

     もの)は、先行論文『算術の諸原理』(1889)で既に一応登場して

     たが、より公理的な扱いになった論文が2年後の『数の概念につい

     て』のようだ。足立の記述を見ても、やはりペアノという数学者はな

     かなか評価が難しい大物なんだろう。。

    

      

      ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

cf.「1+1=2」はなぜか?~ペアノの自然数論(足し算)

  「1×1=1」はなぜか?~ペアノの自然数論2(掛け算)

  引き算の証明、負の数~ペアノの整数論(減算=減法)

  集合論における自然数の表記と計算

  0、1、「次の数」に関する哲学的考察~フレーゲ『算術の基礎』

  デデキントの「切断」による実数の構成~対角線論法2

  「1+1=2」はなぜか~小学1年生の算数の教科書 

  引き算、足し引き連続、0(ゼロ)~小学1年生の算数2

  掛け算の導入、足し算・引き算との関係~小学校の算数3

  同じ数ずつ分ける計算、割り算(除法)~小学校の算数4

  原始リカーシヴ関数と足し算(加法)、掛け算(乗法)

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数学」カテゴリの記事

コメント

二日前にちくま学芸文庫“数学という学問1”を病院の待合で読み始めて、まぁこれが出てきたんです。もう一つ分からないので調べてんですが、自然数を定義する或いは規定する上で、取り敢えず0や1が自明のモノとするのは良いとして、右用演算とか後者関数とか要するに(n+1)に似た概念を用いた時点で、nが既に自然数であるのだからマッチポンプというか詐術にしか思えないんですけど、どうなんでしょう。
今日の我々の感覚では、自然数を定義する必要がある段階で、自然数では無い種類の数字が存在する事が意識されるのですから、任意のn回繰り返すとかのn(自然数)とは限らん可能性があるから自然数を規定したい訳です。それで右用演算を自然数とは限らない未知数x+1としてしまうと、N(自然数の全体集合)を規定できなくなる。ペアノの定理を自然数の数学的表現とするには、0と1について不問としただけでなく、取扱う数字自体が自然数で閉じている必要がある。ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何の関係のような公理系の違いのような前提が要ると思います。
可笑しいですかね?この私の感じた違和感は。

投稿: ト | 2013年12月 4日 (水) 13時22分

> ト さん
   
はじめまして。コメントありがとうございます。
  
正直、色々と分かりにくい部分があるのですが、
その「違和感」は多分、可笑しくないと思います。
むしろ、自然で普通の感想でしょう。
  
今日というか、日付け変わって昨日、
書店でその本の該当箇所だけ読んでみました。
ごく簡単で短い話しか書いていませんね。
   
   
要するに、先に「普通の自然数」があるわけですが、
その本質をとらえると共に、「普通」のままでは
上手くいかない問題を解決したい。
そこで、「さしあたり別の、人工的な自然数」を、
ペアノが作ったわけです。
  
すると、実はどうも、「普通の自然数」と「ペアノに
よる人工的な自然数」は(ほぼ)同じらしい。
ただし、ペアノが作る時、「普通の自然数」を
意識してるから、かなり似てるのはある意味、当然。
 
      
ただ、「マッチポンプ」とか「詐術」という見方、
あるいは言い方には、あまり同意できません。
  
まず、マッチポンプとは、自分で余計な問題を
起こして、それを自分で解決して、まるで
自分が活躍したかのように見せかけること。
   
ペアノの場合、数学基礎論的な歴史の流れの
中での業績であって、1人でマッチをすったのでも
なければ、個人レベルの小さな火でもありません。
    
次に、詐術というのは、ペアノ自身の問題と
言うより、読み方の問題でしょう。
  
ペアノは、「さしあたり別の、人工的な自然数」を
作ったのであって、その中で色々な話をしてるだけ。
それを、「普通の自然数」に対する証明その他だと
みなすのは、また別次元の話です。
    
ペアノ自身の文章を読めばハッキリ分かりますが、
「普通の自然数」の話とは微妙な距離を
キープしながら、「人工的な自然数」の話をしてます。
いつの間にかゴチャ混ぜにしてしまうような
姿勢や部分は(ほとんど)見られません。
たとえ、本心では結局、2つの自然数は同じだと
言いたいのだとしても。。
       
ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何という
比喩も、何となく雰囲気は分かりますが、
あまり適切でないと思います。
    
と言うのも、これら2つは公理が矛盾していますが、
「普通の自然数」と「ペアノによる人工的な
自然数」とで矛盾を見つけるのは困難でしょうから。
  
     
とはいえ、ペアノの自然数に対して違和感を
持つのは可笑しくないですよ。
その違和感は、抱いたままでもいいし、さらに
思考を深めることで緩和されるかも知れません。
  
まずは、具体的な問題を解くことを
やってみては如何でしょうか。
理屈を読んで考えるだけでなく、問題を手で解く。
ペアノの場合、たとえば足し算、掛け算の証明が
「論理的に」できるわけです。
それは、「普通の自然数」では出来ないこと。
     
そういった利点を理解していくと、
「そうゆう事なら、普通の自然数とペアノの
 自然数を同一視してもいいかも知れない」
と思うようになるかも知れません。
  
後はご自分の努力と考え方次第なので、
お任せしましょう。。shine

投稿: テンメイ | 2013年12月 7日 (土) 02時08分

おおレコメありがとうございます。捨て米ぐらいのつもりだったので恐縮します。

あれから未だ続きは読んでないんですけど、ペアノ氏が考えてたのは自然数における無限についての数学的扱いや展開についてではないでしょうか。
別に自然数の定理とかは後代の誰かが言い出しただけでしょ。あと四則演算の減除計算では直ぐに自然数からハミ出てしまうので駄目ですね自分的には。
この文庫の例にもありますけど7つのパンを8人で分けるなんて計算はメソポタミアでも古代中国でもあったはずですから、ペアノ氏が分数や小数的な何か想定していないとは考えられない。何らかの意図的にそれらを除外してると思います。それともそういうのは幾何問題とでも考えたんでしょうかね。

投稿: ト | 2013年12月10日 (火) 00時59分

> ト さん
  
こんばんは。どういたしまして。
再びコメント、どうもです。
    
ペアノというのは、自然数の公理や加法・乗法ばかりが
有名で、全体像はまだまだ曖昧です。
少なくとも日本では、情報も研究も限られてるのが現状。
    
「無限」に対するこだわりというのは、
今回使った訳書だと、特には感じません。
もちろん自然数全体は、無限集合、無限数列ですが。
   
    
「自然数の定理とかは後代の誰かが言い出しただけ」と
書いてますが、ペアノ論文の至る所に定理はあります。
証明は大幅に省略されてますけど。
  
「何らかの意図的にそれらを除外してると思います」とも
書いてますが、ペアノは分数も実数も除外してません。
  
加減乗除の説明の後、有理数を説明し、更にデデキントを
援用しつつ、無理数や実数についても語っているのです。
図書館その他でご確認ください。
    
  
なお、当サイトでは連続2回のやり取りで
終了とさせて頂いてます。
悪しからずご了承ください。
後はお任せしましょう。それでは。。shine

投稿: テンメイ | 2013年12月12日 (木) 02時09分

以前、「マイナス1かけるマイナス1が、なぜ1なんだ問題(http://nakaken88.com/2014/10/08/080800)」という記事を自分のブログで書いたのですが、その際に貴サイトを参考にさせていただきました。ありがとうございます。

ところで、小辞典から引用されたペアノの公理について、「1~3だけから自然数を決定するようにも見える」と書かれていますが、4と5はとても重要なものだと私は考えています。というのも、これがなければ変な集合も「自然数」といえてしまうからです。

例えば、「0の次は1、1の次は2、2の次は0」というmod3の世界を考えると、4の条件以外はすべて満たしています。しかし、この{0,1,2}はあきらかに自然数の集合ではありません(そもそも個数が違う)。4の条件はこういったものを排除するために必要です。また、「0の次は1、1の次は2、2の次は1」という世界を考えると、5の条件以外はすべて満たしますが、これも自然数ではありません。

つまり、1~3の条件は、0を出発点とした列が伸びていってることを述べていますが、4と5の条件は、その列が自分と交じっていない、巡回していないことを保証するためのものです。列がずっと無限に続いていくために、4と5は欠かせないと私は理解しています。

投稿: nakaken88 | 2014年10月11日 (土) 09時07分

> nakaken88 さん
  
はじめまして。コメントありがとうございます。
そちらの執筆の際、当サイトを参考にして頂いたとの事。
わざわざご挨拶、どうもです。光栄に思います。
   
上でお書きになった話は、一つの見方として理解できますが、
私の記事のニュアンスが伝わってないような気もします。
    
私は、「1~3だけから・・・ようにも見える」と書いて、
「しかし、そうではない」という文脈を作ってるのです。
「しかし」というような、逆説の接続詞や接続語句を
省略してるので、分かりにくかったのかも知れません。
  
あと、「0の次は1、1の次は2、2の次は0」と
いう時、その助詞「は」は、「・・の次」とある要素との
等しさを前提としてるように思われます。
  
小辞典のⅠ、Ⅱ、Ⅲにはそもそも、
そうした「=」関係が入っていません。  
ですから、仮にⅣ、Ⅴがなくても、循環というのは
問題にならないと思います。
循環は、要素間の直接的関係を導入した後の話でしょう。
   
いずれにせよ、この記事は本質的に、ペアノ自身の
記述に向かうもので、『小辞典』のまとめ方は
参考程度の話のつもりです。
ご了承頂ければ幸いです。。shine

投稿: テンメイ | 2014年10月12日 (日) 02時05分

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