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宝くじは連番よりバラの方が当選確率が高い(2)~具体例の数学的証明

今日はドリームジャンボ宝くじ(第605回全国自治宝くじ)の発売最終日。

あわてて買いに行く前に、ちょっとネットで調べてる方が多いんだろうか。昨

日から、私が半年前に書いたロングセラー記事にアクセスが増えている。

  

  宝くじの買い方、連番よりバラの方が当選確率が高い~朝日新聞・be

      

この記事は、朝日新聞の手短な解説を突っ込んで分析したもので、かなり

微妙な所まで考えてるし、具体的な計算もそこそこ入れてある。結論として

は、やっぱり朝日の記事は「正しそう」で、「高額当選」の確率を上げたいの

なら、連番よりバラ売りを買う方がかなり「有利そう」だということになった。

この場合の高額当選とは、1等と前後賞のどれかに当たることを指してる。

ジャンボ宝くじなら2億円と各5000万円だから、どれか1つでも十分高額

で魅力的だろう。

                    

ただ、厳密な数学的証明は出来なかったし、もちろん朝日の記事にもない。

難しい点は2つある。まず、バラ売りする宝くじの選び方がどうなってるのか

という事。朝日新聞では、同時に2つ当たることは無いとされてたけど、信

頼できる根拠はネット上(みずほ、宝くじ協会など)に見当たらなかったし、

仮にそれが正しいとして、どのようにバラを選んでるのかが分からない。

    

一方、バラの選び方によって、当選確率に特殊な変化が起きないという証

も難しい。直感的には、意図的に飛び飛びに選んでるのだから、どれか

1つが当たる確率は少し上がりそうな気もする。サイコロにせよ、くじ引き

にせよ、高校数学などの確率の問題では、「無作為抽出」が基本。簡単に

言うと、意図せずでたらめ(=ランダム)に選び出すわけだが、宝くじのバ

ラ売りの場合、販売以前に(おそらく機械的に)「作為抽出」してるのだ。

それによって当選確率が変わらないというのは、明らかではない。。

      

              

         ☆          ☆          ☆

それら2つの問題点は、その後もそのままになってたけど、昨日になって、

バラ売りのシステムを説明してくださるコメントを頂いた(去年の記事)。や

はり、2つ以上同時に当たらないよう、機械的に選んでるようだ。信頼でき

る根拠は添えられてないし、自分でも発見できてないものの、朝日の記事

とも整合的だ(=つじつまが合ってる)し、常識的にもそんな気がする。

    

だから、とりあえず以下では、次の仮説を認めとこう

   

   「バラ売りでは、2つ以上同時に当たらないような組合せ全体の

    中から、無作為(でたらめ)に販売用の組合せを選んでいる」。

      

では、こうしたバラ売りは、やはり連番より当選確率が高いのか。また、

その選び方によって、当選確率は変わらないのか。それら2点について、

具体例で考察してみよう。一般化には成功してないし、それはおそらく非

常に大変(or 高度)だと思う。

            

結論的には、やはりバラ売りの方が遥かに当選確率が高いし、バラ売り

セットの作り方によって確率の妙な変化は起きない「ようだ」。私はまだ、

特に後者は確信してないけど、計算した具体例においては、完全に正し

いことが証明された。。

    

   

        ☆          ☆          ☆

元の朝日の記事では全体で100枚のくじから10枚選ぶ(or 買う)場合

を考えてるが、これだと計算があまりに面倒で、やる気がしない。上手

い方法も思いつかないので、13枚から4枚選ぶ場合と、14枚から4枚

選ぶ場合を考えてみる。

   

この中途半端な枚数について説明しとくと、1等と前後賞で3枚だから、

れを上回る最小限の枚数として4枚を選ぶことにした。キリのいい5枚に

するだけでも、かなり面倒になってしまう。

         

次に、全体の枚数は、バラ売りが可能な最低枚数が12枚となる。1~12

の番号を付けると、例えば(1,4,7,10)。こうした2枚飛ばし(2枚当選を

避けるため)が可能になるためには、12枚必要なのだ。1番と10番が2枚

飛ばしになるには、12枚必要だという点にご注意あれ。で、最低枚数だと

単純過ぎるから、1枚増やした13枚の場合と、2枚増やした14枚の場合

を考えてみることにした。

           

  (1) 全部で13枚の宝くじで、4枚選ぶ(=買う)場合

      

     くじを1~13番とし、1等を仮に5番とする(何番でも同様)。

      まず、連番の選び方は、(1,2,3,4)、(2,3,4,5)、・・・

     (10,11,12,13)、(1,11,12,13)、(1,2,12,13)、

     (1,2,3,13)の13通り。最後の2セットも連番になることをお忘

     れなく。

     この内、1枚以上が1等か前後賞に当選するものは、(1,2,3,4)

     から(6,7,8,9)の6通り。

     ∴ (連番の当選確率) = 6/13

     

     一方、バラの選び方は、(1,4,7,10)、(1,4,7,11)、

     (1,4,8,11)、(1,5,8,10)、(2,5,8,11)、(2,5,8,12)、

     (2,5,9,12)、(2,6,9,12)、(3,6,9,12)、(3,6,9,13)、

     (3,6,10,13)、(3,7,10,13)、(4,7,10,13)の13通り。

     この内、当選するのは(3,7,10,13)以外の12通り。

     ∴ (バラの当選確率) = 12/13

    

     したがって、バラの方が2倍の当選確率である。あと、このバラの

     当選確率は、選び方による特殊な影響を受けてない。つまり、4枚

     の内の1枚が当たる確率を単純に 3/13 として、それを4倍した

     数字と一致している。つまり、朝日の記事の計算が通じてるのだ。

     

      

  (2) 全部で14枚の宝くじで、4枚選ぶ場合

      

      上と同様に、くじを1~14番とし、1等を仮に5番としておく。

      まったく同様の考えで、(連番の当選確率) = 6/14 = 3/7

     

      一方、バラの選び方は、(1,4,7,12)~(5,8,11,14)の

     35通り(途中省略)。この内、ハズレるのは、(2,7,10,13)、

     (3,7,10,13)、(3,7,10,14)、(3,7,11,14)、

     (3,8,11,14)の5通りだから、当選するのは30通り。

     ∴ (バラの当選確率) = 30/35 = 6/7

    

     興味深いことに、この場合もバラの方が2倍の当選確率だ。また、

     (1)と同様に、バラの選び方による特殊な影響を受けてないことも

     分かる。つまり、4枚の内の1枚が当たる確率を単純に3/14とし

     て、それを4倍した12/14、つまり6/7が、バラの当選確率と一

     致してるわけだ。。

     

    

という訳で、今回の目的は果たされた。(2)の35通りは、気になる方は自

分で数え上げてみて欲しい。ダブらず、もらさず、全てを数え上げるには、

何か工夫があった方がいいと思う。

           

私の場合、番号の飛び方に注目して、例えば間の数字が4枚、2枚、2枚、

2枚と飛んでる、(1,6,9,12)のような組合せは、「4222」と呼んだりし

た。すると、このタイプが14通りで、「3322」タイプも14通り、「3232」タ

イプが7通り、トータル35通りとなる。図は、横一列のものと、円順列みた

いに両端をつないだものとを併用した。    

     

もっと「エレガントな解答がある」と思うけど、今日の所はこの辺で。。☆彡

       

   

       

P.S. 「縦バラ」買いについての記事を追加。

    宝くじ、「縦バラ」買い&「バラだと前後賞が当たらない」説♪  

     

                               (計 2913文字)  

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コメント

素晴らしい考察ですね。こういうかったるい事もガンガン分析して凄いなーと何時も思います。この宝くじのモデル出てきそうでなかなか思いつかない仕様ですね。
このコメント欄に表が載せられませんでしたので、私のブログに続きを書きました。時間があったら見てください。

投稿: gauss | 2011年6月 6日 (月) 21時25分

> gauss さん
   
毎度、温かいコメントどうもです♪
    
こうゆうマニアックな記事の価値が分かる読者の方は、
ホントに貴重&稀少ですね☆
そうそう。モデルを作るのに時間がかかってるんですよ。
当然、何度か失敗してます。
数え方の発見までにも、ちょっと試行錯誤がありました。
   
一方、そちらの記事もまた、凄いマニアックさですね!
有意義なコラボレーション、ありがとうございます。
私は一通りの記事作成で疲れてしまって、
表作成や期待値の計算まで手が回りませんでした。。

投稿: テンメイ | 2011年6月 8日 (水) 02時06分

あのような表を無断で載せて、テンメイさんが不快になったらまずいなーと心配してましたが、有意義なコラボレーションと言っていただき本心良かったと思っています。期待値は同じになるはずと思って作った表です。

投稿: gauss | 2011年6月 9日 (木) 00時21分

> gauss さん
   
僕の感覚だと、いまだに数学はペンとノートなんですが、
カラーの表はやっぱり見栄えがいいですね。
2年ほど前には、ソフトで作ったグラフを載せる
練習もしてましたが、いつの間にかサボってます♪
   
その意味で、gauss さんの技は刺激になりますよ☆
表現面だけでなく、内容面でも、期待値計算は有意義な補完。
まさにコラボレーション=協働作業でしょう。
    
震災や原発の問題もあって、確率・統計の勉強をしたいと
思ってますが、なかなか手が回りません。
こうゆう時、ブログを週1、2回に絞ればなぁ・・とか
思ってしまうわけです。。♪

投稿: テンメイ | 2011年6月10日 (金) 06時43分

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