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数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ☆

(☆15年9月19日の追記: 関連する最新記事をアップ。

       数学甲子園2015、全20問の問題、解き方、感想 )

 

 

         ☆          ☆          ☆ 

先日の津波の記事もそうだったが、今日もまったく予定外の理数系記事を

書いてみよう。たまたま、身近なあちこちでスーパー高校生の頭脳対決

話題になってるから、ちょっと気になって問題をチェックしたら、そのままズ

ブズブとハマってしまったのだ♪ こうなると、毎日更新ブロガーとしては、

記事にまとめないと損したような気分になる。タイミング的にも、今すぐアッ

プしとくべきだろう。

 

私がチェックしたのは、日本数学検定協会の主催で2008年に始まった

全国数学選手権大会(団体戦)」(MATH BATTLE=数学バトル)で、

今年でまだ第4回。数検20周年の記念事業として立ち上げたようで、要

するに「数学の甲子園」だ。「高校」という言葉を大会名に入れてないの

は、中高一貫校はもちろん、高等専門学校中学校(!)も出場できる

ためだろう。まあ、実際の出場校は高校がほとんどだ。

 

去年は、深夜のマニア向け人気番組『たけしのコマネチ大学数学科』でも

紹介されたようだけど、まだまだ一般には馴染みがないと思う。私が知っ

たのも去年だし、今年の大会予定(先週の土日)なんて全く知らなかった。

 

高校生の数学の勝負ということだけなら、昔から大規模な全国模試で行わ

れてるわけだが、この大会はかなり特殊なこだわりを見せてる。まず1チー

ム3~5人の団体戦であって、他に監督(生徒でも可)までいる点。同じ学

校からの複数チーム出場も可能。どうせなら個人戦もやればいいと思うけ

ど、模試や数学オリンピックとカブるから避けたということか。今年は43校

63チーム出場。やはり関東が多い一方、四国・九州・沖縄はゼロ。なぜ

か、超有名校の名前も見当たらない

 

土曜に2回ある予選は、高校1~2年程度(数検・準2級~2級)の普通の

問題を解くだけで、数学大好き少年&少女にとっては楽勝だろう。実際、

今年の1次予選(=予選・前半; 各個人で解答、全員正解すると得点)で

は、満点が大勢出たようだ。2次予選(=予選・後半; チームで解答)で

は、英語の問題も入るけど、非常に簡単な英文だから差し障りはないは

ず。この段階からは、英語辞典も使えるし、参考書学辞典も使用可

になる。現実社会に即した条件設定で、いいと思う。

 

笑えるのは、予選中は耳栓の使用も許されてること♪ 音楽が流れてる

ので、それが気になる人への配慮のようだ。どんな音楽が流れてるのか

知らないけど、まさかフリースタイルスキーやスノーボードの大会の激しい

ノリではないはず♪ とはいえ、かなり現代的な話ではある。案外、学校

の教室とかの実状を反映してるのかも知れない。そう言えば高校時代、

耳をふさぐようにして勉強してたクラスメートもいた気がする。邪魔して悪

かったかも。。

 

 

         ☆          ☆          ☆     

予選は問題レベルも低いし、採点も○×式の簡単なもの(1点 or 0点)。

重要なのは本戦、つまり準決勝と決勝だ。

 

準決勝高校2~3年程度(数検2級~準1級)の問題で、パソコンで解答

を作成、USBメモリーで提出。1チームでパソコン1台のみという制約は、

厳し過ぎる気がするが、電卓使用可。選手間の相談も出来るし、監督が

解答をチェックして「やり直し」を命じることもできる(具体的アドバイスは禁

止、相談&チェックは予選後半から)。

 

という事は、監督には一目で正誤が判定できる実力が要求されることにな

る。自分でも、超速で問題を解くのかな。とにかく、責任重大だし、間違っ

た解答を認めてしまったら、後で恥ずかしいだろう♪ 

 

ちなみに、ネット使用不可で、決勝も同様。今年は、京大入試ネット投稿

事件の直後だから論外として、来年以降は、条件付きで使用可能になって

も不思議ではない。今時、ネットで調べながら問題解決するのは常識のは

ずだ。私も今、ネットで公式サイトを見ながら、この記事を書いてる。

 

決勝は、まったくの別世界。残った6チームで、与えられた課題に即して

問題を創作。さらに、創作問題に関する短いプレゼンテーションを行って、

チーム相互の質疑応答も行い、総合的な審査で判定が下される。したがっ

て、決勝だけは、アート(芸術)に近い競技なのだ。個々の技の点数が細

かく決められてるフィギュアスケートと比べても、かなり主観的な評価にな

るだろう。

 

各審査員が、問題については「完成度」、「発想の美しさ」、「解答の合理

」の3つを、プレゼンテーションについては、「発表の内容・表現力」、

質問の内容」、「質問に対する回答の的確さ」の3つを判定。各5点、計

30点満点で評価し、(おそらく)4人の審査員合計点がチームの得点

になる。フィギュアでさえ、しばしば得点に疑問が投げられるくらいだか

ら、この審査の妥当性自体も、今後の大きな課題だろう。

 

ともあれ、優勝した明照学園・樹徳中学校・高等学校Aチームの皆さん、

どうもおめでとう☆ 優勝旗、トロフィー、賞状を持った誇らしげな姿が清々

しかった。

 

 

        ☆            ☆           ☆

ここまで、簡単な前置きのつもりだったのに、ずいぶん時間を取られて

しまったから、肝心の問題紹介についてはもう、簡単に済ませよう。そも

そも予定外の記事だし、時間が無いのだ。

 

結局、普通の数学の問題としては、準決勝が最高レベルになる。大切な

商品だからなのか、この問題がなかなか見つからないようなサイト構成に

なってるけど、第3回の問題は検索で入手できたので、珍しさもあって、

語の問題を解いてみた。

 

ちなみにこの問題の解答は、「美しさ」のような芸術性は問われない。単

に、解けるかどうか、解けた人の中で速いか遅いか、それだけが問われ

ることになる。論理的に正答を素早く求めれば、それでいいのだ。判定(採

点)は「数学コーチャー」と呼ばれる有資格者が、1問あたり10点満点で

行うようだ。記述式試験の採点みたいなものだと思う。では、実際に問題

文を見てみよう。英語の問題でも、日本語で答えればいいようだ。

 

 

   Problem No.3

     Suppose an equilateral triangle ABC with unknown side length

     ℓ .There is a point P inside the triangle such that the distances

     from the vertices are AP=7, BP=10 and CP=13. Find the

     value of ℓ .

 

私の翻訳は以下の通り。

 

   問題3

      一辺の長さ ℓ (エル)が分からない正三角形ABCを考えてみよう。

      その三角形の内部には点Pがあり、各頂点からの距離は、

      AP =7、BP=10、CP=13となっている。ℓ の値を求めよ。

 

 

私の第一感は、意外と簡単そうだな、というもの。実は、英語の問題は少し

レベルを下げてて、高校2年程度になってるんだけど、この問題を読んだ

時点で、私はその事を知らなかったから、アレッという感じがして、解くの

を止めそうになったほどだ。

 

それでも、試しに少しボールペンを動かしてみると、やはり1分程度で見通

がついてしまう。再び止めそうになったけど、二重根号とかの計算が大変

なのかなと思って、一応最後まで計算。やはり、最初から最後まで何の盛

り上がりもない簡単さだ。10分前後で、全く考え込むことなく、単に図をサ

ラッと書いて、計算し続けただけ。もちろん私は、スーパー高校生ではな

く、単なる理屈好きのマニアック少年だ(現在形♪)。

 

 

        ☆          ☆          ☆

110925_2

 では、私の解答について。

 エレガント(優雅)でもユニー

 クでもクリエイティブでもな

 いけど、シンプルロジカ

 ル(論理的)なものの一つ

 だと思う。図は私が書いた

 もので、問題には無い。

 

 ∠ABP=θとおくと、三角

 形ABPに余弦定理を用いて

   cosθ =(10²+ℓ²-7²)/(2×10×ℓ)

        =(ℓ²+51)/20ℓ ・・・・・・

 

また、∠PBC=(60°-θ)だから、三角形PBCに余弦定理を用いて、

   cos(60°-θ)=(10²+ℓ²-13²)/(2×10×ℓ)

             =(ℓ²-69)/20ℓ ・・・・・・

 

本質的に、この問題はここで既に終了に近い。θとℓに関する簡単な連立

方程式が導かれたからだ。後はθを消して、ℓ のみの式にするだけの事。

 

同じcos(コサイン)を加法定理で計算すると、

   cos(60°-θ)=cos60°・cosθ+sin60°・sinθ

              =(1/2)cosθ+(√3/2)sinθ ・・・・・・

 

②③より、 

    (1/2)cosθ+(√3/2)sinθ = (ℓ²-69)/20ℓ 

①を代入して変形すると、20ℓ√3・sinθ=ℓ²-189

この式より、ℓ²-189 > 0 ∴ℓ² > 189

また、sinをcosに変換する準備として、等式の両辺を2乗すると、

   1200ℓ² sin²θ = (ℓ²-189)²

 

ℓ²=X とおくと、X >189であり、1200X sin²θ=(X-189)²

   ∴ 1200X(1-cos²θ) = X²-378X+189²

再び①を代入してcosθを消し、整理してXの2次方程式にすると、

     X²-318X+10881=0

因数分解して、 (X-39)(X-279)=0

  X > 189より、X=279。  

 

  ∴ ℓ² = 279     

ℓ は辺の長さだから、正。 ∴ = √279 = 3√31

 

 

          ☆           ☆          ☆

正解発表されてないから、ひょっとすると計算間違いがあるかも知れない

けど、キレイな図を書いて調べると、ほぼ合ってるのは分かる。√31≒

5.57だから、一辺の長さ ℓ は16.7くらいの値。図で測っても、ほぼその

くらいの長さになった。

 

この問題、高校2年レベルというより、高校1年レベルのやや難しい部類と

いった感じだろう。使った技は、三角比(cosとsin)と余弦定理、加法定理

のみ。なるほど、これなら楽勝だと思った高校2年生以下の人は、ぜひチー

ムを組んで、来年の大会を目指して欲しい。

 

活躍すれば、テレビ・新聞など、マスメディアに出れるかも知れないし、自分

たちの様子はHPで公開できる。活躍しなくても、青春の貴重な思い出にな

るだろう。地方の人なら、東京見物の言い訳にもなるはず。わざと1次予選

で負けて、すぐ渋谷、お台場、東京スカイツリー、ディズニーリゾートに向か

うとか♪ 先生は夜だけ別行動、条例違反に注意して。 

 

ちなみに、実は上の英語の問題より、日本語の1番がすごく面白かった

だけど、時間の関係で省略する。数学好きの方は、ぜひ第3回・準決勝の

1番にチャレンジして頂きたい。私は、一応解いたけど、いまだにしっくり来

てない。ゲームの有利な戦い方に関する不思議な結論で、確率の問題だ

から、実験的に検証してみたくなるほど♪ おそらく出題者(あるいは創作

者、研究者)は、パソコンのソフトか手作業で試してると思う。

 

というわけで、来年・第5回の数学甲子園もますます盛り上がることを祈り

つつ、今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

 

P.S. 名前と内容が似てる別の大会が、色々とあることに気付いたので、

     別記事でまとめといた。算数もあるようだ。

       「数学・理科甲子園」、「科学の甲子園」もあるのか・・

 

 

cf. 四角形の外接円の半径の求め方~数学甲子園2014予選問題13解説

   数学甲子園2012・サンプル問題の解き方&リハビリジョグ2

 

                                 (計 4524文字)

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コメント

gaussです。テンメイさん、
4年連続会場にいた私よりズット詳しい説明ですね。私は第一回大会で特別審査員を賜りましたのでピュアーには書けないがちょっとコメントします。
1チーム3~5人と幅があるのは、第一、二回大会は一次選抜/二次選抜/三次選抜/決勝という流れで、一次選抜は全員がある得点を取らないとそのチームはそこで敗退となります、二次選抜三次選抜は多いほど有利ですから、数学そのものに強い生徒、英語にも強い生徒を何人どう揃えるかは高校側の戦略です。
個人戦がないのは、数検はこの大会の構想に数年掛けています、そのとき数学を団体でと言うのがコンセプトでした。決勝の採点はテンメイさんの言われる課題もありますが、概ね自然体で採点されます。第一回大会は私が最高点を付けた高校が優勝高になりほっとした覚えがあります。
問題3を、テンメイさんは解かれ高校1年の++レベル部類と書いてますが、その通りなんですが、もとの問題は「全有理距離点問題」といって、AB、AP,BP,CPが全て整数になるものを求める問題を高校性レベルにしたのものです。全有理距離点問題はかなり手強く、解は沢山あるのですが最少な整数解の組を要求しています。

投稿: gauss | 2011年9月27日 (火) 21時33分

> gauss さん
    
おはようございます。ご丁寧なコメント、どうもです。
   
ウチはマニアック・サイトを自称してるので、「詳しい説明」らしき
ものは書きますが、管理人が実際に詳しいとは限りません♪
   
皆勤賞のgaussさんの方がズット詳しいでしょう☆
まあ、どの世界でも、なまじ詳し過ぎると、
ピュアには書けないもんですけどね。
原発も芸能界もスポーツも、そうだと思います。
  
       
3~5人という人数の幅は、僕もルールを
きっちり読んで、初めて納得しました。
予選・前半(一時選抜)では各問題について、全員正解の時のみ
1点獲得だから、人数が少ない方が有利なんですね。
    
まあ、上位を狙うチームなら、予選・前半の問題は楽勝だろうから、
そんな事は気にせず、5人チームで出場するでしょうけど。
予選・後半、準決勝、決勝で有利ですからね。
    
    
英語はかなり簡単な文のようだし、辞典も使用可
だから、英語に強い生徒はせいぜい1人で十分。
それより、1台しかないPCの入力が気になります。
    
準決勝は時間との闘い。20分で3問解いて、
1問13分で入力しても、計59分。
ミスとか、やり直しを考えると、忙しいですね。
PC入力は1題のみにするとか、PCを
3台にするとか、改善の余地があると思います。
  
数検のイベントだから、どうしても簡単な問題を
素早く処理することに重点がおかれるのでしょう。
でも、「全国数学選手権」と名付けるのなら、もう少し問題の
レベルを上げて、生徒に時間的余裕を与える方がいいと思います。    
例えば、準決勝は70分にするとか。
難関大学の試験時間と比較しても妥当だと思います。
   
        
団体戦というのは凄く面白いんですが、
それと共に個人戦もやれはいいと思うんですよ。
本来、数学は個人的なものですしね。
運営的に大変なら、個人戦はシンプルにするとか。
数学と近い頭脳ゲームの囲碁・将棋は、両方あります。
スポーツでも、体操、陸上、柔道、剣道など。
   
      
決勝で一番気になるのは、発表時間の短さ。
僅か3分のプレゼンで、問題と解答を発表して、
ねらいと総括まで話すのは、早口競争みたいなもの♪
そうでなくても、学問的な発表というのは一般に、
発表者の独り言に近くなりがちです。         
   
僕なら、発表3分、相談2分、質疑応答5分ではなく、
発表5分、相談3分、質疑応答6分にします。
1200字前後(この僕のレスくらい)、しっかり
発表して、その間に相手チームもきっちり理解する。
1チーム当たり4分増えるだけなので、
6チームでも24分増えるのみ。
準決勝で10分増やしたのと合わせても、34分増し。
    
それで遠方から来た高校の帰宅が苦しくなるのなら、
決勝は4チームに絞るとか。
そもそも普通、決勝は2強の闘いですからね。
決勝のチーム数を減らせば、曖昧な主観的評価の
問題も、少し減らせるでしょう。
    
   
最後に、「全有理距離点問題」。
意味は理解できるし、問題3との関係も分かりますが、
全く聞いたことが無かったのでさっそく検索。
『数学セミナー』関連の情報がズラッと並びました♪
  
求めた一辺の長さが、有理数ではなく無理数になったのは、
全体の計算をラクにするための配慮なんでしょうね。
背景まで教えて頂き、勉強になりました。。

投稿: テンメイ | 2011年9月29日 (木) 07時09分

1台しかないPCの入力が気になります。
もう少し問題のレベルを上げる。
準決勝は70分にするとか。
決勝で一番気になるのは、発表時間の短さ。

 →どれも検討の余地はありますね。
  チーム一台のPCはプリンターが付いていません。
  別に共用PCが3台ありそこに行って各チームは
  プリントアウトしている。これは気の毒ですね。        

団体戦というのは凄く面白いんですが、
個人戦もやれはいいと思うんですよ。
本来、数学は個人的なもの。

→数学は本来個人的なものというところから
 この大会の検討が始まったと聞いてます。    
   
最後に、「全有理距離点問題」。
求めた一辺の長さが、有理数ではなく無理数になったのは、
全体の計算をラクにするための配慮なんでしょうね。

→そうです。P点が内部にありAP,BP,CPが一桁の整数のときは、
ABも整数という解の組はありません。一昨年の一月に、
 私の憧れの一松信先生からフェルマー点の整数最少解の組
 を探してくださいと頼まれまたとき、合わせて上記も探しました。
 緊張してプログラムを組、運良く探せて報告しました。
 最少の整数解は、
 AB=112、AP=73、BP=65、CP=57 です。

投稿: gauss | 2011年9月29日 (木) 16時27分

> gauss さん
    
再び、どうもです。
   
まだ歴史の浅い大会ですから、
是非いろいろと改善して欲しいもんですね。
参加者、スタッフその他の声を聞きながら。
プリンターは予算の問題なのかな。
音も静かで短時間だし、耳栓も使用可なのに♪
     
数学と自然科学の大きな違いの一つは、
個人か集団かということだと思います。
もちろん、比較の問題、程度の問題ですけどね。
     
数学は個人的なものだからこそ、
団体でやる面白さもあるわけですが、
いずれは個人戦もプラスすべきでしょう。
数学オリンピックや模試、入試などとは
ちょっと違う路線を見いだして。  
   
プログラムを組んでコンピューターに
解かせるって技は、僕には皆無です。。(^^ゞ
   
勉強しなきゃとも思うんだけど、何となくPCが壊れそうな
気がするし(笑)、どこかでやっぱり、人間の頭だけで
解くことの方が上だと思ってるんでしょうかね。
将棋のプログラムが強くなるのも悔しいし♪
囲碁も時間の問題でしょう。。
   
もうちょっと自分が賢くなってから、コンピューターの
手助けを借りても、遅くないような気もします。
・・・とか言ってる内に手遅れになるのかも(笑)

投稿: テンメイ | 2011年10月 1日 (土) 04時16分

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