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ε-N論法による基本定理の証明~数列の商の極限

「数学記事は先日書いたばかりだけど、今夜は不純な動機から、また数学

記事を書くことにしよう」。。そう書き始めようと思ったが、実際は前回から

既に3週間以上も経過してたようだ。それなら、記事ローテーション的にも

おかしくないだろう。ちなみに不純な動機とは、手っ取り早く硬派の記事を

書きたい、という思いのこと。日曜の夜、時間に追われてるもんで。。

    

前回は、ε-δ(イプシロン・デルタ)論法を用いて、「関数の積の極限」が

「関数の極限の積」になることを証明した。和(足し算)と定数倍の極限に

ついてはかなり前に証明してるから、差(引き算)の極限についても証明

したことになる。と言うのも、 「f(x)-g(x)」は、「f(x)+{ -1×g(x)}」と

考えられるから。つまり、関数の差とは、関数の和と定数倍の組合せで

処理できるわけだ。

       

結局、極限の基本定理の中で、残るのは商(割り算)のみ。関数に関す

るε-δ論法の記事が多めになってるので、今回は数列に関するε-

N論法を用いて、「数列の商の極限」=「数列の極限の商」を証明しよう。

これが出来れば、ほとんど同様の式変形で、「関数の商の極限」=「関

数の極限の商」も証明できるのだ(もちろんε-δ論法)。

   

なお、数列の極限を厳密に扱うためのε-N論法に慣れてない方は、

2年前の次の記事をご参照あれ。

   ε-N(イプシロン・エヌ)論法~数列の極限の定義と解き方

      

    

         ☆          ☆          ☆

さて、ここでは話の重複を避けるために、「数列の積の極限」=「数列

の極限の積」は既に証明されてるとしよう。つまり、

   lim a(n)b(n) = { lim a(n) }× { lim b(n) }  (n → ∞)

   

これは、関数の積の時とほぼ同様の式変形で、証明できる定理だ。ち

なみに、活字の制約から、数列の項の番号を示す添字の n は、カッコ

に入れて示すことにする。「lim」の下に書くべき「n → ∞」についても、

カッコに入れて右端に書くことにするので、念のため。ではいよいよ、

商についての証明に移ろう。

    

    

☆「数列の商の極限」=「数列の極限の商」、の証明☆ 

    

  以下、lim a(n) = p 、 lim b(n) = q (n → ∞)の時、 

     lim a(n)/b(n) = p/q (n → ∞) ・・・・・・①

  となることを証明する。ただし、b(n) ≠ 0、q ≠ 0とする。

     

  いま、lim 1/b(n) = 1/q (n → ∞) ・・・・・・②

  であることが示されているとすれば、

      lim { a(n) / b(n) } = lim  { a(n)×1/b(n) }

                   = p × (1/q)

                    = p/q   (n → ∞)

  となり、①は簡単に証明される。

    

  よって、①を証明するには、②を証明すればよい。つまり、「数列の

  逆数の極限」=「数列の極限の逆数」を示せばよい。ε-N論法を

  用いて言い直すと、証明すべき命題は、

  「すべての正の整数εに対して、ある自然数Nが存在し、

   n>Nならば |1/b(n) - 1/q | < ε」・・・②´ 。

       

  さて、前提のlim b(n) = q より、「すべての正の整数ε₁に対して、

  ある自然数Nが存在し、n>Nならば | b(n)-q | < ε₁」・・・③。

  q>0の場合はq-ε₁>0となるように、q<0の場合はq+ε₁<0

  となるように、ε₁を定めておく。

           

  ここで、

  |1/b(n) - 1/q |= |q-b(n)| / |q b(n)|

                  = |{ q-b(n) }/q| / |b(n)|

  であり、右辺の分子|{ q-b(n) }/q|は限りなく 0 (ゼロ)に近づく

  から、右辺の分母|b(n)|がある正数以上だと示すことを目指す。

     

  ③より、n>Nならば、| b(n)-q | < ε₁

            ∴ -ε₁< b(n)-q <ε₁

            ∴ q-ε₁< b(n) < q+ε₁ 

   

  よって、q>0の場合は、 0<q-ε₁<b(n)

               ∴ 0<1/b(n) < 1/(q-ε₁)

  ∴ |{ q-b(n) }/q b(n)| <  |q-b(n)|/q(q-ε₁)

  よって③より、 |1/b(n) - 1/q | < ε₁/q(q-ε₁)・・・④

   

  あらかじめε₁について、ε₁/q(q-ε₁)=ε となるように、

  つまり ε₁=q²ε/(qε+1) と決めておけば、④より

  |1/b(n) - 1/q | < ε

  したがって、②´ が示された。

  

  一方、q<0の場合は、 b(n)<q+ε₁<0

         ∴ 0<|q+ε₁|<|b(n)|

         ∴ 0<|1/b(n)| < 1/|q+ε₁|

 ∴ |{ q-b(n) }/q b(n)| < |q-b(n)|/q(q+ε₁)

 よって③より、 |1/b(n) - 1/q | < ε₁/q(q+ε₁)・・・⑤

   

  あらかじめε₁について、ε₁/q(q+ε₁)=ε となるように、

  つまり ε₁=q²ε/(-qε+1) と決めておけば、⑤より

  |1/b(n) - 1/q | < ε

  したがって、②´ が示された。

    

  以上より、q の符号に関わらず②´が示されたので、②も示され、

  結局は①も証明された。

         

                                      Q.E.D. 証明終了

    

    

          ☆          ☆          ☆

上の証明を書くにあたって、いつものように杉浦光夫『解析入門Ⅰ』(東京

大学出版会)を参照しているが、かなりの変更を加えて丁寧に書いてある。

     

特に、目標とすべきεに対して、ε₁をどのように決めればいいのか、具

体的な数式で求める過程まで示した所が、工夫のポイントだ。ちなみにN

の方は、数列の具体的な式が与えられてないから当然求められない。ε

-N論法にとって、εはすべての正の数を相手にする必要があるが、N

は何かが存在することさえ言えればいいわけだ。

       

なお、今週は合計18701字となった。ではまた。。☆彡

    

    

   

cf. イプシロン・デルタ(ε-δ)論法による極限の定義

   ε-δ論法による極限の定理(線型性)の証明

   イプシロン・デルタ(ε-δ)論法の問題の解き方

   ε-N(イプシロン・エヌ)論法~数列の極限の定義と解き方

   ε-δ論法による基本定理の証明~関数の積の極限

   ε-δ論法における、∞(無限大)や発散の扱い方

            

                                (計 2339文字)

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