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数学甲子園2012・サンプル問題の解き方&リハビリジョグ2

(18日) リハビリJOG 10km,55分09秒,平均心拍148

 

今夜は時間も無いし、週間字数制限2万字にも接近しつつあるから、手短

な理数系記事をアップしとこう。最近、去年の「数学甲子園」の記事に検索

アクセスが続いてるのだ。参加申込締切は明日、7月20日とのこと。

 

そう言えば、夏は様々な甲子園の季節でもある。まだ第5回、始まって間

もない全国数学選手権大会は、地区予選が8月下旬、東京都内の本戦は

9月16日とのこと。数検=数学検定の募集ページを見ると、予選と準々決

勝のサンプル問題が掲載されてるけど、「解答」のpdfファイルにはなぜか、

単なる最終的「答」しか載ってない。まあ、参加希望の生徒なら、自力で解

けて当然って意味かな。

 

著作権の扱いがビミョーだから、予選はパスで、準々決勝の1~4番は出

題に関するコメントと解答の方針のみ。5番と6番は英語の問題文も引用

しとこう。まずは問題を公式HPでご覧あれ。6問とも教科書レベルの普通

の問題であって、難問は一つもない。

 

1チーム3~5人で15問を20分ってことは、5人のチームだと1人3問だ

から、1問に7分近くかけられる。同じ問題を2人で解く場合があるにせよ、

1問4分はあるだろう。「答」だけなら満点続出で、選抜試験として機能しな

い気もするけど、記述式ではないようだ。。

 

 

         ☆          ☆          ☆

では1番の基礎解析から。3次曲線の傾き5の接線だから、y´=5から接

点の x 座標を出せばおしまい。1~2分くらいかな。

 

2番は空間ベクトルの成分表示。垂線AHのベクトルを求めるのだから、垂

線の足Hが線分BCを t : 1-t に内分すると考えれば、

  (ベクトルAH) = (1-t)(ベクトルAB)+t (ベクトルAC)

これとベクトルBCが垂直だから、内積ゼロとおいて、 t を求めておしまい。

2分くらいか。

 

3番は対数の底(てい)と真数の関係。a、b、x、3つの未知数で、簡単な

等式が2つあるから、文字を2つ消せばいい。a と b を x で表せば、

「log ab x」の値はすぐに出る。1~2分くらいか。

 

4番は、3次方程式の解と係数の関係。そのままでも簡単だけど、実数解

が1つ、すぐに分かるから、2次方程式にしてもOK。1~2分くらいか。

 

 

          ☆          ☆          ☆

では、いよいよ5番、英語の問題。

 

   A card is drawn at random from an ordinary deck

   of 52 cards. This is done three times. Each card

   is replaced in the deck before the next card is 

   drawn. What is the probability that at least one of

   the cards will be a spade?

 

トランプをランダム(無作為、でたらめ)に1枚引いて元に戻す操作を3回く

り返す。少なくとも1枚がスペードである確率は?、という問題で、余事象の

確率でおしまい。つまり、3回ともスペード以外になる確率を求めて、1から

引けばいい。正確な英文解釈に神経を使うから、3~6分くらいか。

 

 

6番は応用問題で、この中だと一番面倒だろう。英文は次の通り。

 

   Consider the following statement.

     “ The sum of any N consecutive integers is

      always odd.”

   This statement is true when N=2. Find the next

   value of N for which the statement is true.

 

「連続するN個の整数の和が常に奇数となる」ような最小の自然数Nは2。

では、次に小さいNは?、という意味で、N=3,4,5の場合はすぐ反例が

見つかるから、6だと予想。証明などしなくても、「1+2+3+4+5+6=

21」(先頭が奇数)と、「2+3+4+5+6+7=27」(先頭が偶数)を計算

すれば十分だ。問題文が少し紛らわしいから、4~7分くらいか。

 

数学検定のイベントだから、ごく普通の問題が並んでるけど、野球の「甲子

園」準々決勝のレベルと比べてどうかというのは気になる所。もう少し問題

のレベルを上げるか時間を短縮すべきだと、少し前の数学大好き少年(笑)

は感じるのであった。。

 

 

P.S. 100ヶ国・地域、548人参加の国際数学オリンピックは先日終了。

     日本は銀4、銅1、国別17位。いずれ数学五輪の記事も書く予定。

 

P.S.2 9月16日、数学甲子園2012の本戦終了。公式HPの速報によ

      ると、優勝は海陽学園・海陽中等教育学校・Dチーム。

 

      少人数(1学年120人、1クラス30人)、全寮制の中高一貫校で、

      06年4月開校。1年間で、学費などが約120万円、寮費120万

      円、食費その他50万円、計300万円弱の教育費がかかる。他

      に、入学時に入学金40万円、入寮費20万円。特別給費制度や

      奨学制度はあるものの、富裕層向けエリート校だ。

 

P.S.3 9月19日、予選の問題が公開されたので、記事を追加した。       

       数学甲子園2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

 

P.S.4 翌年(2013年)の予選問題の記事を追加。

       数学甲子園2013予選のポイント、問題15の解説&解答

 

P.S.5 2014年の記事も追加。

  四角形の外接円の半径の求め方~数学甲子園2014予選問題13解説

 

 

 

         ☆          ☆          ☆

最後に、昨夜の走りについて簡単に。前日、ようやくリハビリ・ジョグを7km

こなしたばかりだから、捻挫してる左足首が恐かったけど、何とかごまかす

ことに成功。ただ、前半は左脚の膝下全体が痛くてギクシャクしたし、蒸し

暑さも強烈だった。前日より気温は1~2度低かったけど、湿度が高くてムッ

としてたのだ。軽く一雨、降った後だったし。

 

トータルでは1km5分31秒ペース。ま、これでも思ったよりは速いね (^^ゞ

ただ、身体が冷えた後、左脚の膝下がかなり痛んでるから、今夜は無理か

も。リハビリの調整は難しいのだ。それにしても暑いね。ではまた。。☆彡

 

 

 往路(2.45km)   14分11秒  心拍135  

  1周(2.14km)   12分23秒     145   

  2周           11分51秒     152           

  3周(0.82km)    4分29秒     156      

 復路            12分15秒    158   

計 10km  55分09秒 心拍平均148 最大167 (ゴール時)

 

                                 (計 2547文字)

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コメント

今晩は、、サンプルの準々決勝問題、出遅れてテンメイさんのこのブログを読んで慌て見てみました。
テンメイさんの解説の通りですね、、・・会場では開始10分過ぎると観戦している人に問題が配付されます。そして終了10分前に回収に来ます。例年、私はその時間内で解きますが、数学大好き少年テンメイさんのようにすいすいは解けなく時間ぎりぎりです・・・、、今年も行く予定ですが、運悪く9/16は日本数学協会の年次大会と重なり、午前中しかいられませんが、報告します。

投稿: gauss | 2012年7月22日 (日) 00時24分

> gauss さん
    
こんばんは。完治おめでとうございます。
  
予選サンプルの公開は6月4日だから、
僕も1ヶ月半遅れですね。
来年はもっと早く対応したいと思います。
ブログが続いてるかどうか、自信ないけど(笑)。
   
      
「開始10分過ぎ」に観戦者に配布、「終了10分前」
に回収だと、解答時間が0分になっちゃいますよ♪
準々決勝は20分ですから。
  
予選(20問、60分)の話でしょうかね。それなら、
  (60-10-10)÷20=2
だから、1問あたり2分。
準2級・2級程度の問題の「答」を出すだけなら、
適度な時間でしょう。
    
    
僕は、解くスピードはそれほど速くないけど、
難しい問題を正確に解答するのは得意でした。
記述式の難問で満点を取るとか。
     
おそらくこの準々決勝、1人きりで6問を
20分以内に完答できる高校生は、
全国で2000人以上いるんじゃないかな。
    
僕は多分、当時なら15分くらいで一通り解くと
思いますが、ギリギリ20分まで、英語問題の表現に
悩み続けたでしょう。
  
    
5番だと、「one of the cards」。
これ、「・・・three cards」と訳すべきだと
思いますけどね。その方が文意が明確です。
   
6番は「next value of N」が微妙。
僕が出題者なら、問題文は次のように書くでしょう。
「This statement is false
when N=1,but true when N=2.・・・」。
   
つまり、最も小さいNの候補者1から始めて、2の話を
書くことで、「next value」の意味を
ハッキリさせるわけです。
あと、N=1の場合は偽だと書いておけば、元の命題
(statement)の意味も分かりやすいでしょう。
     
    
ところで、まったく関係ない話ですが、
前から gauss さんに伝えたかった事があるんですよ。
そちらの2ヶ月前の、因数分解の記事。
     
解答者がお2人いらっしゃったということで、
そちらへの書込みは遠慮しましたが、あれは
セオリー的には次のように解く所だと思います。
   
      
 x²-2xy-4x-8y-32
=(-2x-8)y+x²-4x-32  (次数の低いyで整理)
=-2(x+4)y+(x+4)(x-8)
        (1次の係数と定数項で共通因数x+4を発見)
=(x+4)(-2y+x-8)  (共通因数でくくり出す)
=(x+4)(x-2y-8)   (xで整理し直す)
    

つまり、複数の文字が入った式の因数分解では、
「次数の低い文字で整理」するのが基本戦略の一つ。
   
問題集の答は、中学生向けだから、それを
「yの無い項に注目して」と書いてるのでしょう。
これは、「yで整理した時の、定数項に注目」という意味。
    
したがって、中学生向けの配慮は別とすれば、
あの問題集の答は全く標準的なものなのです。
    
釈迦に説法、失礼しました。
とにかく、数学は面白くて奥が深いですね♪ 
それでは。。shine

投稿: テンメイ | 2012年7月22日 (日) 23時00分

・20-(10+10)=0、確かに解答時間は無いですね。
骨折したのは右足だけでなく、頭も骨折したのでは?と言われそうですね!!今年から予選~決勝までを二日間連続で行うのを止めてますね。参加高が多くなり場所的に無理なんですね。
・英語表記の問題、問5,6ともテンメイさんの方がスッキリしますね。問6は奇数が3つ必要な時は偶数も3つ必要ということですね。
・因数分解、次数の引く文字で整理するという基本的な動きで解答も整理されています、ご指摘通りです。ありがとうございました。

投稿: gauss | 2012年7月23日 (月) 16時33分

> gauss さん
    
再び、どうもです。
   
いやぁ、僕もウッカリしてました (^^ゞ
って言うか、意表を突かれたと言うか、
競技の規則(やり方)が去年と大幅に違うんですね。
  
    
去年は、予選・前半が各自40分で10問。
予選・後半が全員で40分、30問。
準々決勝はなし。
  
おそらく gauss さんの話は、去年の予選・前半でしょう。
(40-10-10)÷10=2
1問2分だから、適度ですね。
    
全国大会を2日から1日にしたのは残念です。
授業期間だから、生徒・先生・親の負担を考えたんですかね。
夏休みに2日やる方が、全国大会っぽくていいのに。
まあ、今後も試行錯誤が続くんでしょう。
   
  
英語の問5は、「three drawn cards」
の方がより明確かも。。
   
  
因数分解は、字数の低い文字で整理するのが基本の一つ。
ただ、速いかどうか、簡単かどうかなら、微妙な所はあります。
と言うのも、その種の問題は、字数の高い文字で
整理された形で出されてるから、整理し直すことになる。
それなら元のまま解く方がいいって場合もあるでしょうね。  
    
とはいえ、確実に因数分解するためには、次数の低い方が有利。
あと、テストには関係ないけど、意外性や鮮やかさもあります。
初めて参考書で見た時には、ホホーッ・・と感心しました。。shine

投稿: テンメイ | 2012年7月24日 (火) 23時10分

今年の数学甲子園に参加する者です。
昨年大会では全国大会は2日使って行われたのですか。
このサイトを拝見して初めて知りました。
参加する身としては今年も2日間使って行なってほしいものです^^;
でも予選突破出来てからの話ですが(笑)
リハビリも頑張って下さい!!

投稿: H.Y. | 2012年8月20日 (月) 20時14分

> H.Y. さん
    
はじめまして。コメントどうもです。
    
これから予選に参加するってことは、
22日、23日、24日、26日のどれかですね。
みんなで落ち着いて、頑張ってください♪
    
「甲子園」と名が付く全国大会なんだから、
2日間くらい欲しいですよね。
もし日程に関するアンケートがあったら、
2日間を希望すべきでしょう。
3日間だと、遠方の人の負担が大きいかも。。
     
こちらのリハビリは既に終了。
今日で自転車レースのトレーニングも完了です。
週末が一応、「全日本」と名が付くレース。
ご心配どうもです♪
   
お互い、全力を尽くしましょうね。 
それでは、幸運を祈ってます。。shine

投稿: テンメイ | 2012年8月22日 (水) 12時21分

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