京都大・望月新一教授による、「ＡＢＣ予想」の「証明」論文のニュースから、
丸５日間経過。巷（ちまた）の話題としては、早くも流行遅れの感もあるが、
学問的には重要で根本的な話だし、普通の中学生でも「予想」自体はかな
り理解できるものだから、簡単な記事にまとめとこう。基本的部分は、信頼
できそうな３つのＨＰの「まとめ」だが、単なる寄せ集めではないし、説明に
関しては独自の補足もかなり入れてある。
ちなみに、３年半前に書いた「ポアンカレ予想」の記事３本は、いまでもかな
りのアクセスが継続中。数学好きや、ちょっと気になる人は、意外なほど人
数が多いのだ。。
☆ ☆ ☆
この種の（一般人には）目新しい専門的話題が出た時、一番手軽な調べ方
は、ネットで大手新聞社ＨＰやウィキペディアを見ることだろう。今回だとまず、
新聞社の説明は簡単すぎて、ほとんど役に立たない。と言うか、その予想の
実質的内容が分からない。
日本語のウィキというものは、学問的項目だと、英語版ウィキの部分的直訳
のような内容で終わってることが結構ある。「ＡＢＣ予想」もその一つで、英語
版の「ａｂｃ ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ」（直訳するなら ａｂｃ 推測）の方が詳しいし、出典や
参照文献・ＨＰもしっかりしてる。
今回、私にとって一番役に立ったのは、英語版ウィキの参照ＨＰの一番上に
挙げられてる、オランダのライデン大学のＨＰ、「ＡＢＣ＠ｈｏｍｅ」。ここは、コ
ンピューターを用いた研究プロジェクトを立ち上げてる最先端の研究拠点で、
ＨＰ冒頭にリンクがある「Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ＡＢＣ ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ？」という解説
は非常に親切で分かりやすかった。簡単な英文しか使ってないし、英語が
気にならない方には、直接読んでみることをお勧めしておく。。
☆ ☆ ☆
では、中学生でも分かるように、最初からゆっくり進んで行こう。もちろん、
高校以上のレベルの方は、簡単な箇所は読み流して先に進んで頂きたい。
まずは、自然数（正の整数）の素因数分解について。
素因数とは、素数である因数（＝約数）のこと。素因数分解とは、「１とその
数自身しか正の約数を持たないような、２以上の自然数」（＝素数）の積
（＝掛け算）の形にすることだ。整数論では非常によく登場し、活躍する。
素数（ｐｒｉｍｅ ｎｕｍｂｅｒ）とは、具体的には、２、３、５、７、１１、１３・・・のこ
と。素因数分解の簡単な例を、３通り挙げよう。
９＝３² ， １２＝２² ×３ ， ９０＝２×３²×５
次に、自然数の「根基：こんき」（ｒａｄｉｃａｌ）という用語を導入する。これは、あ
る自然数の異なる素因数の積のことで、ｎの根基ならｒａｄ（ｎ）と書く。要する
に、ある自然数の一番「根もと」にある数というイメージだ。日・英のウィキだ
と、ｎ＝１の場合の説明が見当たらない（１は素数ではない）が、実際には
ｎ≧２の時しか関係ないので、気にしなくていいのだろう。ライデン大は少し
違う処理になってて、全く問題ない。
上の３つの例について ｒａｄ を書くなら、次の通り。素因数分解の式と見比
べれば、すぐ分かるはずだ。
ｒａｄ（９）＝３ ， ｒａｄ（１２）＝２×３＝６ ， ｒａｄ（９０）＝２×３×５＝３０
☆ ☆ ☆
続いて、自然数の３つ組（トリプル）、（ａ，ｂ，ｃ）の話に向かう。まず、ａとｂは
「互いに素」（ｃｏ－ｐｒｉｍｅ）という条件を設定する。これは「最大公約数が１」、
つまり、共通する普通の（つまり２以上の）約数は持ってないということだ。
例えば、２と６は、最大公約数が１でなく２だから、互いに素ではない。一方、
９と１０は最大公約数が１だから、互いに素である。２つの自然数が互いに
素かどうかは、次のように素因数分解して、同じ素因数があるかどうか調べ
ればすぐ分かる。もちろん、素因数分解などしなくても、簡単な場合ならすぐ
分かることもある。
２＝２ ， ６＝２×３ 共通の素因数２があるから、互いに素ではない。
９＝３² ， １０＝２×５ 共通の素因数がないから、互いに素である。
いま、互いに素である２つの自然数を、ａ、ｂとしよう。ただし、ａ＜ｂ。つまり、
ｂの方が大きいとする。このとき、別の自然数ｃ（＝ａ＋ｂ）を考えると、ａ、ｂ、
ｃ、３つの自然数も、互いに素、つまり最大公約数が１になる。
この理由を簡単に説明しとこう。というのも、日本語版ウィキとライデン大の
説明だと、ａとｂが互いに素としか書いてないのに、英語版ウィキだと、ａとｂ
とｃが互いに素としてあるからだ。この２種類の説明が、実質的に同じだと
いうことを確認しておこう。細か過ぎると思う方は、以下の３段落の説明は
飛ばしても構わない。
（注． ここまで１８８１文字、今週は計１９８５９文字。
以下は、日付け変更後に書き足した翌週分。）
もし仮に、ｃとａが互いに素でないとすると、２以上の公約数ｍを用いて、
ｃ＝ｐｍ、ａ＝ｑｍ、と書ける（ｐ＞ｑ）。すると、
ｂ＝ｃ－ａ＝ｐｍ－ｑｍ＝（ｐ－ｑ）ｍ
だから、ａ と ｂ が２以上の公約数ｍを持ってしまう。これは、ａ と ｂ が互い
に素であることと矛盾している。よって、ｃ と ａ は互いに素（いわゆる背理
法の証明）。したがって、ａ と ｂ と ｃ の３つも互いに素となる。
一方、ａ と ｂ が互いに素でないならば、２以上の公約数を ａ と ｂ が持つの
だから、上と同様の議論で ｃ もその公約数を持つことになり、ａ と ｂ と ｃ は
互いに素ではなくなる。ということは、ａ と ｂ と ｃ ３つが互いに素であるなら、
ａとｂも互いに素である（いわゆる逆、つまり「対偶」を用いた証明）。
したがって、日本版ウィキやライデン大の設定（ａ と ｂ が互いに素）と、英語
版ウィキの設定（ａ と ｂ と ｃ が互いに素）は、論理的に同じである（いわゆる
「同値」関係）。。
☆ ☆ ☆
とにかく、（実質的には）ａとｂとｃが互いに素であって、ａ＋ｂ＝ｃをみたす場
合を考えるわけだ。どうして互いに素という条件をおくのかについては、しば
らく後で補足する。
この３つ組を、日本版ウィキは「ａｂｃ－ｔｒｉｐｌｅ」（ａｂｃトリプル）と呼んでるが、
英語版では使われてないし、ライデン大はこの言葉をもっと限定した意味
で使ってる。したがって、ここではこの呼び名は使わない。自然数の３つ組
（ａ，ｂ，ｃ）とだけ書いとこう。「トリオ」と訳すのも、違和感があるので。
いま、この３つ組の積、つまり掛け算であるａｂｃに対して、ｒａｄ（ａｂｃ）を計
算し、ｃとの大小関係を調べてみる。ちなみにライデン大では、ここで初め
てｒａｄｉｃａｌの記号を導入して、ｒ（ａ，ｂ，ｃ）と書いてる。
（２，３，５）の場合、
ｒａｄ（２・３・５）＝ｒａｄ（３０）＝２・３・５＝３０
∴ ｒａｄ（２・３・５）＞５
（４，９，１３）の場合、
ｒａｄ（４・９・１３）＝ｒａｄ（４６８）＝ｒａｄ（２²×３²×１３）＝２×３×１３＝７８
∴ ｒａｄ（４・９・１３）＞１３
このように、普通は、ｒａｄ（ａｂｃ）＞ｃ となる。つまり、積ａｂｃの根基（ラディカル）
の方が、ｃより大きい。ただし、例外もかなり存在する。
例えば、（１，８，９）の場合、
ｒａｄ（１・８・９）＝ｒａｄ（７２）＝ｒａｄ（２³×３²）＝２×３＝６
∴ ｒａｄ（１・８・９）＜９
実は、より一般に、自然数ｎに対して、（１，９ⁿ－１，９ⁿ）や（１，６４ⁿ－１，
６４ⁿ）は、ｒａｄ（ａｂｃ）＜ｃ を満たす（この記事に最後に証明）。ということは、
ｒａｄ（ａｂｃ）＜ｃを満たす自然数の３つ組（ａ，ｂ，ｃ）は、例外的とはいえ、無
数に存在することになる。ｎ＝１，２，３・・と無限に変化させればいいからだ。
ただし、何か適当にａ＋ｂ＝ｃ、ａ＜ｂ，となる３つ組（互いに素）を考えると、
ｒａｄ（ａｂｃ）＞ｃ となることの方が「普通」なのだ。色々と試してみれば、大ま
かに感じ取れるだろう。ちなみに、ｒａｄ（ａｂｃ）＝ｃとはならない。もし両辺が
等しいなら、ａ、ｂ、ｃが互いに素という条件と矛盾してしまうからだ。日・英の
ウィキもライデン大も、その点については触れてないが、各自お試しあれ。
なおライデン大では、ｒａｄ（ａｂｃ）を考える代わりに、ａとｂとｃの異なる素因数
の積 ｒ（ａ，ｂ，ｃ） を考えるのだが、これは実質的に同じことだ。証明は意外
に書きにくいし、差し当たり見当たらないが、素因数分解を考えれば明らか
だろう。３つの数ａ、ｂ、ｃであれ、積ａｂｃであれ、異なる素因数は同じだ。こ
れ以上の説明は、省略しておく。。
☆ ☆ ☆
さて、ここから高校の常用「対数」（ｌｏｇａｒｉｔｈｍ、略して ｌｏｇ、ログ）の知識を
軽く使うことになるが、中学生でも少し考えて手を動かせば、ある程度以
上は分かるはずだ。最低限の説明をするなら、「１０を何乗したらその数に
なるか」を示す数のこと。
ｌｏｇ １００ ＝（１０を何乗したら１００になるか）＝２ （１００＝１０² だから）
ｌｏｇ １０００＝（１０を何乗したら１０００になるか）＝３ （１０００＝１０³だから）
ｌｏｇの値は、上の２や３のようにキレイな整数だけでなく、小数にもなる。こ
の値は昔から細かく求められてるし、ネットでも電卓でもすぐ分かる。例え
ば、ｌｏｇ ２＝０．３０１・・、ｌｏｇ ５＝０．６９８・・。一般に、ｘ＞１ なら ｌｏｇ ｘ ＞ ０。
また、ｘ ＜ ｙ なら ｌｏｇ ｘ ＜ ｌｏｇ ｙ、逆も言える（証明省略、高校の教科書など
を参照）。よって、以前の話をｌｏｇを使って次のようにまとめられる。
普通の ｒａｄ（ａｂｃ） ＞ ｃ の場合、
ｌｏｇ ｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝ ＞ ｌｏｇ ｃ
∴ １＞ ｌｏｇ ｃ／ｌｏｇ ｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝
わりと珍しい ｒａｄ（ａｂｃ） ＜ ｃ の場合、
ｌｏｇ ｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝ ＜ ｌｏｇ ｃ
∴ １＜ ｌｏｇ ｃ／ｌｏｇ ｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝
つまり、不等式の右辺の分数、ｌｏｇ ｃ ／ｌｏｇ ｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝が１より小さい
場合が普通で、１より大きい場合が珍しいのだ。ここで、この分数の値を
ｑ と書くことにする。
ｑ ＝ ｌｏｇ ｃ ／ ｌｏｇ ｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝
ｑと書くのは、３つ組（ａ，ｂ，ｃ）の質（ｑｕａｌｉｔｙ）を表すと考えるからだ。値が
大きいほど珍しくて、質が高いという大まかなイメージだろう。一般に世の
中では、希少価値というものが認められてるわけだ。ダイヤも金も、それ
自体として美しいけど、量が少ないからこそ、大きな価値が与えられる。
さて、いよいよ「ＡＢＣ予想」の核心に向かおう。ｑ＞１となる３つ組が、珍し
いとはいえ、無数にあることは既に述べた。
ｑ＞１とは、 ｌｏｇ ｃ／ｌｏｇ ｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝＞１のこと。
分母をはらって両辺を入れ替えれば、 ｌｏｇ ｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝ ＜ ｌｏｇ ｃ
すなわち、 ｒａｄ（ａｂｃ） ＜ ｃ
例えば、すべての自然数ｎについて、３つ組（１，９ⁿ－１，９ⁿ）は上の不等式
をみたすのであった。
これに対して、ＡＢＣ予想は似て非なることを予想する。単なる想像ではなく、
かなり根拠があるから、本当は「推測」と訳すべきだが、慣習として「予想」
と訳されてる。ポアンカレ予想もリーマン予想（ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ＝仮説）も、同
様だ。とにかく、ＡＢＣ予想（の一つの形）は、次のような主張のことだ。ライ
デン大では「強いヴァージョン」と呼んで、別の「弱いヴァージョン」（下のＰ．
Ｓ．２参照）と併記している。
１より大きい特定のｈを先に固定した場合、それがどんな値だろうと、
ｑ ＞ ｈ となるような３つ組（ａ，ｂ，ｃ）の個数は有限である。
このｈ（例えば１．５）という書き方はライデン大のもので、英語版ウィキでは
１＋ε（ε＞０）とも書いてある。ちなみにεは「イプシロン」と読み、大学レ
ベル以上の数学で、正の小さな実数を表すのによく用いる文字だ。ｈ＝１．５
なら、１＋０．５と見て、ε＝０．５の場合と考えることになる。
また、ｑ＞１．００１となる３つ組が有限個しかない（英語だと「ｏｎｌｙ ｆｉｎｉｔｅｌｙ
ｍａｎｙ」、つまり「有限的にのみ多数」と書く）ということは、１＜ ｑ ≦１．００１
をみたす３つ組が無数にあるということを示してる。つまり、ｑが１よりほんの
僅かに大きくなる３つ組が無限に存在するのだ。コンピューター無しに、頭だ
けでイメージするのはなかなか難しい。。
☆ ☆ ☆
このＡＢＣ予想は、色んな言い換えが可能だが、ｑ ＞ ｈとなる３つ組が有限
ということは、「有限個の例外を除いて、全て」 ｑ ≦ ｈ ということになる。
つまり、 ｌｏｇ ｃ／ｌｏｇ ｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝ ≦ ｈ
ｌｏｇ ｃ ≦ ｈ・ｌｏｇ ｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝
対数の法則を用いて（高校教科書など参照）、右辺のｈの位置を変えると、
ｌｏｇ ｃ ≦ ｌｏｇ ［｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝のｈ乗 ］
∴ ｃ ≦ ｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝のｈ乗
この不等号 ≦ から、等号 ＝ を取り去って、単なる不等号 ＜ にし、ｈをκ
（カッパ）と書いてるのが、日本版ウィキの説明の１つ（最後のヴァージョン）
だ。しかし、なぜ等号が消せるのかはやや分かりにくい（この記事のＰ．Ｓ．
参照）。また、中カッコ｛ ｝を省略してるので、誤解を招きやすいだろう。
おそらく、「中カッコが無ければｈ乗しても同じ値のままで意味がないから、わ
ざわざ書かなくても中カッコがあると読むのが当然だ」ということだと思う。し
かし、このｒａｄという記号は普通は使わない演算を示してるし、中カッコ無し
の式を普通に読むなら、｛ａｂｃのｈ乗｝に対するｒａｄという意味になるはず。
実際、対数や三角関数（ｓｉｎ，ｃｏｓなど）でも普通はそうなってるのだから。。
☆ ☆ ☆
ここまで、日・英のウィキとライデン大の説明を総合的に考慮すると共に、独
自の補足も加えて、ＡＢＣ予想（またはａｂｃ予想）の最低限の説明を行った。
少し付け加えると、まず、ａ、ｂ、ｃが互いに素という条件は、ｑの値を制限す
るためだ。互いに素という条件が無い場合、最大公約数が例えば６（＝２×３）
であるなら、（ａ，ｂ，ｃ）に対して、（２ａ，２ｂ，２ｃ）という３つ組を考えてみる。
すると、２は既にａ、ｂ、ｃの共通の素因数のはずだから、
ｒａｄ（ａｂｃ）＝ｒａｄ（２ａ・２ｂ・２ｃ）
つまり、ｒａｄの値は変わらない。一方、当然のことながら、ｃ×２＝２ｃ。つまり、
ｃの側は２倍になる。
したがって、互いに素という条件が無い場合、３つ組に共通の素因数を掛け
ることで、いくらでもｃ（３つ目の数字）の値だけを増やせる。すると、ｑの値は
無限に大きくできるし、相異なる無限の値を取り得ることになって、ＡＢＣ予想
は当然、成り立たないのだ。
☆ ☆ ☆
最後に、ｒａｄ｛１・（９ⁿ－１）・９ⁿ ｝ ＜ ９ⁿ の証明も示そう。高校で習う数学的
帰納法と呼ばれるものを用いるが、中学生でも理解できると思う。
まずｂ、つまり２番目の数 ９ⁿ－１が、８の倍数であることを示す。
ｎ＝１の場合、９ⁿ－１＝９¹－１＝９－１＝８
よって、確かに８の倍数である。そこで、８×１と書いておこう。
この時、９²－１＝（９²－９）＋８＝９（９¹－１）＋８＝９×（８×１）＋８
＝８×（９＋１）
よって、ｎ＝２の場合も８の倍数となる。
同様に考えて、すべての自然数ｎに対して、９ⁿ－１は８の倍数である。つま
り、２³ を因数に持つから、２³×ｍと書くことにしよう。
本来の帰納法だと、ｎ＝ｋの場合を仮定してｎ＝ｋ＋１の場合を示すわけだ
が、あえて帰納法を知らない中学生でも理解できるように、ｋは用いてない。
実際、ライデン大でも、こんな感じの初心者向けの説明をしてるのだ。
さて、この時、 ｒａｄ｛１・（２³×ｍ）・９ⁿ ｝＝ｒａｄ（２ｍ×３）＝ｒａｄ（６ｍ）≦６ｍ
一方、 ９ⁿ＝ｃ＝ａ＋ｂ＝１＋２³×ｍ＝８ｍ＋１。
２式を合わせて、 ｒａｄ｛１・（２³×ｍ）・９ⁿ ｝≦ ６ｍ ＜ ８ｍ＋１ ＝ ９ⁿ
∴ ｒａｄ｛１・（９ⁿ－１）・９ⁿ ｝ ＜ ９ⁿ
全く同様の議論で、ｒａｄ｛１・（６４ⁿ－１）・６４ⁿ｝ ＜ ６４ⁿ も証明できる。この
場合は、８の倍数の代わりに、９（＝３²）の倍数という話を用いるのだ。各
自、お試しあれ。９というのは英語版ウィキに合わせただけで、６３（＝３²×
７）としてもいい。
なお、ライデン大のコンピューティング、つまりコンピューター計算によると、
今現在、最大のｑは約１．６３のようだ。（ａ，ｂ，ｃ）＝（２，３¹⁰×１０９，２３⁵）
の場合とのこと。日本版ウィキが示す、ＡＢＣ予想の最初のヴァージョンは、
要するに ｑ ＜ ２という事だから、まだ余裕がある。
☆ ☆ ☆
以上、意欲的な中学生でもそれなりに理解できるように配慮しながら、話題
のＡＢＣ予想について最低限の解説を行った。話題の京都大学・望月教授
は、「宇宙際タイヒミュラー理論」で証明したと主張してるわけだが、その説
明は難し過ぎて当分できそうにない。専門家によるチェックで数年かかると
言われてるくらいだから、素人としては（しばらく）諦めるとしよう。
では、今日はこの辺で。。☆彡
Ｐ．Ｓ． ＡＢＣ予想について、「有限個の例外を除いて、全てｑ≦ｈ」と言い替
える時、不等号の下の等号＝を消してもいい点について、簡単に
説明しとこう。
いま仮に、ｑ＝ｈとなる３つ組が無数に存在したとしよう。すると、
１＜ ｈ´ ＜ ｈ となるｈ´を新たに考えた時、ｑ＞ｈ´となる例外的
な３つ組が無数に存在してしまう（ｑ＝ｈとなる３つ組の影響）。こ
れでは元のＡＢＣ予想（１より大きい任意のｈに対して有限個）と
矛盾する。よって、ｑ＝ｈとなる３つ組は有限個しかない。
逆に、ｑ＜ｈからｑ≦ｈを導いていいのは当たり前（ｈより小さけれ
ばｈ以下）。したがって、ＡＢＣ予想の言い換えにおいて、「ｑ≦ｈ」
と書いても「ｑ＜ｈ」と書いても論理的に同じである。
Ｐ．Ｓ．２ 上の本文で書いたＡＢＣ予想を、ライデン大は「強いヴァージョン」
と呼んでるが、「弱いヴァージョン」とは次の推測のことだ。
ある実数ｇが存在して、ｑ＞ｇとなるような３つ組は一つもない。
これは、大学レベルの数学の用語で言うと、ｑには「上界」ｇが存在
するということだ（すべてのｑに対して、それ以上である数）。この形
が「弱い」と言われるのは、もし「強い」ヴァージョンが正しければ、
そこから導けるからだ。導けるということは、簡単に言うなら、情報
量が少ないことを示してる。
強い方から弱い方が導けることを証明するには、その言い換え（対
偶）命題である、「弱い方が成り立たなければ強い方も成り立たな
い」を示せばよいのであって、これは簡単に示せる。
もし弱い方が成り立たなければ、どんな実数ｈに対しても、ｑ＞ｈ
となる３つ組が存在する。すると、例えばｈ＝１．１に対して、ｑ＞ｈ
となる３つ組が存在するから、そのｑを仮に１．２としよう。今度は
ｈ＝１．２に対して、ｑ＞ｈとなる３つ組が存在するから、そのｑを
仮に１．３としよう。
この手続きを無限に続けて行けば、最初のｈ、つまり１．１を上回
るｑを持つ３つ組が無限に手に入る。つまり、強い方も成り立たな
い。よって、「弱い方がダメなら強い方もダメ」。すなわち、「強い方
が正しければ弱い方も正しい」ことになるのだ。。
（翌日の追記分 ５７０１文字。前日分と合わせて、計７５８２文字）
Ｐ．Ｓ． ２０１７年４月９日の朝日新聞・朝刊「科学の扉」において、
「ここが数学の最先端」というタイトルで、京都大学の数理解析
研究所（ＲＩＭＳ）が紹介された（石倉徹也記者）。
望月教授とＡＢＣ予想の話もわりと大きめに説明されてたが、
そこで言うεやＫとは何なのか、説明が曖昧だし、不等式の
右辺のｌｏｇに付けるべき中カッコが省略されてしまっている。
（追記 １６９字 ； 合計 ７７５１字）
１５ｃｍ前後の近さの室内撮影
水平に置かれてる９０度システ
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