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数学の「ABC予想」、簡単な解説(中学~高校レベル)

京都大・望月新一教授による、「ABC予想」の「証明」論文のニュースから、

丸5日間経過。巷(ちまた)の話題としては、早くも流行遅れの感もあるが、

学問的には重要で根本的な話だし、普通の中学生でも「予想」自体はかな

り理解できるものだから、簡単な記事にまとめとこう。基本的部分は、信頼

できそうな3つのHPの「まとめ」だが、単なる寄せ集めではないし、説明に

関しては独自の補足もかなり入れてある。

        

ちなみに、3年半前に書いた「ポアンカレ予想」の記事3本は、いまでもかな

りのアクセスが継続中。数学好きや、ちょっと気になる人は、意外なほど人

数が多いのだ。。

    

    

           ☆          ☆          ☆

この種の(一般人には)目新しい専門的話題が出た時、一番手軽な調べ方

は、ネットで大手新聞社HPやウィキペディアを見ることだろう。今回だとまず、

新聞社の説明は簡単すぎて、ほとんど役に立たない。と言うか、その予想の

実質的内容が分からない。

        

日本語のウィキというものは、学問的項目だと、英語版ウィキの部分的直訳

のような内容で終わってることが結構ある。「ABC予想」もその一つで、英語

版の「abc conjecture」(直訳するなら abc 推測)の方が詳しいし、出典や

参照文献・HPもしっかりしてる。

         

今回、私にとって一番役に立ったのは、英語版ウィキの参照HPの一番上に

挙げられてる、オランダのライデン大学のHP、「ABC@home」。ここは、コ

ンピューターを用いた研究プロジェクトを立ち上げてる最先端の研究拠点で、

HP冒頭にリンクがある「What is the ABC conjecture?」という解説

は非常に親切で分かりやすかった。簡単な英文しか使ってないし、英語が

気にならない方には、直接読んでみることをお勧めしておく。。

    

     

          ☆          ☆         ☆

では、中学生でも分かるように、最初からゆっくり進んで行こう。もちろん、

高校以上のレベルの方は、簡単な箇所は読み流して先に進んで頂きたい。

まずは、自然数(正の整数)素因数分解について。

         

素因数とは、素数である因数(=約数)のこと。素因数分解とは、「1とその

数自身しか正の約数を持たないような、2以上の自然数」(=素数)の積

(=掛け算)の形にすることだ。整数論では非常によく登場し、活躍する。

    

素数(prime number)とは、具体的には、2、3、5、7、11、13・・・のこ

と。素因数分解の簡単な例を、3通り挙げよう。

  

     9=3² ,  12=2² ×3 ,  90=2×3²×5

    

次に、自然数の「根基:こんき」(radical)という用語を導入する。これは、あ

る自然数の異なる素因数の積のことで、nの根基ならrad(n)と書く。要する

に、ある自然数の一番「根もと」にある数というイメージだ。日・英のウィキだ

と、n=1の場合の説明が見当たらない(1は素数ではない)が、実際には

n≧2の時しか関係ないので、気にしなくていいのだろう。ライデン大は少し

違う処理になってて、全く問題ない。

    

上の3つの例について rad を書くなら、次の通り。素因数分解の式と見比

べれば、すぐ分かるはずだ。

  rad(9)=3 , rad(12)=2×3=6 , rad(90)=2×3×5=30

       

   

           ☆          ☆          ☆

続いて、自然数の3つ組(トリプル)、(a,b,c)の話に向かう。まず、aとbは

互いに素」(co-prime)という条件を設定する。これは「最大公約数が1」、

つまり、共通する普通の(つまり2以上の)約数は持ってないということだ。

      

例えば、2と6は、最大公約数が1でなく2だから、互いに素ではない。一方、

9と10は最大公約数が1だから、互いに素である。2つの自然数が互いに

素かどうかは、次のように素因数分解して、同じ素因数があるかどうか調べ

ればすぐ分かる。もちろん、素因数分解などしなくても、簡単な場合ならすぐ

分かることもある。

       

  2=2 , 6=2×3   共通の素因数2があるから、互いに素ではない。

  9=3² , 10=2×5  共通の素因数がないから、互いに素である。

    

いま、互いに素である2つの自然数を、a、bとしよう。ただし、a<b。つまり、

bの方が大きいとする。このとき、別の自然数c(=a+b)を考えると、a、b、

c、3つの自然数も、互いに素、つまり最大公約数が1になる。

    

この理由を簡単に説明しとこう。というのも、日本語版ウィキとライデン大の

説明だと、aとbが互いに素としか書いてないのに、英語版ウィキだと、aとb

とcが互いに素としてあるからだ。この2種類の説明が、実質的に同じだと

いうことを確認しておこう。細か過ぎると思う方は、以下の3段落の説明は

飛ばしても構わない。

   

     (注. ここまで1881文字、今週は計19859文字。

              以下は、日付け変更後に書き足した翌週分。) 

         

もし仮に、cとaが互いに素でないとすると、2以上の公約数mを用いて、

c=pm、a=qm、と書ける(p>q)。すると、

   b=c-a=pm-qm=(p-q)m

だから、a と b が2以上の公約数mを持ってしまう。これは、a と b が互い

に素であることと矛盾している。よって、c と a は互いに素(いわゆる背理

法の証明)。したがって、a と b と c の3つも互いに素となる。

   

一方、a と b が互いに素でないならば、2以上の公約数を a と b が持つの

だから、上と同様の議論で c もその公約数を持つことになり、a と b と c は

互いに素ではなくなる。ということは、a と b と c 3つが互いに素であるなら、

aとbも互いに素である(いわゆる逆、つまり「対偶」を用いた証明)。

        

したがって、日本版ウィキやライデン大の設定(a と b が互いに素)と、英語

版ウィキの設定(a と b と c が互いに素)は、論理的に同じである(いわゆる

「同値」関係)。。

  

     

        ☆          ☆          ☆

とにかく、(実質的には)aとbとcが互いに素であって、a+b=cをみたす場

合を考えるわけだ。どうして互いに素という条件をおくのかについては、しば

らく後で補足する。

                   

この3つ組を、日本版ウィキは「abc-triple」(abcトリプル)と呼んでるが、

英語版では使われてないし、ライデン大はこの言葉をもっと限定した意味

で使ってる。したがって、ここではこの呼び名は使わない。自然数の3つ組

(a,b,c)とだけ書いとこう。「トリオ」と訳すのも、違和感があるので。

    

いま、この3つ組の積、つまり掛け算であるabcに対して、rad(abc)を計

算し、cとの大小関係を調べてみる。ちなみにライデン大では、ここで初め

てradicalの記号を導入して、r(a,b,c)と書いてる。

  

  (2,3,5)の場合、

      rad(2・3・5)=rad(30)=2・3・5=30

      ∴ rad(2・3・5)>5

    

  (4,9,13)の場合、

      rad(4・9・13)=rad(468)=rad(2²×3²×13)=2×3×13=78

      ∴ rad(4・9・13)>13

    

このように、普通は、rad(abc)>c となる。つまり、積abcの根基(ラディカル)

の方が、cより大きい。ただし、例外もかなり存在する。

   

   例えば、(1,8,9)の場合、

      rad(1・8・9)=rad(72)=rad(2³×3²)=2×3=6

      ∴ rad(1・8・9)<9

     

実は、より一般に、自然数nに対して、(1,9ⁿ-1,9ⁿ)や(1,64ⁿ-1,

64ⁿ)は、rad(abc)<c を満たす(この記事に最後に証明)。ということは、

rad(abc)<cを満たす自然数の3つ組(a,b,c)は、例外的とはいえ、無

に存在することになる。n=1,2,3・・と無限に変化させればいいからだ。

               

ただし、何か適当にa+b=c、a<b,となる3つ組(互いに素)を考えると、

rad(abc)>c となることの方が「普通」なのだ。色々と試してみれば、大ま

かに感じ取れるだろう。ちなみに、rad(abc)=cとはならない。もし両辺が

等しいなら、a、b、cが互いに素という条件と矛盾してしまうからだ。日・英の

ウィキもライデン大も、その点については触れてないが、各自お試しあれ。

        

なおライデン大では、rad(abc)を考える代わりに、aとbとcの異なる素因数

の積 r(a,b,c) を考えるのだが、これは実質的に同じことだ。証明は意外

に書きにくいし、差し当たり見当たらないが、素因数分解を考えれば明らか

だろう。3つの数a、b、cであれ、積abcであれ、異なる素因数は同じだ。こ

れ以上の説明は、省略しておく。。

          

      

         ☆          ☆          ☆

さて、ここから高校の常用「対数」(logarithm、略して log、ログ)の知識を

軽く使うことになるが、中学生でも少し考えて手を動かせば、ある程度以

上は分かるはずだ。最低限の説明をするなら、「10を何乗したらその数に

なるか」を示す数のこと。

      

 log 100 =(10を何乗したら100になるか)=2  (100=10²  だから)

 log 1000=(10を何乗したら1000になるか)=3  (1000=10³だから)

       

logの値は、上の2や3のようにキレイな整数だけでなく、小数にもなる。こ

の値は昔から細かく求められてるし、ネットでも電卓でもすぐ分かる。例え

ば、log 2=0.301・・、log 5=0.698・・。一般に、x>1 なら log x > 0

また、x < y なら log x < log y、逆も言える(証明省略、高校の教科書など

を参照)。よって、以前の話をlogを使って次のようにまとめられる。

     

   普通の rad(abc) > c の場合、

               log {rad(abc)} > log c

            ∴ 1> log c/log {rad(abc)}

   

   わりと珍しい rad(abc) < c の場合、

               log {rad(abc)} < log c

            ∴ 1< log c/log {rad(abc)}

         

つまり、不等式の右辺の分数、log c /log {rad(abc)}が1より小さい

場合が普通で、1より大きい場合が珍しいのだ。ここで、この分数の値を

q と書くことにする。

        q = log c / log {rad(abc)}

       

qと書くのは、3つ組(a,b,c)の質(quality)を表すと考えるからだ。値が

大きいほど珍しくて、質が高いという大まかなイメージだろう。一般に世の

中では、希少価値というものが認められてるわけだ。ダイヤも金も、それ

自体として美しいけど、量が少ないからこそ、大きな価値が与えられる。

        

さて、いよいよ「ABC予想」の核心に向かおう。q>1となる3つ組が、珍し

いとはいえ、無数にあることは既に述べた。

       

q>1とは、 log c/log {rad(abc)}>1のこと。

分母をはらって両辺を入れ替えれば、 log {rad(abc)} < log c

すなわち、 rad(abc) < c

       

例えば、すべての自然数nについて、3つ組(1,9ⁿ-1,9ⁿ)は上の不等式

をみたすのであった。

        

これに対して、ABC予想は似て非なることを予想する。単なる想像ではなく、

かなり根拠があるから、本当は「推測」と訳すべきだが、慣習として「予想」

と訳されてる。ポアンカレ予想もリーマン予想(hypothesis=仮説)も、同

様だ。とにかく、ABC予想(の一つの形)は、次のような主張のことだ。ライ

デン大では「強いヴァージョン」と呼んで、別の「弱いヴァージョン」(下のP.

S.2参照)と併記している。

     

  1より大きい特定のhを先に固定した場合、それがどんな値だろうと、

        q > h となるような3つ組(a,b,c)の個数は有限である。

     

このh(例えば1.5)という書き方はライデン大のもので、英語版ウィキでは

1+ε(ε>0)とも書いてある。ちなみにεは「イプシロン」と読み、大学レ

ベル以上の数学で、正の小さな実数を表すのによく用いる文字だ。h=1.5

なら、1+0.5と見て、ε=0.5の場合と考えることになる。

   

また、q>1.001となる3つ組が有限個しかない(英語だと「only finitely 

 many」、つまり「有限的にのみ多数」と書く)ということは、1< q ≦1.001

をみたす3つ組が無数にあるということを示してる。つまり、qが1よりほんの

僅かに大きくなる3つ組が無限に存在するのだ。コンピューター無しに、頭だ

けでイメージするのはなかなか難しい。。

    

   

           ☆          ☆          ☆

このABC予想は、色んな言い換えが可能だが、q > hとなる3つ組が有限

ということは、「有限個の例外を除いて、全て」 q ≦ h ということになる。

      

つまり、 log c/log {rad(abc)} ≦ h

     log c ≦ h・log {rad(abc)}

対数の法則を用いて(高校教科書など参照)、右辺のhの位置を変えると、

    log c ≦ log [{rad(abc)}のh乗 ]  

  ∴   c ≦  {rad(abc)}のh乗

       

この不等号 ≦ から、等号 = を取り去って、単なる不等号 < にし、hをκ

(カッパ)と書いてるのが、日本版ウィキの説明の1つ(最後のヴァージョン)

だ。しかし、なぜ等号が消せるのかはやや分かりにくい(この記事のP.S.

参照)。また、中カッコ{ }を省略してるので、誤解を招きやすいだろう。

           

おそらく、「中カッコが無ければh乗しても同じ値のままで意味がないから、わ

ざわざ書かなくても中カッコがあると読むのが当然だ」ということだと思う。し

かし、このradという記号は普通は使わない演算を示してるし、中カッコ無し

の式を普通に読むなら、{abcのh乗}に対するradという意味になるはず。

実際、対数や三角関数(sin,cosなど)でも普通はそうなってるのだから。。

        

        

          ☆          ☆          ☆

ここまで、日・英のウィキとライデン大の説明を総合的に考慮すると共に、独

自の補足も加えて、ABC予想(またはabc予想)の最低限の説明を行った。

  

少し付け加えると、まず、a、b、cが互いに素という条件は、qの値を制限す

るためだ。互いに素という条件が無い場合、最大公約数が例えば6(=2×3)

であるなら、(a,b,c)に対して、(2a,2b,2c)という3つ組を考えてみる。

    

すると、2は既にa、b、cの共通の素因数のはずだから、

     rad(abc)=rad(2a・2b・2c)

つまり、radの値は変わらない。一方、当然のことながら、c×2=2c。つまり、

cの側は2倍になる。

    

したがって、互いに素という条件が無い場合、3つ組に共通の素因数を掛け

ることで、いくらでもc(3つ目の数字)の値だけを増やせる。すると、qの値は

無限に大きくできるし、相異なる無限の値を取り得ることになって、ABC予想

は当然、成り立たないのだ。

        

    

         ☆          ☆          ☆

最後に、rad{1・(9ⁿ-1)・9ⁿ } < 9ⁿ の証明も示そう。高校で習う数学的

帰納法と呼ばれるものを用いるが、中学生でも理解できると思う。

    

まずb、つまり2番目の数 9ⁿ-1が、8の倍数であることを示す。

   n=1の場合、9ⁿ-1=9¹-1=9-1=8

よって、確かに8の倍数である。そこで、8×1と書いておこう。

    

この時、9²-1=(9²-9)+8=9(9¹-1)+8=9×(8×1)+8

         =8×(9+1)

よって、n=2の場合も8の倍数となる。

同様に考えて、すべての自然数nに対して、9ⁿ-1は8の倍数である。つま

り、2³ を因数に持つから、2³×mと書くことにしよう。

       

本来の帰納法だと、n=kの場合を仮定してn=k+1の場合を示すわけだ

が、あえて帰納法を知らない中学生でも理解できるように、kは用いてない。

実際、ライデン大でも、こんな感じの初心者向けの説明をしてるのだ。   

    

さて、この時、 rad{1・(2³×m)・9ⁿ }=rad(2m×3)=rad(6m)≦6m

一方、 9ⁿ=c=a+b=1+2³×m=8m+1。

2式を合わせて、 rad{1・(2³×m)・9ⁿ }≦ 6m < 8m+1 = 9ⁿ

         ∴ rad{1・(9ⁿ-1)・9ⁿ } < 9ⁿ

      

全く同様の議論で、rad{1・(64ⁿ-1)・64ⁿ} < 64ⁿ も証明できる。この

場合は、8の倍数の代わりに、9(=3²)の倍数という話を用いるのだ。各

自、お試しあれ。9というのは英語版ウィキに合わせただけで、63(=3²×

7)としてもいい。

        

なお、ライデン大のコンピューティング、つまりコンピューター計算によると、

今現在、最大のq約1.63のようだ。(a,b,c)=(2,3¹⁰×109,23⁵)

の場合とのこと。日本版ウィキが示す、ABC予想の最初のヴァージョンは、

要するに q < 2という事だから、まだ余裕がある。

    

           

          ☆          ☆          ☆

以上、意欲的な中学生でもそれなりに理解できるように配慮しながら、話題

のABC予想について最低限の解説を行った。話題の京都大学・望月教授

は、「宇宙際タイヒミュラー理論」で証明したと主張してるわけだが、その説

明は難し過ぎて当分できそうにない。専門家によるチェックで数年かかると

言われてるくらいだから、素人としては(しばらく)諦めるとしよう。

    

では、今日はこの辺で。。☆彡

    

    

  

P.S. ABC予想について、「有限個の例外を除いて、全てq≦h」と言い替

     える時、不等号の下の等号=を消してもいい点について、簡単に

     説明しとこう。

      

     いま仮に、q=hとなる3つ組が無数に存在したとしよう。すると、

     1< h´ < h となるh´を新たに考えた時、q>h´となる例外的

     な3つ組が無数に存在してしまう(q=hとなる3つ組の影響)。こ

     れでは元のABC予想(1より大きい任意のhに対して有限個)と

     矛盾する。よって、q=hとなる3つ組は有限個しかない。

  

     逆に、q<hからq≦hを導いていいのは当たり前(hより小さけれ

     ばh以下)。したがって、ABC予想の言い換えにおいて、「q≦h」

     と書いても「q<h」と書いても論理的に同じである。

      

   

P.S.2 上の本文で書いたABC予想を、ライデン大は「強いヴァージョン」

      と呼んでるが、「弱いヴァージョン」とは次の推測のことだ。

   

       ある実数gが存在して、q>gとなるような3つ組は一つもない。

       

      これは、大学レベルの数学の用語で言うと、qには「上界」gが存在

      するということだ(すべてのqに対して、それ以上である数)。この形

      が「弱い」と言われるのは、もし「強い」ヴァージョンが正しければ、

      そこから導けるからだ。導けるということは、簡単に言うなら、情報

      量が少ないことを示してる。

      

      強い方から弱い方が導けることを証明するには、その言い換え(対

      偶)命題である、「弱い方が成り立たなければ強い方も成り立たな

      い」を示せばよいのであって、これは簡単に示せる

          

      もし弱い方が成り立たなければ、どんな実数hに対しても、q>h

      となる3つ組が存在する。すると、例えばh=1.1に対して、q>h

      となる3つ組が存在するから、そのqを仮に1.2としよう。今度は

      h=1.2に対して、q>hとなる3つ組が存在するから、そのqを

      仮に1.3としよう。

    

      この手続きを無限に続けて行けば、最初のh、つまり1.1を上回

      るqを持つ3つ組が無限に手に入る。つまり、強い方も成り立たな

      い。よって、「弱い方がダメなら強い方もダメ」。すなわち、「強い方

      が正しければ弱い方も正しい」ことになるのだ。。       

     

     (翌日の追記分 5701文字。前日分と合わせて、計7582文字)

   

   

  

P.S. 2017年4月9日の朝日新聞・朝刊「科学の扉」において、

    「ここが数学の最先端」というタイトルで、京都大学の数理解析

    研究所(RIMS)が紹介された(石倉徹也記者)。

    

    望月教授とABC予想の話もわりと大きめに説明されてたが、

    そこで言うεやKとは何なのか、説明が曖昧だし、不等式の

    右辺のlogに付けるべき中カッコが省略されてしまっている。

   

        (追記 169字 ; 合計 7751字)

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数学」カテゴリの記事

コメント

良い文章です。人に解って貰おうという心が存分に感じられます。力のある人間の文章で圧巻です。
人が解らないところ、分かり難いところがよく理解できているので、こういう中身のある文章が書けるんですね。
下記のところ、理解するのには呼吸を止めて集中し理解する風の訓練が必要ですね。それと”コンピュータ無しに”はどのような意味合いで用いていますか?

**””また、q>1.001となる3つ組が有限個しかない(英語だと「only finitely many」、つまり「有限的にのみ多数」と書く)ということは、1< q ≦1.001をみたす3つ組が無数にあるということを示してる。つまり、qが1よりほんの僅かに大きくなる3つ組が無限に存在するのだ。コンピューター無しに、頭だ
けでイメージするのはなかなか難しい。。

    

投稿: gauss | 2012年9月27日 (木) 11時47分

> gauss さん
    
こんばんは。毎度どうもです♪
  
ブログの一番熱心な読者は自分自身だとよく書いてますが、
この記事は自分で書いてて、いい勉強になりましたね。
   
最初にアップした時は、自分で分かってなくて
飛ばした箇所がいくつかあったんですよ。
まあ、どこにも説明が見当たらない箇所なわけですが。  
それを翌日までに自分で解決して追記したから、
頭も心もかなりスッキリしました。
   
本来なら、ポアンカレ予想の時みたいに、あと1本か2本、
記事を追加したい所ですが、ちょっと余裕がないですね。
先日のシステム広告記事の続編も書きたいし、
そんな事より本業の仕事をしなきゃいけないし(^^ゞ
    
   
「コンピューター無しに、頭だけだとイメージするのは
なかなか難しい」って文章の意味。。
gauss さんらしい、面白い質問ですね。
   
簡単な話、1<q≦1.001をみたす3つ組を自力で
次々に見つける自信はないし、なかなか探す気にもなりません。
まあ、a=1か2の場合にbを小さい方から変化させれば、
数個は見つけられるかも知れませんけどね。
その際にも、logの計算には、電卓という
原始的コンピューターが必要でしょう。
完全に頭だけの計算では、非常に困難です。
   
一方、僕自身は、それを探すプログラミングは出来ませんが、
多分できるんだろうなとはイメージできます。
少なくともライデン大はそれをやってるんだろうし、
次々に条件をみたす3つ組が出力される様子もイメージできる。
つまり、コンピューター有りなら、何とかイメージ可能です。
   
大体、以上のような意味合いで、「コンピューター無しに・・」と
いう文章を書き添えてます。
ちなみにこの文章も、実は最初は書いてなかったんですよ。
読者の多くもイメージしにくいはずだから、実は僕もイメージ
しにくいんだと、あらかじめ共感を示したわけです。。shine

投稿: テンメイ | 2012年9月28日 (金) 22時00分

こんばんわ。

logの値は、上の2や3のようにキレイな整数だけ
でなく、小数にもなる。この値は昔から細かく求められてるし、ネットでも電卓でもすぐ分かる。

対数グラフを1枚10円で売る教授がいまして、
10円惜しい貧乏学生の私は、普通のグラフに関数電卓で計算しプロットしたレポートを出したら、説明せよと呼び出されたことがありました。

投稿: けろよん | 2012年10月14日 (日) 00時23分

> けろよん さん
   
アハハ!^^ こんばんわ。    
面白いエピソードですね☆
10円節約のための対数グラフ作成、お疲れさまです♪
     
それにしても、教授が学生に売るんですか。
まあ、ネットの無い時代だと親切なのかも知れません。
10円は利益ゼロの原価だろうし、
たぶん昔の白黒コピー代より安いでしょう。
関数電卓も、持ってない学生がいたでしょうしね。
  
「説明せよ」って、グラフの形や数値の説明じゃなくて、
10円で買わなかった理由の説明かも(笑)shine

投稿: テンメイ | 2012年10月14日 (日) 21時24分

ABC予想の解を無限個として解いてみました。
A+B^x=C^y でA+2^5=3^4 としてx:y=5:4の整数比であればC>D^1となる解は無限である、というものです。
A+2^10=3^8でも当然成立します。

投稿: 名無しさん | 2015年7月23日 (木) 02時24分

> 名無しさん さん
  
はじめまして。
これは自説のPRコメントでしょうかね。
    
当サイトは基本的に、コメントにはお名前
(識別可能な固定ハンドル)を要求してますが、
今回は「名無しさん」のまま受け取って公開しました。
       
そちらの説明については、他の方々にお任せすると
いうことで、よろしくお願いします。。shine

投稿: テンメイ | 2015年7月23日 (木) 03時20分

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