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多角形の一刀切り・2~エリック・ディメインによる折り紙数学

(☆14年11月29日の追記: 最新(6本目)の記事を追加。

      折り紙の一刀切り(ワンカット)6~アルファベットA、B )

 

 

        ☆          ☆          ☆

総合マニアック・ブログとしては、様々な内容のバランスを取るために、ロー

テーションというものを考えてる。今日は本当は、人文系の内容(例の世界

的ベストセラー小説の英語版・続編)にするつもりだったが、予想外にいい

情報が集まらなかったので、仕方なく当面は延期。代わりに、それ以上に

最近アクセスが増えてる数学記事の続編を書いてみよう。

 

ほぼ3年前に書いて以来、ロングセラーになってるのは、次の記事だ。

   折り紙の一刀切り問題~朝日新聞・GLOBE「数学という力」

 

「一刀切り」という言葉は、私もその時点で初めて聞いたし、当時はネット

上の日本語記事もほとんど無い状態。要するに、紙に書いた多角形、つ

まり三角形とか四角形とか、直線で囲まれてるカクカクした図形を、はさ

みで1回真っ直ぐ切るだけでキレイに切り抜くという技だ。

 

 (☆追記: 2013年2月12日、テレビ朝日の『モーニングバード』では、

        折り紙の「ワンカット」=one cut として紹介されたらしい。

        愛知県の園長さん・伊藤信太郎氏が漢字などを切り抜いた

130212a

  ようで、公式HPにはハート型

  の説明がある。自分で試して

  みると、理論的にもキレイに

  理解できた。さらに調べると、

  12年5月19日の朝日新聞

  朝刊・名古屋版でも大きく紹

  介されてた。)

 

  (☆追記2: 3本目の記事をアップ。ハート型を大小2つの十角形の組

          合せと見て、折り方の説明を行った。次の記事を参照。

         折り紙の一刀切り(ワンカット)3~ハートマーク&熱帯魚 )

 

 

表面的に分かりやすくて、小学生でも楽しめるが、数学で一般的にやり方

を考えると相当厄介なはず。本質的には、2つの条件が満たされれば一

刀切りできる。まず、多角形のすべての辺を1本の線分(両端のある直線)

に重ね合わせること。また、その線分の両端は、折った後の紙の端となっ

てること。

 

この一刀切りが一般に可能だということを、若き天才数学者エリック・ディ

メインが証明したらしいという話が、3年前の朝日新聞の数学特集に載っ

てた。ところが、実際の折り方や考え方については、ほとんど具体的な説

明がなかったので、私は自分で試行錯誤して、記事としてアップ。地味な

がら、今に至るまでコンスタントに検索アクセスが続いてる。

 

特に、2012年11月12日、NHK・Eテレの深夜番組『2355』で紹介され

た後はアクセスが増加。さらに先日、2月7日にも同じ番組でまた紹介され

たようで、ここ丸2日間だけでも、当サイトの該当記事は訪問者数160人

となってる。大きなニュースとなったABC予想などと違って、単なる地味な

数学ネタなのに、かなりの人気なのだ。

 

私自身も、3年前からモヤモヤした思いが残ってたから、今夜はもう少し先

まで話を進めてみよう。エリックのHPも含めて、何も参照せず、自分自身

で考え、実験&実証してみる。ただし、時間の制約はもちろん、文字数制

限(週間2万字)もあるので、あまり長くは書けない。悪しからずご了承を。。

 

 

         ☆          ☆          ☆

さて、前回の記事では、長方形、三角形、台形の折り方について、具体

的に図示&説明しておいた。同じ話の繰返しは避け、今回はまず、一般

の四角形から始めよう。つまり、台形でない不等辺四角形の一刀切りか

ら始める。 (☆追記: 最後は凸六角形の折り方まで。)

 

130209b

 ではまず、普通の凸四角

 形、つまり凹んでない場

 合から。まず、紙に大き

 く四角形を書き、それを

 透かし見ながら、紙の裏

 側にも書いておく。そう

 すると折りやすいのだ。

上の写真は、角の2等分線を4本引いて、交点を2つ作った所。2等分線

130209c

 は、真面目に書く必要も

 ないし、コンパスも不要。

 要するに、角を挟む2辺

 が重なるように折れば、

 それが2等分線なのだ。

 左は、2つの交点を結ぶ

 と共に、2交点から辺へ

と垂線(赤い点線)を下ろした所。垂線も、真面目に引く必要はなく、垂線

130209d

 の足(=辺との交点)の

 両脇で線が重なるように

 折れば、自動的に垂線に

 なる(証明は簡単だから

省略)。そして上が、折り畳んで、すべての辺を1本の線分に集めた所。赤

い実線は山折り、点線は谷折り(2枚目の写真の折れ目を参照)。もちろん、

130209e

 線分の両端は紙の端に来

 てるから、後はハサミで

 一刀切りすればいい。左

 は切り落とした四角形だ。

 

 

 

          ☆          ☆          ☆

130209f

  続いて、一般の凹んだ四角形の場

  合。これは3年前にもしばらく考え込

  んだし、今もまた、数分ほど悩んで

  しまったが、凹んだ角の二等分線

  は谷折りだと覚えてたので、何とか

  解決した。

 

  左図は、まず角の二等分線を

  4本引いて、交点2つを結んだ

  所。凹んだ角の所だけは点線。

 

130209g

  次に、2つの交点から辺に垂線を

  下ろすのだが、凹んだ角の二等

  分線で作った交点から下ろした

  垂線だけは、山折りにするので、

  実線にしてある。もう一方の垂線

  は、いつものように谷折りだから

  点線。

 

  そして、折り畳んだ状態が左下。

  これをハサミで一刀切りすると、

130209h

  確かに四角形を切

  り落とせた。正直、

  自分でも半信半疑

  だったが♪

 

130209i   

 

 

            ☆          ☆          ☆

さて、ここで更に五角形に挑戦。成功したかと思ったら、どうも無理やり折っ

てたようで、凸五角形も凹んだ五角形も考え込んでしまった。今日はもう時

間切れだから、また次の機会に挑戦しよう。あと少しで何とかなりそうだか

ら、出来れば自力で解決したい。

 

(☆追記: 凸五角形、凹五角形、凸六角形も、一応折れた気がする。角

       の2等分線と垂線に続く「第三の手段」、辺の延長線の交点

       利用。下のP.S.、P.S.2、P.S.3を参照。)

 

 

この先のポイントは、折ることが可能な折り目不可能な折り目の区別だ

ろう。どうも、図形が複雑になって、折り目も増えると、やってみたら折れな

いという現象と直面してしまう。一度、既に成功してる三角形と四角形まで

戻って、理論的に立て直したいと思う。複数の折り目を一気に折るのでな

く、一つ一つ折り進める方がいいのかも知れない。

 

ちなみに、三角形が折り畳めるというのは、下図で a=b+(c-d) 、つま

り a+d = b+c が成り立つということだろう(両辺は180°)。これは

2(p+q+r)=180° を用いれば簡単に証明できる。四角形は厄介なの

で、また後ほど。

 

130209j_2

 

 

あと、数字の切り抜きへの接近という点では、とりあえず下のような単純な

130209k_2

  六角形の一刀切りには

  成功した。という事は、

  カタカナの「コ」の字型

  もクリアできそうだ。コ

  の真ん中でまず折り畳

  めば、この図と似たも

  のになるからだ。

 

  結局、数字0、1、3、7、

  8なら、「上手く描けば」切

り抜けそうな気がする。とりあえずそれでは、今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

P.S. 翌日、凸五角形に成功したので、翌々日に下の内容を加えた。

130211a

  まず、四角形の時と同様、

  図のように角の2等分線

  を4本引いて、交点を2つ

  作り、垂線を下ろす。ここ

  で、四角形の時は2交点

  を結べばよいが、五角形

  では不可。下のように、

  辺の延長線とその交点

を大きく書くのだ。左下の交点がJ、右下がK。

 

130211b

 

JとFを結ぶ直線は、角Jの二等分線になる。証明は、Fから辺ABと辺CD

に垂線を下ろして、直角三角形の合同を用いる(斜辺が共通、垂線の長さ

は等しい)。また右下で、KとGを結ぶ直線は、角Kの二等分線になる。直

線JFと直線KGの交点をLとすると、これは大きな三角形AJKの内心。

 

130211c

 だから直線AL

 を引くと、角A

 の二等分線にな

 る。また、AL

 で折れば辺AB

 と底辺CDが重

 なるし、KLで

 折れば辺AEと

 底辺CDが重な

 る。後は、AL

 を山折りにす

 れば、全体が

130211d

 底辺CDに重なる。

 最後はLから下ろし

 た垂線に沿う形で、

 Aの辺りを折り畳め

 ば、準備終了。ハサ

130211e

 ミでカットすれば左の通り。

 凸五角形の一刀切りに成

 功した。

 

 

 

 

 

 

P.S.2 頂点辺りが一ヶ所凹んでる、凹五角形も似たようなやり方で成功。

      下図を見て凸五角形の時と比べれば、どう引いたか分かるだろう。

 

130211f

 

 

130211g

 ちなみに左は、折り

 畳みかけた状態。

 「fold and cut」

 (一刀切り)に成功

 した様子が左下だ。

 

130211h

  凹みが2つある

  凹五角形も同様

  に出来る。   

 

 

 

 

 

 

P.S.3 凸六角形も、同様な方法で簡単に成功した(おそらく)。

 

130211i

 

   ゜

130211j

 

130211k

 どうも、角の二等分

 線、垂線、辺の延長

 線の交点の3つで解

 決できそうだ。2辺

 が平行な場合は、そ

130211l

 の中間に平行線を引

 けばいいだろう。

 

 

 

 

 

 

cf. 折り紙の一刀切り問題~朝日新聞・GLOBE「数学という力」

   折り紙の一刀切り(ワンカット)3~ハートマーク&熱帯魚

   折り紙の一刀切り(ワンカット)4~簡単な数字(0,1,2,5,7)

   折り紙の一刀切り(ワンカット)5~簡単な数字(3,4,6,8,9)

 

 

P.S. 遅まきながら、ようやく知ったが、10年以上前から「ひと裁ち折り

     というものが日本であったらしい(by山本厚生氏)。エリックとどち

     らが時期的に早いのか、バラエティや理論の比較はどうなのか、気

     になる所だ。おそらく、一般的な証明というものはエリックが初めて

     で、折り紙の技としては一昔前からあちこちにあったんだろう。

 

     江戸時代(和算?)にも「一刀『斬』り」問題があったそうだ(日経新

     聞・2008年7月29日、数学者・秋山仁のコラム)。もう少し詳しい

     話は、秋山の『数学に恋したくなる話』(PHP研究所)でも発見。エ

     リックとは旧知の間柄らしい。。

                                 (計 3740文字)

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数学」カテゴリの記事

コメント

テンメイさん、今回も凄く鮮明ですね。素敵です。
”3年前に書いて以来、ロングセラーになっている”納得です。
私が、3年前におもしろ数学講座で一刀切りをメニューにしました。
その時テンメイさんの記事を読んだので確信して話すことが出来ました。
遅ればせながら、厚くお礼申し上げます。ありがとうございました。
今回の四角形もいいですね。
・辺「aとb」、「bとc」、「cとd」、「dとa」を山折りで重ねる。
・次に、辺aと辺cをそれぞれ自分自身に谷折りで重ねる。
・すると、やむなく辺bと辺dが着いて来る。
・その結果、4辺a,b,c,dが直線上に重なる。
と言う分析と説明ですね。
数学的にはすっきりですが、物理的にはモヤモヤがありますが、
では折ってみましょうで、、このモヤモヤは解決しますね!!
この線分の両端は、折った後の紙の両端であるから、一刀切りの後
元の紙は、四角形の窓がぽっかり出来るというのも見事な説明です。

投稿: gauss | 2013年2月21日 (木) 16時25分

> gauss さん
    
おはようございます。毎度どうもです♪
  
お言葉はありがたいんですが、かなりレベルを
上げた分、前回より不鮮明になってます。
手に負えない領域に踏み込んでるのかも。
   
三角形はいいんですが、どうも四角形で既に、
理解が曖昧になってるようです。
なぜ、そう折るのか。本当にそう折れるのか。
さらに、別解の数とか、失敗する折り方の特徴など。
   
その辺りになると、今現在のネット上でも、
丁寧な解説は見当たりません。
こう折ればいい、という答の提示がほとんど。
まあ、専門家の研究は進んでるんでしょうけどね。
私はこの記事で、三角形について少し説明しましたが、
多くの人には意味不明だったでしょう。
  
2つ凹んだ凹五角形、1~3つ凹んだ凹六角形の折り方も
まだですが、ほとんどの人は、数字、アルファベット、
キレイな図形を求めてるようです。
そこで昨夜は、ハートマークと熱帯魚(シンプル版)で
記事を書いときました。
    
書いた内容に関してだけなら、かなりクリアに
理解したつもりですが、書かなかった事、
書けなかった事は、まだ色々ありますね。
   
一方、「おもしろ数学講座」の一刀切り。
ネットで軽く紹介してるのを拝見しました。
三角形を使ったわけですかね。
今考えるとコロンブスの卵で簡単ですが、
最初は僕も暗中模索。既に懐かしい思い出です。
        
次回の講座は、ハート型とか如何でしょうか♪
江戸の一刀「斬」りも、なかなか面白そうですね。。

投稿: テンメイ | 2013年2月23日 (土) 07時24分

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