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『ガリレオ2』最終回の数式、浄水器と管内の水の乱流&層流

(☆14年2月17日追記: 映画の数式記事をアップ。

  ガリレオ『真夏の方程式』の数式、水ロケットの飛距離、初速度、発射角 )

     

(☆6月26日追記: 新シリーズ最終回レビューをアップ。

  スイングバイによる軌道修正~『ガリレオ2』最終回・聖女の救済(後編) )

    

     

         ☆          ☆          ☆

流石は新シリーズの最終回☆ エンドロールではなくドラマの中で、湯川学

(福山雅治)が書いた数式をすべてハッキリ映したのは、これが最初で最

後。6本ではなく、7本(!)の数式を完全に読み取れたけど、私は今、体

調が最悪だし、いくら何でもテレビやブログに時間をかけ過ぎてる。妥協し

て、7本中の5本の説明だけで終わりにしよう。

    

それらは全て、毎度お馴染みの物理学(流体力学)の数式だけど、今回

はむしろ、黒板に書かれてたヒ素の化学反応式が気になった。後で余裕

が出来たら、追記するかも知れない。ま、ガリレオのファンには、物理系

の人が目立つから、化学の話だと検索アクセスは少なそうだけど♪

        

  

(☆6月29日追記: 私の録画した箇所だと、黒板の左側が見えなかった

             けど、最初の化学反応式は以下の通りか? 等号

             「=」ではなく矢印「→」が正しいと思うけど。検索して

             も、意外なほど情報が見当たらないのは、悪用を警

             戒してるからなのかね。。

   

         2H₃AsO₄+5H₂S = As₂S₃↓+8H₂O+2S↓ )

      

      

       ☆          ☆          ☆

7本まとめると、図が大き過ぎるし、説明もしにくいから、3本と4本に分け

てみる。まず、最初の3本について。

    

130625a

     

上の2つは、前回のエンドロールで唐突に示されたもの。2本目は、前回

の壁の映像だけだと読み取れなかったけど、今回書かれた上の式で間

違いないと思う。ただし、意味は今現在、分からない。左辺が「質量×

加速度(dv/dt)」、右辺は力の和、つまりニュートンの運動方程式だと

想像するけど、文字の定義も図もないから、ちょっと分からない。

   

3番目の式は「さっぱり分からない」し、右側の文字が奇妙なのだ。カッコ

を閉じる直前の、uの右肩にある文字は、T と 「 の中間くらいの記号で、

読むことさえ出来ないし、カッコの右側は「m」かと思ったら「i n」(イン)。

書き間違いでなければ、これまた意味不明だ。

    

ただし、1本目は既に先週、解決してある。当初は、前回の実験を考えて、

「ゼラチン絵の具の濃度や溶解反応速度か」と思ってたんだけど、実は

乱流」、乱れた流れの式だった。前回の記事の追記とかなりカブる内容

だが、一応こちらにも書いとこう。

   

           

          ☆          ☆          ☆

あれは、乱流(普通にある複雑な流れ)におけるレイノルズ応力(≒乱流

粘性応力)の一部の計算式。まず、ポットのお湯、浄水器の水などを、非

常に微小な立方体へと分割、ただし、面が座標軸と平行になるようにす

る。x軸の正の向きの面において、y軸方向(横とか上とか)に働く、ずら

す力(=せん断応力)を求めてるのだ。ちなみに、ずらすのではなく、真っ

直ぐ押したり引っ張ったりする力は、垂直応力と呼ばれる。

   

ここで、あらためて1本目の式だけ再掲しとこう。

130625c

          

ρ(ロー)は水の密度(一定だと仮定)。u´は、x方向の変動速度(=速度

-平均速度)。v´はy方向の変動速度。l(エル)は「混合距離」。「混合」

(mixing)と呼ぶ理由は、音楽の世界のミキシングみたいに、色んな要素

を上手く調整して、混ぜ合わせてるからだと思う。要するに、微小な部分

が同じ物理的性質を保ちつつ移動できる微小な距離のこと。l だけ動い

た後で初めて性質が変わるとすれば、話を単純化できる。

             

プラントルという学者の近似的な仮説で、わりと上手く現実に当てはま

るらしい(実証例は未確認)。気体分子運動論における平均自由行程

(まったく邪魔されずに動ける距離)みたいなもののようだ。

         

   

        ☆          ☆          ☆

duのuはx方向の速度。2つ並んでるdu/dyの左側だけ絶対値記号がつ

いてる理由は、プラス・マイナスの符号の調整らしいけど、まだ納得できて

ない。あちこちに簡単な説明はあるけど、それぞれ別の説明になってるし、

式の出し方も違うのだ。

            

右端の辺は、ブシネスク(またはブシネ)という学者の応力理論で、μt

(ミュー・ティー)は渦粘度とか乱流粘性係数とか呼ばれるもの。添え字

の「t」は、乱流(turbulent flow)の頭文字か。結局、右側の等号(=)

で、プラントルとブシネスクの理論をつないでるわけだ。    

        

この「せん断応力」は、流体力学の基本概念でもあるし、前回の実験の

ポットの中で、ゼラチン絵の具をはがして拡散する力にもなると思う。ポッ

トの内側に貼り付けたゼラチンは、押しても動かないし、引っ張る力は小

さくて無視できるだろうから、結局は、ずらす力、つまり、せん断応力が問

となるだろう。

         

今回のヒ素の仕掛けとの直接的関連は、よく分からない。映像がハッキ

リ見えなかったし、あそこは録画もしてなかったからだ。少なくとも、ゼラ

チンの貼り付けとはかなり違うやり方だったと思う。。

    

    

         ☆            ☆          ☆

一方、今回の式の後半、4本目~7本目は次の通り。2段目が、左右で

2つの式に分かれてる。湯川=福山の書きなぐりだと、式の切れ目が少

ししか無かったから、最初は「変な式変形だな」と感じてしまった。    

          

130625b2

      

4本目、つまり上の1段目の式は、乱流ではなく、整った「層流」(laminar

 flow)の「流量」Qを求める式。水道管やホースみたいな円管をゆっくり水

が流れる場合の話で、πは円周率、Rは半径、uは速度、pは圧力、xは管

の中央に取った軸。Δpは微小な圧力変化、l(エル)は(短い?)管の長さ

だろう。

     

5本目、つまり2段目の左側は、4本目を断面積πR²で割った式で、断面の

単位面積当たりの平均流速Vを求めてる。右端のU₀は、管の中心の最大

流速のことで、その半分が平均流速Vになるようだ。管の中央のスピードが

そんなに速いとは、ちょっと意外な気がする。ちなみにレイノルズは、色素

を流す実験で観察して、理論化したらしい。

        

6本目、つまり2段目の右側は、これまで何度も黒板に書かれてた気がす

「レイノルズ数」Reの式。レイノルズは19世紀後半に活躍した有名な学

者だ(アイルランド出身、英国籍)。

     

ρ(ロー)は密度、v(ブイ)は平均速度、dは流れる距離、μ(ミュー)は粘性

係数、ν(ニュー)は動粘性係数(=μ/ρ)。どこにでも載ってる、基本的

な式だ。このレイノルズ数Reが小さい(つまり粘り気が強くて速度が遅い)流

れは、整った層流Reが大きい流れは、乱流になる。円管の場合、その境

目となるReは2300~4000らしい(ウィキペディア)。

      

    

         ☆          ☆          ☆

7本目は、時間tで速度uを微分してるのだから、加速度の式だろうが、とり

あえず意味不明。ただ、直前の3本がわりと簡単だから、これも簡単な式

なんだろうと想像している。

   

あっ、分かった! 前に記事も書いてる、有名なナヴィエ・ストークス方程式

だ。非-圧縮性で、粘性率が一定の場合の形ね。それなら右辺の第1項の

「u・∇」は、丸カッコでくくる方が普通だけど、省略しても結果的に同じになる

わけか。v(ブイ)と書いてしまったのは私の(?)間違いで、実は動粘性係数

ν(ニュー)だね。Spは力。どうしてSpなんて記号を使うのかは不明。

              

ちなみに、物理でよく見る記号「∇」(ナブラ)は、3回まとめて偏微分するた

めの演算記号で、(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)のこと。∇²だと、∇同士

の内積∇・∇、つまり、(∂²/∂x²)+(∂²/∂y²)+(∂²/∂z²)となる。こ

れはラプラス演算子(or作用素)とも呼ばれ、上に尖った記号「△」で表す

こともある。

            

風邪がひどいので、今夜はもう限界。レビューは明日か明後日にアップの

予定。ではまた。。☆彡

    

     

      

cf. 宗教、科学、自然と人間~『ガリレオ2』第1話・幻惑す

   心の同期と「慣性の法則」~『ガリレオ2』第2話・指標す

   揺れ動く、見えないもの~『ガリレオ2』第3話・心聴る

   曲がった男のストレートな切れ味~『ガリレオ2』第4話

   接近することの効果と限界~『ガリレオ2』第5話

   閉じたものを開くこと~『ガリレオ2』第6話

   脇役と主役、よそおう人々~『ガリレオ2』第7話

   虚像=花火を演じる舞台としての生~『ガリレオ2』第8話・演技る

   エリートがみだす凡人の心の歯車~『ガリレオ2』第9話・撹乱す

   誰が何を救うのか~『ガリレオ2』第10話・聖女の救済(前編)

   

      ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・  

   男子の中で泣く女~『ガリレオXX・内海薫』愚弄(もてあそ)ぶ

     

      ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 『ガリレオ2』第1話の数式、誘電体のマイクロ波加熱における電力半減深度

 『ガリレオ2』第2話の数式、不覚筋動による水晶振り子の強制振動

 『ガリレオ2』第3話の数式、

          パルス電磁波のフレイ効果による耳の奥の弾性波か

 『ガリレオ2』第4話の数式、流体中の回転ボールを曲げるマグナス効果などか

 『ガリレオ2』第5話の数式、

       近似のニュートン法による√2の数値解析(&バルマー系列)

 『ガリレオ2』第6話の数式、

             ホログラム記録&再生における光波の複素数表示

 『ガリレオ2』第7話の数式、

            ロッキングチェアの慣性モーメント&回転・直線運動か

 『ガリレオ2』第8話の数式、花火の光の入射角&3つの像の位置関係か

 『ガリレオ2』第9話の数式、超音波による圧力・密度変化(&ビルの高さ)

 『ガリレオ2』第10話の数式、ゼラチン絵の具の濃度や溶解反応速度か

                   

                                  (計 3832文字)

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コメント

Tと「に見えるのって
時定数とかのτ(タウ)ですかね?

でも全然式わかんないですね(笑)

投稿: か | 2013年6月25日 (火) 16時48分

> か さん
   
「実に面白い」一口コメントですね。
    
湯川=福山が「τ(タウ)」を書く時は、
文字の下側のハネが大きい傾向があります。
    
しかし今回はそうではなかったし、文字全体が
小さ過ぎて「´(ダッシュ)」に見えたほど。
    
大文字の「Τ(タウ)」とか「T(ティー)」を
すごく小さく書いてたのかも知れませんね。
今の所、「さっぱり分からない」ままです。。shine

投稿: テンメイ | 2013年6月26日 (水) 02時57分

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受信: 2013年6月25日 (火) 03時06分

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受信: 2013年6月25日 (火) 12時28分

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