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循環小数0.142857・・の循環節と分数、掛け算~朝日新聞「数と科学のストーリー」

今週は残り3日で1700字しか書けなくなった (^^ゞ そこで、少ない字数で

楽しめる算数・数学の話を書こう。12月15日の朝日・朝刊で、サイエンス

ナビゲーターの桜井進が書いてた話のアレンジだ。

   

まず電卓で、142857に1から6までの整数(自然数)をかけてみる。

    

   142857×1 = 142857

         ×2 = 285714

         ×3 = 428571

         ×4 = 571428

         ×5 = 714285

         ×6 = 857142

     

不思議なことに、元の6ケタの数字142857の右側のいくつかを先頭に

131220d

   持って行った数が並ぶ。例えば、142857

   の右側の4つ、「2857」を先頭に持って行

   くと、「2857」14。つまり、142857の2倍

   の答になる。

       

ところが、7倍した時だけは全く違って、

   142857×7 = 999999

      

    

           ☆          ☆          ☆

ここで、1÷7という割り算を行ってみると、「循環小数」0.142857・・・となる。

131220a

  「循環節」は142857、「循環節の長

  さ」は6だ。 

    

  この割り算、あるいは分数1/7を、

  2~6倍していくと、やはり循環小数

  になり、元の循環節を並び順だけ変

  えた循環節が続いて行く。これは、

  上の割り算の筆算で、赤い波線部

  分に、1~6の自然数(7で整数を

  割った時の余りの6種)が並んでる

  からだ。

     

    

131220b

     

上の計算を百万倍、つまり「×1000000」して整数部分だけ注目したのが

冒頭の掛け算だ。999999倍してもいい。

    

      

        ☆          ☆          ☆

では、冒頭の掛け算遊びが成立するような数は、142857以外にあるのか、

突っ込んで探してみよう。1÷2、1÷4、1÷5、1÷8はすぐ割り切れてダメ。

  

   1÷3 = 0.333・・  

   1÷6= 0.166・・

   1÷9=0.111・・

   

どれも、1÷7の時のような現象は起きない。「割る数」が1ケタの場合、7でな

いとダメだ。2ケタならどうかは差し当たりパス♪ 考える際には、循環小数

を分数に直す一般的方法と、素因数分解が役立つ(必要ではない)。

      

無限等比級数の和の公式を使わず、算数的に解くなら、  

        a =      0.142857142857・・・ となる分数aに対して、

1000000 a =142857.142857142857・・・

     

下の式から上の式を引くと、

 999999 a = 142857

     ∴ a = 142857 / 999999

         = 1/7

    

この分母7は、999999の素因数分解3×3×3×7×11×13×37に出

る数だ。では、99、999、9999を素因数分解すると・・・と考えて行けばいい

(下図)。今日はこの辺で ☆彡     

              

131220c

    

                                (計 1050文字)

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数学」カテゴリの記事

コメント

iina宅でも「不思議な数142857」をブログに扱いました。

この142857は、
さらに、
       142 + 857=999
       14+28+57=99

続編を予定しています。
7以上の数を掛けても、あるルールに基づいているということを証明するのではなく、さいころの目を使ったゾクゾクする話題です。


投稿: iina | 2014年5月11日 (日) 10時49分

> iina さん
  
こんばんは。そちらのブログの告知コメントですかね。
面白い数なので、続編記事も頑張ってください。。shine

投稿: テンメイ | 2014年5月12日 (月) 01時20分

5の逆数の循環節は4桁
9の逆数の循環節は6桁
10の逆数の循環節は4桁
公式もあるし

投稿: | 2018年11月 5日 (月) 21時49分

> 名無しさん
  
はじめまして。
  
1/5は12進法で0.24972497・・・
1/9は2進法で0.000111000111・・・
1/10は12進法で0.124972497・・・
といったn進法の循環小数の話でしょうか。
   
どれも10進法の0.142857のような
変化にはなりませんが。
  
当サイトはコメントに名前を求めてるので、
よろしくお願いします shine

投稿: テンメイ | 2018年11月 6日 (火) 19時36分

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