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ベルトランの箱のパラドクス~フランス語原文と日本語訳、確率の計算

今日は時間がない中、ローテーション的に数学記事を書きたい所だから、

短くても意味のある、マニアックで面白い話を選んでみた。

   

時々書いてるように、知る人ぞ知る古い話を元の原書に遡って調べる記事

は、現在のネットにはほとんど無い。流通してるのは、元の話を誰かが言い

変えた話ばかりで、いつ誰が言い換えたのかも不明、その言い換え・書き換

えが正しいのかどうかも微妙。これは日本だけでなく、世界全体で言えること

で、ネット情報の限界や未成熟さを表してる。

       

   

          ☆          ☆          ☆

「ベルトランの箱のパラドクス」は、決してハイレベルな話ではなく、高校数学

の初歩レベル、または中学数学の面白ネタにすぎない。確率の基本中の基

本、複数の場合が「同様に確からしい」ということに関して、改めて考えさせ

るキッカケになるのだが、知ってるのは数学好きの一部に限られると思う。

    

実際、数学者ベルトラン(Joseph Bertrand1822-1900)の本国、

ランスのウィキペディアでさえ、独立した項目は無いし、本人に関する項目で

も説明されてない。日本語ウィキにも無くて、英語など4ヶ国版にあるだけ。

フランス語原文はどこにも載ってない状況だ。ちなみに「ベルトランのパラド

クス」という項目とは別物なので、念のため。「箱」(coffret : 引き出し付きの

ケース)というのがポイントだ。

    

パラドクス(逆説)とは、一見、論理的に奇妙に感じる話、謎のこと。実は奇妙

ではないパラドクスもあるし、本当に奇妙なパラドクスもある。今回の場合は

前者。つまり、数学的にしっかり考えればキレイに解決する話だ。個人的、心

理的に納得できるかどうかは別として。。

   

   

         ☆          ☆          ☆

140514a

  ではまず、フランス語の原文を、

  Internet Archive(インターネッ

  ト・アーカイブ)からコピペさせて

  頂こう。アクセント記号は省略。

  著作権はもちろん消滅している。

     

  『Calcul des Probabilite

  (確率の計算,1889)。公開さ

  れてるものは、1907年の第2

  版で、初版との違いまでは分か

  らない。ただ、初版から18年後

  で著者の死後だから、常識

  的にはほぼ同じものだろう。

下が該当箇所で、序文、目次に続く本論の2ページ目。つまり、ほぼ最初の

「つかみ」の面白ネタなのだ。

   

140514b

   

では、私の日本語訳(ほぼ直訳)を示そう。改行は原文と合わせてあるが、

句読点までは合わせてない。また、丸カッコに入れた接続詞は、文脈を補

うために私が挿入したものだ。

     

   3つの箱は、同じ外観を持ってる。それぞれの箱には2つの引き出しが

   あり、各引き出しには1つのメダルが入ってる。最初の箱のメダルはどち

   らも金製。2つ目の箱のメダルはどちらも銀。3つ目の箱のメダルは、1つ

   が金、もう一つが銀だ。

   

   (いま、)1つの箱を選ぶ。その引き出しに、金のメダルと銀のメダルが見

   つかる確率はいくらだろうか? 3つの場合が可能で、それらは同等だ。

   と言うのも、3つの箱の外観は同じだから。

     

   1つの場合のみがお目当てのもの。その確率は1/3だ。

   

   (さて、)その箱を選び、1つの引き出しを開ける。そこで見えたメダルが

   何であるにせよ、2つの場合のみが可能となる。閉じられたままの引き

   出しには、同じメダルが入ってるか、別のメダルが入ってる。これら2つ

   の場合の内、1つの場合のみが、異なるメダルの入ったお目当ての箱

   に当てはまる。だから、その箱を手に入れる確率は1/2だ。

   

   しかしながら、1つの引き出しを開けただけで、確率が1/3から1/2

   へと上がるなんて、信じられるだろうか?

  

   その推論が正しいということはあり得ない。(そして)確かに、その推論

   は間違ってるのだ。

   

   

           ☆          ☆          ☆

原文では更に、上と同じくらい分量の説明が続いてるが、パラドクス自体の

提示はここで終わりだし、残りは省略しよう。

  

これは、その後の「3囚人問題」(Three Prisonners problem)や、もっと

有名な「モンティ・ホール問題」(Monty Hall problem)と本質的に同じだと

考えられる。

   

つまり、話の本質は、「もともと対等だった3つの可能性の内、1つの可能性が

消えた時、残された2つの可能性あるいは確率は等しいとは限らない」という

事だ。3囚人問題なら、助かる囚人の候補が1人減る。モンティ・ホール問題

なら、当たりのドアの候補が1つ減る。

     

そしてこの「ベルトランの箱のパラドクス」(paradoxe de boite de Bertrand)

の場合、開けた引き出し(tiroir)のメダル(medaille)が金(or)だとすると、その

箱のメダルが銀(argent)2つである可能性が消えるわけだ。

  

では、残された2つの可能性の確率はどうなるか。問題を限定するなら、選ん

だのが金と銀の箱である確率はいくらになったのか。。

      

    

           ☆          ☆          ☆

ここでは2つの説明を簡単に示すだけにしよう。いずれにせよ、選んだ箱が金

と銀のメダル入りの箱である確率は1/3のまま1/2にはならないのだ。

      

(解答1) もともと、「2つのメダルが異なる確率」は1/3、「2つのメダルが

       同じである確率」は2/3。引き出しを1つ開けても、影響はない。

  

       よって、開けた引き出しのメダルが例えば金であった場合、

      (もう1つのメダルが銀である確率)=(2つのメダルが異なる確率)

                            =1/3

      (もう1つのメダルが金である確率)=(2つのメダルが同じである確率)

                            =2/3

     

     開けた引き出しのメダルが銀であった場合も同様。

     したがって、金と銀の箱を選んだ確率は、元の1/3のままである。

     

  

(解答2) 開けた引き出しのメダルが金であった場合について、「条件つき確

       率」の代表例である「原因の確率」の公式を用いて、計算してみる。

       つまり、ベイズ推計の定理を用いる。以下、P(・・・)は、「・・・である

       確率」という意味を表す。条件は、金の引き出しを1つ開けることだ。  

        

       P(その箱が金&銀の箱である)

         =P(金&銀の箱を選んで、金の引き出しを開ける)

                  ÷P(金の引き出しを開ける)

         =P(金&銀の箱を選んで、金の引き出しを開ける)

             ÷{P(金&金の箱を選んで、金の引き出しを開ける)

                +P(金&銀の箱を選んで、金の引き出しを開ける)}

         =(1/3)×(1/2)

              ÷{(1/3)×1+(1/3)×(1/2)}

         =(1/6)÷(3/6)

         =1/3

      

        開けた引き出しのメダルが銀であった場合も同様。

        したがって、金と銀の箱を選んだ確率は、元の1/3のままである。

     

                                 (Q.E.D. 証明終了)

   

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

     

    

     

cf. 全国学力調査、伝説の確率の問題が登場♪ (モンティ・ホール問題)

   確率の面白い謎(パラドクス)、「2つの封筒問題」にハマりかけて♪

              

                                      (計 2726字)

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