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高い地点からの斜方投射の軌跡(弾道)、角度と水平到達距離

なるほど。。やはり現代では、コンピューターやソフト、プログラミングを使い

こなすことが非常に重要だということか。まだ、いま一つスッキリしてないけ

ど、高校時代からの疑問が一通り解決した。昨日の思い出記事で触れた、

ブランコの「靴飛ばし」最大化問題も解決したのだ。

 

高校物理の最初で、重力による質点の自由落下や、垂直(=鉛直)方向へ

の投げ上げを学ぶ。続いて登場するのが、1つの関門となる「斜方投射」。

斜めに物を投げた時、空気抵抗を無視すると、垂直方向には等加速度直線

運動、水平方向には等速度運動を行う。両方合わせると、軌跡は放物線と

なる。

 

ちなみに、「斜方投射」に相当する英語表現がなかなか分からなかったけど、

英語版ウィキペディアを飛び回ってみると、事情が見えて来た。どうも、問題

のとらえ方が、日本と微妙にズレてるようで、「投射物の弾道」(trajectory

 of a projectile)とか、「投射物の射程」(range of a projectile)といっ

た形で問題にされてる。

 

要するに、兵器や戦争を意識してるわけで、物理学の歴史を考えると、現実

に即した考えだろう。実戦の弾道計算なら、斜め上に向けて撃つのは当たり

前だから、わざわざ「斜方」(obliqueなど)と付ける必要もない。日本の教育

で「斜方投射」とか「軌跡」という言葉を使ってる理由の一つは、戦争のイメー

ジを消すためなのかも。。

 

 

          ☆          ☆          ☆

さて、高校で問題とされるのは、地表面から地表面への斜方投射が基本。例

えば、着地点を最も遠くするには、水平面となす投射角度を45度にすればい

い。この話は、ネット上でもあちこちに書かれてるので、ここでは省略する。

 

140605b  というか、ここでは

  より一般的な場合

  で考える。地表面

  からの投射とは、

  高さ0(ゼロ)の地

  点からの投射。つ

  まり、高さhの地点

  からの投射でh=0

  とした場合だから、

高さhのままで考えれば一般的考察となるわけだ。

 

ちなみに上図は、ウィキメディアでパブリックドメイン(公的所有)の画像。記事

では水平距離dが「射程」(range)、放物線は「軌跡」(path)と呼ばれていた。

 

一般的考察が、ネットで意外なほど見当たらないのは、要するに、式と計算が

複雑だからだろう。複雑すぎる話は、高校のテストや大学入試には出せない

から、読者の需要も激減する。需要があるのは、特定の高さや角度を与えた

場合とか、特定の通過地点・通過時間を与えた場合なのだ。答が楽に求めら

れる時と言ってもいい。

 

 

           ☆          ☆          ☆

さて、高さ hの地点から、速さ v、角度θで質点を斜方投射した時、発射後

の時間を t、重力加速度を g とすると、

 

  (水平方向・右向きの変位) : x =v t cosθ ・・・・・・(1)

  (垂直方向・上向きの変位) : y=h+v t sinθ-(1/2)g t² ・・・・・・(2)

 

地表面に落ちた時は y=0 だから、

 

    0=h+v t sinθ-(1/2)g t²

  ∴ g t²-2v t sinθ-2h=0

 

  t>0 より、 t={ v sinθ+√(v²sin²θ+2gh)}/g

 

 ∴ x = {v²sinθcosθ+(vcosθ)√(v²sin²θ+2gh)}/g 

     = (v²/g){sinθcosθ+(cosθ)√(sin²θ+2gh/v²)} ・・・・・・(3)

 

検算のためにh=0(ゼロ)としてみると、

    x={v²sinθcosθ+v²sinθcosθ}/g

     =(v²sin2θ)/g

 

この値は、日本版ウィキの斜方投射の項目とも合ってるし、当サイトで以前

扱った、映画『ガリレオ 真夏の方程式』の式とも実質的に同じだ(映画では

v の代わりに r)。

 

 

          ☆          ☆          ☆

上の(3)式でθを変化させると、水平到達距離 x がどう変化するか。その

ままの式でも、変形しても、微分しても分かりにくい。

 

(☆3日後の追記: 陰関数の微分を用いて解決。続編記事をアップした。

   高い地点からの斜方投射2~射程の微分と最大値を与える角度θの計算 )

 

 

普段の私ならこの辺で止めてしまう所だが、今回は体験的に答が分かってる

のだ。つまり、ブランコの座りこぎで「靴飛ばし」をする時、45度より少し小さ

140605a  い角度で靴を飛ばすと、

  着地点が遠くなるし、着

  地後の転がりも稼げる。

  また英語版ウィキでも、

  特定の初期条件で32

  度という値を示してる

  (左図、パブリックドメイ

  ン)。やはり大まかに

  言って、30度~40度

  の角度がベストだろう。

 

これを確認するために、やや不本意ながら、コンピューターの力を借りること

にした。実際には、先に原始的な数値解析の真似事を行ったのだが、この記

事ではまずグラフを見てみよう。式(3)の先頭の係数は無視して、角度θの

代わりに x を使った関数へと変形。更に実際の靴飛ばしは子どもだと h=1

m、v=4~5m/sくらいだから、2gh/v²=1と簡略化。

 

140605c_3  大阪教育大学・友田

  勝久氏による関数グ

  ラフソフト「GRAPES

  7.00」に入力すると、

  現れたグラフは予想

  通りになった。ラジア

  ン表示で、π/6と

  π/4の間の左寄り

  の角度だから、35度

  ~40度くらいになる。

 

  ちなみに、当たり前だ

  が、角度π/2(=90

  度)なら、真上に発射す

るということだから、関数の値(=水平到達距離)はゼロになる。その点だけ

は、hやvの値とは無関係だ。

 

 

         ☆          ☆          ☆  

140605d  最後に、水平到達

  距離を最大にする

  角度x(またはθ)

  の値を、カシオの

  高精度計算サイト

  「keisan」のフリー

  計算で探してみる

  と、弧度法で0.62

  ラジアンくらいだっ

  た。つまり度数法

  なら、(180/π)

  倍して約36度だ。

 

 

140605e  関数値やグラフの連続性

  を考えると、発射地点の

  高さ h や初速 v を変えて

  も似たような話になると思

  うし、空気抵抗がある場合

  は角度を少し小さくした方

  がいい気がする。しかし、

  もちろん調べてみないと

  ハッキリした事は言えない。

 

  左は、先ほど1とした

  2gh/v²をパラメーターa

  と置いて、0~3の間で変

  化させた様子(下から上に

曲線が移動)。a=0とはh=0、つまり地表面からの発射の場合だから、角度

π/4、つまり45度で最大となる。

 

今回はこの辺で終わりとしよう。なお、コンピューターによるグラフ作成や数値

計算が、どの程度の論証力を持ってるのかという問題は、また別に考える必要

がある。飛び飛びの値で多数の計算を行う際の緻密さと誤差など、忘れる訳

にはいかない。ではまた。。☆彡

 

 

 

P.S. 角度を変えた時、射程と言うより、軌跡のグラフがどう変わるか。こ

     れもGRAPESでパラメーターを変化させて描いてみた。

     上の式(1)と式(2)から時間 t を消して求めた軌跡の方程式は、

     2次の係数が負の2次関数で、

 

       y=-g x² / (2v² cos²θ)+x tanθ+h

 

     これは一般に、上に凸の放物線だが、g=9.8m/s²、v=5m/s、

     h=1mという靴飛ばしに合った仮定で書き直すと、

 

       y=-0.196 x² / cos²θ+x tanθ+1

 

140605f この式で、角度

 を表すパラメー

 ターθを0ラジ

 アン~1ラジア

 ンの範囲で増加

 させてみると、

 下図のようにな

 る。確かに、

 0.6~0.7ラ

ジアンくらいで射程が最大になった。    

 

 

cf. ガリレオ『真夏の方程式』の数式、水ロケットの飛距離・初速度・発射角

   ブランコと靴飛ばしで遊んだ日々♪~テンメイ回想録10

 

                                    (計 2933字)

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コメント

凄いgrapes、keisanにもハンドリングしてますね。
・靴が斜方投射された瞬間の投射角度の延長上に静止(空中に)している物体は、靴が投射されたと同時に自由落下を始めると、靴とこの自由落下物体は必ず激突します。grapesで綺麗に確かめられます。

投稿: gauss | 2014年6月 6日 (金) 01時03分

> gauss さん
   
こんばんは。毎度どうもです。
いきなり本格的な梅雨ですね。
             
GRAPESは5年前に試して感心☆
記事まで書いたのに、ここ数年は使ってませんでした。
もっともっとコンピューターを利用しなきゃダメですね。
           
GRAPESでモンキー・ハンティングの確認ですか。
時間tをパラメーターにして、2つの図形を書くのかな。
同じ時刻に同じ位置座標(x,y)ってことですよね。
            
いずれ試してみますが、それより先に、射程を表す
面倒な関数をコンピューター無しで処理できるようです。
別記事で再挑戦するかも知れません。
少し前までなら、サラッとやってたはずの数Ⅲの処理が、
できなくなってるみたいですね。。
           
ま、人生も放物線ってことで、角度が気になって来ました。。

投稿: テンメイ | 2014年6月 7日 (土) 01時17分

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