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検査精度と難病の確率、落下速度、素因数分解の暗号~『ハードナッツ!~数学girl』第2回解説

また地デジが不調で、飛び飛びの観賞になってしまったけど、最大のポイン

トらしき個所は何とか見れたようだ♪ 『ハードナッツ!~数学girlの恋する 

事件簿~』第2回、「天才数学科女子大生VS爆弾テロリスト(後編)」も解説

してみよう。脚本・蒔田光治、数学考証・根上生也(横浜国立大)。

 

まずは、軽い物理のお話から。高校1年の最初辺りで習う、力学の基礎だっ

た。暗闇で伴田刑事(高良健吾)に取り残された数学ガール・難波くるみ(橋

本愛)は、不安と恋心で、こっそり後をつけて行く。乗り越える門の柵の高さは

1.5m。重力加速度9.8m/s²。では、柵の上から飛び降りた時のくるみの

速度、「着地スピード」はいくらか。

 

これは基本的に、自然落下の話だ。一般に、落下物(近似的な質点、つまり

質量だけあって大きさがゼロ、空気抵抗ゼロとみなせる物)の質量をm、落

下の垂直距離をh、重力加速度をg、落下後の速度をv(下向きを正)とし、位

置エネルギーの基準点(=原点)を落下後の高さとすると、

 

   (飛び降りる直前の位置エネルギー)=(落下後の運動エネルギー)

   ∴ mgh=(1/2)mv²

   ∴ v=√(2gh)  (公式に近い関係式)

 

   ∴ (着地時のくるみの速度) v = √(2×9.8×1.5)

                       = √29.4       

                       = 5.4221766846903836・・・

                       = 5.422176684690384 (m/s)

                                       (四捨五入)

 

これは、男子がきちんと飛び降りた場合なら痛くないが、オタク系の女子が

グシャッと落ちた場合には「かなり痛い」速度かも知れない♪ 

 

実際のくるみの場合、接地後に0.2秒間くらい(?)かけてグシャッとなるはず

だから、その間の重心の落下距離も考える必要がある。橋本愛の身長は165

cmで、身体はかなり曲げた状態だったから、接地後、減速しながら、50cm分

くらいの落下がプラスされたはず。もちろん、この短い時間は足腰や手で踏ん

張ってるので、自然落下ではない。強制減速落下だ。

 

 

          ☆          ☆          ☆

ウォーミングアップを終えた所で、次は今回のメインの数学、確率だろう。計算

は簡単なのに、大部分の人が苦手とする話で、ドラマでは数式を使わずに大

まかな説明を行ってた。正確ではないが、基本的には正しい。

 

伴田は健康診断か何かで、難病の疑いを指摘されて落ち込んでた。

 

   「胸部X線検査で両側肺門リンパ節膨張を認めます。 

    ランゲルドーシスの疑いがあります。再検査を受け、 

    治療等指導に従ってください。

 

「ランゲルドーシス」という病名は、日本語で検索するとこのドラマの情報ばか

りが並ぶし、英語、ドイツ語関連で調べても何もヒットしない。l(エル)とr(アー

ル)、「a」と「u」など、アルファベットの綴りを変えてもダメだから、ドイツ語っぽ

い語感で作った造語のような気がする。「Lungeldosis」で、「肺の難病」とい

う意味だろう。

 

とにかく、1万人に1人がかかる難病で、検査の精度は99.9%。この精度の

意味は、数学的なものであって、1万人が検査を受けると9990人が正しく診 

断されるという意味だ。その点は重要なので、くるみがしつこく確認してた。

 

伴田は、精度が99.9%の検査だから、それをほぼ信じて諦めていた。「難病

という診断が」間違ってる確率は0.1%。そう思うのがフツーの感覚だろうが、

確率・統計学にはまさに致命的な間違いだ。本当は、大丈夫である確率の方

が遥かに高いのに、もう助からないと誤解してしまってる。。

 

 

         ☆          ☆          ☆

先に、数学的な解答を示してから、ドラマに戻るとしよう。条件付き確率の一例

である「原因の確率」の公式、つまりベイズの定理を用いればすぐ解ける。式

と計算だけなら一瞬だが、少し解説を交えることにしよう。

 

忘れがちなポイントは、難病の場合、本当は病気でないのに病気だと診断(誤 

診)される確率が非常に高いことだ。実際、再検査で陰性と診断された伴田の

場合がそれに当たる(再検査の方が正しいと想定した場合)。

 

(一般的に、検査を受けた人が本当に病気で、かつ、病気と診断される確率

         =1/10000×999/1000

         =999/10000000

 

(一般的に、検査を受けた人が本当は病気ではなく、かつ、病気と診断される確率

        =9999/10000×1/1000

        =9999/10000000

 

∴ (病気と診断された人が、本当に病気である確率

          =(999/10000000) 

                 ÷(999/10000000+9999/10000000)

          =999/10998

          =0.09083・・・

          =9.083・・・(%)

          ≒9%

 

 

これは、「病気という診断結果が出た原因が本当に病気である確率」という意味

で、「原因の確率」と呼ばれてるものの一例だ。

 

 

         ☆          ☆          ☆

くるみの説明を正確に引用すると、次の通り。図は省略するが、補助的な役

割しか果たしてなかったので、差し障りはないはず。   

 

   検査の精度は99.9%。

   ということは、1万人が受けて来たとすると、9990人には正しい

   判定が下るけど、残り0.1%の10人には、間違った判定が下る。

   ということは、本当に病気なのは1万人に1人のはずなのに、

   病気と判定される人が、10人くらい出て来てしまうってことなんです。

   だから、伴田さんが病気の確率は、99.9%ではなくて、

   10人の内の1人、せいぜい10%ってことなんです。

 

 

大まかに言うと正しい流れだが、正確には、病気と診断される人の数は10人 

ではない。だから、10人「くらい」とボカしてるのだ。上の計算の確率を使うと、

 

     (本当に病気で、かつ、病気と診断される人の数)

            =10000(人)×999/10000000

            =0.999(人)

 

    (本当は病気でなく、かつ、病気と診断される人の数)

            =10000(人)×9999/10000000

            =9.999(人)

 

   ∴ (病気と診断される人の数)=0.999+9.999

                       =10.998(人)

 

つまり、10人くらいと言うより、むしろ、ほぼ11人なのだ。10.998人として

計算すれば、答は前の計算と同じになる。

 

   (病気と診断された人が、本当に病気である確率

          =(本当に病気で、かつ、病気と診断される人の数)

                        ÷(病気と診断される人の数)

          =0.999÷10.998

          =999÷10998

          ≒9(%)

 

 

          ☆          ☆          ☆

最後にオマケとして、素因数分解を利用した暗号について。地デジのエラーで

最後しか見えなかったが、やってる事は理解できた。

 

例えば、「36450」という数字の暗号があったとしよう。素因数分解、つまり素

数(1とその数自身でしか割れない数)の掛け算で表すと、

 

   36450=2×3×3×3×3×3×3×5×5

        =(2の乗)×(3の乗)×(5の乗)

 

ここで、素因数(素数である約数)の右肩の数字、「1,6,2」を50音表(あ~ん)

の順番だと考えると、「あ、か、い」。つまり、「赤い」を意味してると解読できる。

2以上の自然数に対して、素因数分解はただ一通りだけ存在するので、解読

も一通りに限定される。

 

実際の黒板では、ものすごく大きな数の素因数分解を利用して、素数としては

2、3、5、7、11、13、17くらいまで使ってたように見えた。人間が手で計算

するのはほとんど無理だが、ネット上に色々ある無料サイト、つまりコンピュー

ターを使うだけでも、かなりの素因数分解は可能。

 

くるみが素因数分解だと見破ったのは、本の空欄を透かし見た時の長い数の

末尾に0がズラッと並んでたから。これは、その数が10(=2×5)を何度も掛

け合わせてる証拠。さらに、0の前の数字を足すと3の倍数になったから、その

数自体も3の倍数(有名な話で、証明省略)。結局、元の長い数は、2と3と5、

つまり素数を何度も掛け合わせた数だから、素因数分解を使った暗号だと見破っ

た。もちろん、暗号と素数のつながりは、前提的な知識として持ってたはずだ。

 

 

           ☆          ☆          ☆

なお、ランダムではなくカオスという話はとりあえず保留する。カオスだと、わり

と簡単な規則でも、初期値の僅かな違いによって予測できない複雑な変化が

生じるという話はよく聞くし、イメージも何とか出来るが、わかりやすい具体例

を示したサイトが見当たらない。初期値でなく、規則の方を変えた話ばかりが

ヒットする。

 

自分で「ロジスティック写像」を使って具体例を作ろうとしてみたが、計算が大

変。自動で計算できる英文サイトも調べてみたが、激重だったリ接続不能だっ

たり、あるいは動かなかったりで、どこも失敗。

 

ちなみに、ランダムもカオスもわりと曖昧な概念だからなのか、カオスのランダ

ム性といった形で、2つを結びつけた文書を2つ見つけた(北大、京大)。この

用語法だと、ドラマの話は、「ランダムじゃなくカオス」と言うより、「規則性を

持ち、初期値の変化に敏感なランダム、すなわちカオス」と言うべきなのかも

知れない。

 

とにかく、犯人の論文は規則性を見落としてたから、くるみが指摘したという

流れだろう。それでは、今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

P.S. くるみが伴田の車に乗ってる時、面白い話に関する確率計算を行っ

     てた。候補となってたのは、フェルマーの最終定理、オイラーの公式、

     黄金比。CPT(Conditional Probability Table : 条件付き確率表

     という文字が浮かんでたし、式の形から見ても、何か条件付き確率と

     か原因の確率を計算してたようだ。

 

     たとえば、黄金比の話をしてウケたという条件のもとで、伴田がくるみ

     に好意を抱いてる確率を計算するとか。

 

 

P.S.2 爆弾テロリスト・湯沢道明(嶋田久作)の15年前の論文、「金融シス

      テムがもたらす経済破綻の数学的証明」(1998年3月)に対する、

      くるみの批判は次の通り。

 

      「あなたは間違っています。あなたの微分方程式は同じ確率分布に

      従うランダムな変数原子(?、聞き取り不能)を消去してしまうことに

      よって導き出されています。でもその中に、消去してはいけない項が

      あったんです。

 

      一見ランダムに見えるけれど、実はごく簡単な方程式から導き出さ

      れている項。初期値の僅かな変化が、結果に大きな違いをもたらす

      ためにそれは、複雑で非周期的な数列を作り出してしまう。

 

      あなたはそれを、ランダムな過程と見間違えた。それはランダムで

      はありません。カオスです。消去してはいけなかったんです。」  

 

      下がその微分方程式(x≧1、変数は時間 t )で、赤い波線部が、湯

      沢が消去してしまった項。つまり、カオス性をもたらす項らしい。

 

140702b

 

 

 

P.S.3 誕生日月と日にちを足した数が28だと、どうして11月17日だと

      分かるのか? そんな感じの検索アクセスが入ってたから、お答え

      しとこう。上のP.S.と同じ、車のシーンで、要するに有名な黄金比

      を使ったコネタを持ち出してるのだ。

 

      黄金比は、1:(1+√5)/2。近似的には、1:1.62。月と日を足し

      て28の時、月:日が黄金比に一番近いのはどの組合せか。

 

        10月18日  1:1.80

        11月17日  1:1.55

        12月16日  1:1.33

 

      という訳で、くるみが、黄金比に一番近い11月17日だろうと試しに言っ

      たら、伴田に「さっき免許、見たろ」とか冷たく言われてしまったわけだ♪

 

 

cf. トランプのポーカーの確率計算

          ~『ハードナッツ!~数学girlの恋する事件簿~』第1回解説

   無理数を発見した弟子をピタゴラスが殺した伝説の検証

                            ~『ハードナッツ』第3回

   ピタゴラス音律と普通の十二平均律、周波数のズレなど

                                ~『ハードナッツ』第3回

   ラブレターの換字式暗号&数字の順列パスワード~第4回

   計量文献学による解析、K特性値、筆者判定~第4回

   ハートマークと「i LOVE u」、愛の方程式~第5回

   「アッシェンフェルターのワイン方程式」の間違いと本物(原論文)~第5回

   特殊な違いの有無の判定(統計的推測、5%片側検定)~第6回

   変化点検出と外れ値、スコア(Score)~第7回

   変化点検出とスコア、具体的な計算例~最終回

 

                                      (計 4835字)

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現在、関東ローカルでは「サマーレスキュー〜天空の診療所〜」の再放送中である。 最初のオンエアでは・・・それほど高くない評価のドラマだったわけだが・・・「カーネーション」のヒロインと「ゲゲゲの女房」の水木さんの競演にしてはグダグダが過ぎていた。 しかし・・・今や・・・2012年7月の天野アキこと能年玲... [続きを読む]

受信: 2014年7月 2日 (水) 21時48分

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