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ピタゴラス音律と普通の十二平均律、周波数のズレなど~『ハードナッツ』第3回

依然としてパソコン入力が大変な状況が続いてるが、昨日のピタゴラス殺人

犯伝説の検証に続いて再び、『ハードナッツ』第3回の数学&物理的解説を

手短にアップしよう。

 

メインで扱う「ピタゴラス音律」は私にとって、これまでで一番のハードナッツ

(hard nut : 難問題)だった。まだナッツがパカッと割れた訳ではないが、ヒ

ビを入れることには成功したつもり♪ ついでに音階白黒の鍵盤も理解で

きた。

 

その前にまず、「ソフトナッツ」、すぐ解ける問題を扱っとこう。教授が死ぬ間

際に流れてた音楽、「ダイイング・メロディー」を、くるみ(橋本愛)はどう解読

してたか。「ド・ミ・ファ・ド(高い)・ド・レ・シ・レ」 ♫

 

ポイントは、円周率π(3.141592・・・)の音楽の作り方。1をド、2をレ、3

をミ・・・という風に、単純に数字と音名を置き換える(換字式暗号)。すると、

 

 ド・ミ・ファ・ド(高い)・ド・レ・シ・レ → 13481272 = 238の3乗 

                                   = ふみや・さんじょう

                                   = 三条文也

 

140709c  ちなみに3乗の計算は、

  筆算してもいいが、あ

  えてカシオのサイト

  「keisan」の指数関数

  を使って確認した。底

  (てい)aを238、変数

  xを3と入力。   

 

  という訳で、犯人は出

  版社の三条だと、くる

みが伴田(高良健吾)に説明した途端、三条が死んだという電話がかかって

来た。要するに、くるみは、真犯人・堤彩葉(いろは : 中越典子)が仕掛けた

罠にハメられたわけだ。

 

 

          ☆          ☆          ☆  

ソフトナッツを簡単に割った後は、いよいよハードナッツ。殺された教授のピ

アノ調律に使われてたという、ピタゴラス音律。まず、くるみが彩葉を問い詰

めた台詞の引用から入ろう。

 

   「あなたは、あのメロディーが小板橋教授の部屋から聞こえてきたと

    嘘をついた。

 

    ・・・・・・あなたは言いましたよね? 教授が最後に奏でたメロディー

    におかしなところはなかったと。・・・そんなはずはないんです。教授

    のピアノは、現代の音階じゃない。ピタゴラス音律を再現したものだっ

    たんですから。

 

    ・・・・・・もちろん、あなたなら知っていますよね? ピタゴラス音律は、

    私たちが現在聞いているドレミの音とは違う。少し、ズレがあるんです」。   

 

 

           ☆          ☆          ☆

ピタゴラス音律は、英語だと「Pythagorean tuning」だから、チューニング

(調律)の一種。ただ日本語だと、基本的な音の並び方、音階を指してるよう

だ。物理的には、それぞれの音の高低を決める周波数の組み合わせ方。

 

スタート地点は、1オクターブ周波数の差、つまり2倍。これを普通の音律

である平均律(十二平均律)だと、12の差へと均等に分ける。ただし、12で

割り算するのではなく、12回掛け合わせて2になる数、2の12乗根(₁₂√2≒ 

1.06)ずつの周波数倍率に分けるのだ。ピアノの鍵盤なら、次のように割り

振る。

 

140709a  注意が必要なのは、

  全音半音の区別。

  黒い鍵も含めて、

  12個の音の差を

  半音と呼び、これ

  が周波数1.06倍

  に相当。

 

  すると、ドとレの差

  は半音2つ分、つま

  り全音だから、周波

  数は(₁₂√2)²倍の

  差となる。ミとファ、

シとドの間だけは半音。

 

 

          ☆          ☆          ☆

一方、ピタゴラス音律の場合は、1オクターブ(=2倍差)の分け方が全く違う。

基本的には、2の12乗根のような無理数を使わず、簡単な有理数を利用。

上に3/2倍(=1.5倍)、下に2/3倍(=0.67倍)していくのだけど、その

ままでは変化が大き過ぎるし、上下にいくら進んでも、オクターブの差を作れ

ない。つまり、2倍、4倍・・・や、1/2倍、1/4倍にならない。

 

そこで実際は、オクターブの差だけは別扱いで掛けるようだ。すると、3/2や

140709b  2/3を何度か掛け

  合わせて、さらに 

  や1/2も何度か

  掛け合わせて、1

  オクターブを分け

  ることになる。くる

  みが黒板に書い

  てた数式も、そう

  なってた。  

 

  日英のウィキペ

  ディアに従うと、左

  のように配分する

らしい。例えば、ドとシの差(243/128)倍なら、 (3/2)の5乗に、(1/2)

の2乗を掛ければいい。

 

結局、ズレはどの程度になるのか、計算してみよう。上段が平均律、下段が

ピタゴラス音律、ドレミファソラシドの間の倍率だ(ドが基準)。端数省略の近

似値で、計算は再びカシオのサイトを利用した。

 

   1.12倍  1.26  1.33  1.50  1.68  1.89  2.00

   1.13倍  1.27  1.33  1.50  1.69  1.90  2.00

 

 

意外なほど、僅かな差だ。YouTubeで聞き比べても、ほとんど分からない。

ただ、同時に鳴らすと、うなりが生じてるから、僅かに周波数が違うのだろう。

専門家の彩葉なら気付いたはず、という話の流れだった。

 

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

P.S. この記事をアップした後すぐ、詳しくて丁寧な解説がpdfファイルで

     公開されてるのを発見した。ただしピタゴラスの殺人伝説について

     は、日本語ウィキの不確かな記述をほぼそのまま引用してある。 

 

          音律と音階  ピタゴラスから平均律まで

 

 

P.S.2 くるみが最後に口にした、宇宙の秩序を調律する音楽、「ムジカ・

      ムンダーナ」(musica mundana)は、「宇宙の音楽」を指す中世

      ラテン語ピタゴラスの時代(古代ギリシャ)の言葉ではない

 

 

P.S.3 小板橋教授の講義で、黒板にこう書いてあった。

        ピタゴラスの数の概念

        「万物の根源(アルケー)は水である」(アリストテレス『形而上学』)

 

Photo  古代ギリシャ語で書かれた

  『形而上学』の原書を、英訳

と比較すると、上の個所が「根源を水と考える」という意味のようだ。ギリシャ

語のウィキソースより。

 

 

P.S.4 くるみが冒頭で黒板に書いてた積分の式が、音波をサイン曲線(正

      弦波)の和へと分解して扱いやすくする、フーリエ解析

 

 

cf. トランプのポーカーの確率計算

          ~『ハードナッツ!~数学girlの恋する事件簿~』第1回解説

   検査精度と難病の確率、落下速度、素因数分解の暗号

                     ~『ハードナッツ!~数学girl』第2回解説

   無理数を発見した弟子をピタゴラスが殺したという伝説の検証

                             ~『ハードナッツ』第3回

   ラブレターの換字式暗号&数字の順列パスワード~第4回

   計量文献学による解析、K特性値、筆者判定~第4回

   ハートマークと「i LOVE u」、愛の方程式~第5回

   「アッシェンフェルターのワイン方程式」の間違いと本物(原論文)~第5回

   特殊な違いの有無の判定(統計的推測、5%片側検定)~第6回

   変化点検出と外れ値、スコア(Score)~第7回

   変化点検出とスコア、具体的な計算例~最終回

 

                                     (計 2653字)

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