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四角形の外接円の半径の求め方~数学甲子園2014予選問題13の解説

(☆15年9月19日の追記: 関連する最新記事をアップ。

       数学甲子園2015、全20問の問題、解き方、感想 )

 

 

         ☆           ☆          ☆

記事のローテーション的に、そろそろ数学で1本書いておきたい。数学甲子園 

2014(第7回・全国数学選手権大会)の予選の面白い問題なら、5分で解い

て手抜き記事のネタになるだろうと思ったら、1時間もかかってしまった♪

 

解いてしまうと、別に難しい話でもないんだけど、全くやったことが無いタイプ

の問題で、変な方向に進んでしまったのだ。三角形ではなく、四角形の外接 

円の半径の長さ。言い換えると、円に内接する四角形がある時、その円の

半径を求める方法。

 

私が今までやった問題だと、必ず何か特殊な条件や誘導があって、そこか

らアプローチすれば簡単に導けるタイプばかりだったのに、今年の予選問題

13番はそうではない。上手い補助線を引くと、「エレガントな解答」が可能な

んだろうか。

 

今現在、思い付かないので、平凡に余弦定理と正弦定理で解いておこう。最

初、中心角2つ(角AOBと角COD)と半径、3つの未知数に関する3元連立

方程式を立てて機械的に解こうとしたけど、計算が面倒だから途中で方針転

換。答は既に求めてるので、いずれヒマな時に、力づくで再挑戦してみようと

思ってる。

 

ちなみに、数学検定の公式twitterによると、昨日(9月14日)行われた本戦

の主な結果は次の通り。いつの間にか有名校の独壇場となってた。外野席と

しては、無名校が活躍する方が面白いけどね♪ ともあれ、どうもおめでとう!

参加者&スタッフの皆さん、お疲れさま。。

 

   優勝     灘高等学校 おめがチーム

   準優勝   駒場東邦高等学校 シュレーディンガーチーム

   敢闘賞   開成中学校・高等学校 開成学園数学研究部チーム

 

 

 

          ☆          ☆          ☆

140915a  問題13。図だけ、公式HP

  pdfファイルから縮小コピペ

  させて頂いた。

 

  右の図(この記事では左) 

  ように、四角形ABCDが円O 

  に内接しています。AB=3、 

  BC=5、CD=1、DA=3 

  のとき、円Oの半径を求め 

なさい。答えが分数になるときは、分母を有理化して答えなさい。

 

 

(解答)

角BCD=θ(0°<θ<90°)として、三角形DBCに余弦定理を使うと、

 

  BD² = 5²+1²-2・5・1cosθ=26-10cosθ ・・・・・・①

 

一方、円に内接する四角形の性質より、角BAD=180°-θだから、

三角形ABDに余弦定理を使うと、

 

  BD²=3²+3²-2・3・3cos(180°-θ)=18+18cosθ ・・・・・・②

 

①②より、26-10cosθ=18+18cosθ

         ∴ cosθ=2/7 ・・・・・・③

 

③を①に代入して、 BD²=26-10×2/7=162/7

     ∴ BD=√(162/7)=9√(2/7)=(9/7)√14 ・・・・・・④

 

また③と0°<θ<90°より、

     sinθ=√(1-cos²θ)=√(45/49)=(3/7)√5 ・・・・・・⑤

 

④⑤を用いて、正弦定理で三角形DBCの外接円の半径Rを求めると、

 

   2R=BD/sinθ

     ={(9/7)√14}/{(3/7)√5}

     =(3/5)√70

   ∴ R=(3/10)√70

 

この円は四角形ABCDの外接円Oでもあるので、このRが答である。

 

 

           ☆          ☆          ☆

小数で表すと、約2.5だから、図をみると大体合ってそうだと納得できる。本

質的は、対角線で2つの三角形へと分割して、四角形ではなく三角形の外接

円として考えるわけだ。

 

一方、ネットで「円 内接 四角形 半径」で検索してみると、ウィキペディア

その他で、初めて見る公式が見つかった。以下、私が分かりやすい形に直

して掲載しよう。

 

内接四角形4辺の長さをa、b、c、dとすると、

 

 (半径)=√{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)

         /(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}

 

この問題の場合、4辺の長さが3、5、1、3だから、

 

  (半径)=√{(15+3)(3+15)(9+5)/(6・2・10・6)}

       =(18/6)√14/20

       =(3/10)√70

 

確かに合ってる。公式の証明は確認してないが、問題13の解答とほぼ同じ

解き方で大丈夫だろう。

 

 

           ☆          ☆          ☆  

日本語のウィキペディア(外接円の項目)は、この半径の公式を「ブラーマグ

プタの公式」としてるが、その公式の項目にジャンプしても半径の話はないし、

英語版wikiを見ても半径の話はない。ブラーマグプタの公式とは、三角形の

面積に関するヘロンの公式の四角形版であって、四角形の面積を求めるも

ののようだ。

 

まあ、ヘロンの公式でさえ、高校レベルの数学の問題で必要になることは

ほとんど無かったから、まして四角形版の公式を覚える必要はないだろう。

四角形の外接円の半径の公式も、覚える必要はないはず。数学甲子園の

参加者以外は♪

 

なお、問題15整数問題もちょっと面白いけど、こちらは試行錯誤するとすぐ

に解けてしまう。「三角形をつくることができない」ための条件は、長い辺の長

さが短い辺の和以上であること。そこで、短い辺の長さ1と2からスタートして

「もっとも長い線分の長さ」の最小値を求めると、3、5、8、13、21、34。これ

で条件通りになってしまうので、「2番目に長い線分の長さ」の答は21なのだ。

フィボナッチ数列の簡単な応用例。

 

問題16は、円周率π(=3.141592・・・)のかなり微妙な近似であって、

πと√10との比較になる、とだけ書いとこう♪ 対数(log)も絡めてるので、

ある意味、予選で一番テクニカル。全20問で60分という制限時間の短さを

考えると、ハマってしまった生徒が気の毒になる。

 

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf. 数学甲子園2014準々決勝~全問コメント&問題10の解答・別解

   数学甲子園2013予選のポイント、問題15の解説&解答

   数学甲子園2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

   数学甲子園2012・サンプル問題の解き方&リハビリジョグ2

   数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ☆ (2011年)

 

      ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

   Z会「超難問コロシアム2014」、数学・例題4の解答

                         ~4次方程式の解と係数の関係

 

                                   (計 2517字)  

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コメント

ご無沙汰しています。この短時間で、
爽やかに予選問題を解説していますね。凄いです。
ブラーマグプタの公式にd=0を代入するとヘロンの
公式が出てきて安心しますね。
問題16はπを何乗すれば10を超えるかですよね??
今年も会場にいました。段々洗練されて来てはいます。

投稿: gauss | 2014年9月16日 (火) 01時38分

> gauss さん
  
おはようございます。
ご無沙汰でしたね。
  
短時間じゃないですよ。長時間です♪
正直に告白しました。
   
まあ、実際に予選に参加してたら、
5分くらいで諦めたでしょうけどね。
半径に関する高次方程式はすぐに出るけど、
正の実数解を求めるのが厄介です。
    
ブラーマグプタの公式にd=0を代入!
流石は数学屋さんですね♪
それでヘロンの公式が出るということは、
連続性があるってことなんでしょう。
公式と公式の間、四角形と三角形の間に。
    
    
問題16は、「πを何乗すれば10を超えるか」
と言っても方向性は合ってますが、より正確には
「πを何乗しても10未満か」ですよね。
もちろん、整数乗とか自然数乗のみに限って。
   
πの1乗は明らかにOK。
πの3乗は明らかに不適。
よって、πの2乗が勝負所になります。
    
この時点で、実戦なら「n=2」と書く所かも(笑)
どうせ、予選は答だけですしね。
    
マジメな話、「πを2乗しても10未満か」と
考えるより、「πは10の(1/2)乗未満か」
と考える方がいいでしょう。
つまり、「π<√10 かどうか」。
    
πはeと並ぶ特殊な無理数であって、
2乗とかの計算をしにくい数ですからね。
   
 (3.15の2乗)=9.9225<10
∴ 3.15<√10
∴ π<3.15<√10
  
こんな感じで不等式を処理する所だと思います。
あるいは、√10=√2√5だから、
1.41×2.23<√10
∴ 3.1443<√10
  
ま、参加者なら、√10の値くらい覚えてるのかも。
僕は√6までしか覚えてませんが♪

投稿: テンメイ | 2014年9月17日 (水) 07時09分

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