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数学甲子園2014準々決勝、全問コメント&問題10の解答・別解

(☆16年4月の追記: 関連する最新記事をアップ。

  数学甲子園2015準々決勝、全問コメント&解き方 )  

 

 

         ☆          ☆          ☆

いつの間にか、数学甲子園の公式HPで、2014年の本選・準々決勝の問題

が公表されてたので、軽い記事をアップしとこう。記事自体は軽いけど、その

準備は意外と重かった♪ 解くのはすぐとして、問題10の別解を力づくで書く

のが大変だったのだ。

 

日本語表現で10問、高校数学の標準問題。英語表現で5問、やや簡単な問

題。合わせて15問をチーム全員で30分で解くということだから、優勝した灘

高校・おめがチームみたいに5人のメンバーがいれば、1人あたり3問で30分。

1問10分。最終的な答のみが採点対象みたいだから、通過した上位15チー

ムにはおそらく、満点チームが多かったんだろうと想像する。

 

以下ではまず、日本語の問題1~9と英語の問題11~15に一言ずつコメント。

その後で、問題10の解答と別解(途中まで)を示すことにする。問題文は、10

番以外は掲載しないので、公式サイトを御覧あれ。

 

ちなみに予選問題については先月既に、1問だけ解説してある。

  四角形の外接円の半径の求め方~数学甲子園2014予選問題13の解説

 

 

         ☆          ☆          ☆

問題1 x=-3+2i の時、5次式の値を計算する。直接代入してもいいし、

     5次式をx-(-3+2i)で割ってもいい(組立除法も可)。ただ、普通

     は虚数の計算が面倒だから、(x+3)²=-4と見て、5次式を(x+3)²

     で割る所か。

 

問題2 階差数列が(等差数列)×(等比数列)となってる漸化式から、一般項

     を求める。1からn-1まで式を書き並べて辺々足し算、簡単にした後、

     セオリー通り、「公比」に着目すればいい。

 

問題3 四面体で、上の頂点から底面に下ろした垂線ベクトルを求める。垂線

     の足が底面上にあることと、2つの底辺ベクトルとの直交条件(内積0)

     を用いればいい。

 

問題4 絶対値記号付きの定積分で与えられた関数の最小値。絶対値記号の

     中の2次式が因数分解できるので、0以上か負かで、場合分けすれば

     いい。折り曲げられた放物線のグラフをさらっと書いてもいいけど、参

     考程度にしかならないはず。

 

問題5 ちょっと面白い整数問題で、ある意味、「覆面算」とも言える。ただ、場

     合分けは少ないし、勘が鋭い生徒なら、5つの文字が1~5のどれな

     のか、直感的に見抜くかも。

 

問題6 ∞-∞(無限大マイナス無限大)の不定形の極限値。(1/3)乗になっ

     てるから、直ちに3乗-3乗の形に変形する所か。

 

問題7 cos3θの方程式、つまりcosθの3次方程式を与えて、4次式の値を

     計算する。すぐに方程式が解けてしまって、角度も分かるけど、もっと

     上手いやり方があるということだろうか。

 

問題8 数Ⅲの置換積分。log xをtと置くだけ。

 

問題9 複素数平面で、与えられた2つの頂点から、三角定規(30度・60度・

     90度)の残り1つの頂点を求める。点Aをまず原点に平行移動して、

     ABを回転拡大(複素数の掛け算利用)。逆向きに平行移動して終了。

 

 

           ☆          ☆          ☆

問題11 ちょっと英文の後半が気になるけど、5回のテストの平均点を一定

      範囲にするための得点計算。中学校レベルの不等式。

 

問題12 文字(パラメーター)が入った2次方程式の2解の条件から、解と文字

      を求める。解と係数の関係を利用すれば、暗算レベル。

 

問題13 凸多角形の辺の数と対角線の数の関係。中学の図形&計算。 

 

 

問題14 三角形ABCの内部の点Pで、「中心角」120度で3分割した後、

      AP²+BP²+CP²を計算。余弦定理と面積公式を利用。余弦定理

      だけで解こうとすると厄介。

 

問題15 自然数25の階乗(!)で、右端にゼロがいくつ並ぶか。つまり、

      (2×5)が何組あるか。2は溢れてるので、5の数だけが問題。

      最後の25が、5×5となってる所が軽いひっかけ♪

 

 

            ☆          ☆          ☆ 

では、上で飛ばした問題10について。まずは問題と普通の解き方を提示しよう。

 

  xに関する不等式√(2-x) > ax+bの解が1<x≦2となるための、 

  a、bに関する必要十分条件を求めなさい。

 

 

解答 xy平面で図形的に考える。y=√(2-x)のグラフ(横向き放物線の上

    半分)が直線y=ax+bの上側にあるようなxの範囲が、ちょうど

    1<x≦2になるための条件を求めればよい。

 

141006b  左図を参照する

  と、そのための

  必要十分条件は、

  直線が点(1,1)

  を通り、点(2,0)

  の下側を通ること。

 

 

 

 

  ∴ 1=a・1+b かつ a・2+b<0

  ∴ a+b=1 かつ 2a+b<0  ・・・・・・ (答)

 

 

            ☆          ☆          ☆    

解説&感想  高校時代、この種の無理不等式の問題はグラフを利用する

         ようにという話を見聞きして、納得できなかったから、普通に

         場合分けと計算で解いてた覚えがある♪

 

         実際、多くの場合、パラメーターは0個か1個だから、わざわざ

         グラフを書く必要性を感じなかったのだ。ただ、この問題みたい

         にパラメーターが2つ入ってしまうと、グラフを使わずに解くのは

         非常に面倒で複雑。ほとんど初めてグラフの有難さが分かった。

 

         最後の答は、変形して、「b=-a+1 かつ b<-2a」とか、

         「b=-a+1 かつ a<-1」と書いてもいいが、趣味の問題

         だろう。もし点(a,b)の存在範囲を図示するのなら、最後の答

         が一番わかりやすいと思うけど、ここでは条件を求めるだけだ。

 

         高校・大学レベルのテストだと、上の解答で十分のはず。ただ、

         ひそかに図形の性質(特に放物線の形)を使ってることもあって、

         論理構成的にはちょっと微妙な感もある。

 

 

             ☆          ☆          ☆

 

         そこで私は、グラフなしでやってみたけど、全部ここに書く気に

         ならないくらい大変だった。一応、前半の部分だけ書いておく

         ので、腕に自信のある方は、後半の難所をお試しあれ♪

 

   (別解) まず、a、bの条件で場合分けして、不等式の解(xの範囲)を

        求め、その解が1<x≦2と一致するための必要十分条件を

        考える。(根号の中の式)≧0という実数条件から、解の大前

        提として、2-x≧0、すなわち x≦2が常に必要となる。

 

   (1-1) a=0 かつ b<0の場合

          与式は √(2-x)>b  これは直ちに成立。

          よって大前提より、 解は x≦2 。

 

   (1-2) a=0 かつ b≧0の場合

         与式は両辺2乗しても同値で、 2-x>b²  ∴ x<2-b²

         この時、大前提x≦2も成り立つから、解は x<2-b² 。

 

 

   (2) a>0 の場合

       不等式の右辺の符号によって、解を左右2つの範囲(小さい方と

       大きい方)に分けて求め、後で左右を連結して最終的な解とする。

 

       (ア) まず、(不等式の右辺)ax+b<0の範囲で考える。

           この時、不等式は直ちに成立。

           つまり、x<-b/aなら、後は大前提x≦2を考慮するのみ。  

           ここで (-b/a)≦2 を解くと、b≧-2a 。

 

           よって、「a>0 かつ b≧-2a」の場合、

                 解の左側は x<-b/a 。

           また、「a>0 かつ b<-2a」の場合、

                 解の左側は x≦2 。

                 これは大前提そのものだから、この右側に解は無い。

           よって、最終的な解が x≦2 となる。

 

       (イ) 次に、ax+b≧0の範囲、すなわちx≧-b/aで考える。

           与式両辺は0以上だから、両辺2乗しても同値。

           ∴ 2-x>(ax+b)²

           ∴ a²x²+(2ab+1)x+b²-2<0

           左辺をf(x)とおくと、条件は

            D>0 かつ α<x<β

              (ただし、はf(x)=0の判別式、αとβは異なる2実解)

            D>0より、(2ab+1)²-4a²(b²-2)>0

                ∴ 4ab+8a²+1>0

            また、α<x<βより、

          {-(2ab+1)-√D}/2a² < x < {-(2ab+1)+√D}/2a²

 

          ここで、α、βと-b/aの大小関係を考える。

          α=-b/a-(1+√D)/2a²だから、α<-b/a。

 

          また、f(-b/a)=・・・=-(2a+b)/a  

          既に今、2a+b≧0の時だけ考えればいいので、f(-b/a)≦0

          更に、f(2)=・・・=(2a+b)²≧0だから、

          f(x)のグラフと横軸の関係を考えれば

          -b/a≦β≦2

 

         以上より、a>0かつb≧-2aの場合

           解の右側は-b/a≦x<β

           よって、解の左側であるx<-b/aと連結すると、

           最終的な答は、 x<β 。 

 

     (3) a<0の場合   (☆以下、この場合の議論は2日後の追記)

         a>0の場合と同様、不等式の右辺の符号によって、解を左右

         2つの範囲に分けて求め、後で左右連結して最終的な解とする。

 

       (ア) まず、(不等式の右辺)ax+b<0の範囲で考える。

           この時、不等式は直ちに成立。

           つまり、x>-b/aなら、後は大前提x≦2を考慮するのみ。  

           ここで (-b/a)<2 を解くと、b<-2a 。

 

           よって、「a<0 かつ b<-2a」の場合、

              解の右側は (-b/a)<x≦2

           また、「a<0 かつ b≧-2a」の場合、

              解の右側は存在しない。

 

      (イ) 次に、ax+b≧0の範囲、すなわちx≦-b/aで考える。 

          与式両辺は0以上だから、両辺2乗しても同値。

           a>0の時と同様に考えて、条件は           

            D=4ab+8a²+1>0 かつ 

          {-(2ab+1)-√D}/2a² < x < {-(2ab+1)+√D}/2a²

              以下、省略。

 

 

             ☆          ☆          ☆

グラフなら明らかな、a≧0の場合の処理だけで、普通の場合分けだとこれほ

ど大変な作業になる(上ではa<0の場合も少し追記してある)。分けるのも大

変。後でつなぐのも、まとめるのも大変だ。もう疲れたし、ほとんど読者がいな

い話だろうから、この辺にしとこう♪

 

解き方によって、これほど手間や効果が違ってしまうというのが、数学の奇妙

な所でもあり、面白い所でもある。まあ、いずれ高性能のコンピューターを全

面的に数学で使い始めると、高校・大学レベルの場合、解き方の工夫という

のは人間的な趣味ということになるのだろう。

 

ちなみにコンピューター将棋だと、今現在、専門家たちが工夫を重ねてるし、

それでもまだ必勝法や結論のようなものには達してない。まあ、囲碁も含め

て時間の問題だとは思うけど。。

 

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf. 数学甲子園2015、全20問の問題、解き方、感想 

   数学甲子園2013予選のポイント、問題15の解説&解答

   数学甲子園2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

   数学甲子園2012・サンプル問題の解き方&リハビリジョグ2

   数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ☆ (2011年)

 

      ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

   Z会「超難問コロシアム2014」、数学・例題4の解答

                         ~4次方程式の解と係数の関係

 

                       (計 4192字)

           (追記 21字 ; 合計 4213字)

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数学」カテゴリの記事

コメント

"もう疲れたし、ほとんど読者がいない話だろうから、この辺にしとこう"
読者いますよ!!お疲れ様。
こうなんですよね。グラフの力偉大です。なお、私は、b=-a+1かつa<-1 と書きます。

投稿: gauss | 2014年10月 8日 (水) 13時34分

> gauss さん
   
こんばんは。毎度どうもです。
読者ってだけでも有難いことですが、
「参加者」にはならなかったわけですね♪
   
bをaの関数として表す答は、図を意識したもので、
高校数学としては自然だと思います。
    
ただ、あまり数学が得意でない人の場合、
元のxの関数やグラフとゴチャ混ぜになるかも。
a、bを対等に扱う答(この記事の最初)より、
もう一手間かかりますしね。
  
折角「読者いますよ」ってコメントを頂いたので、
もう少し別解を追加しときました。
ここまで書くと、あと一息でしょう。。

投稿: テンメイ | 2014年10月 8日 (水) 23時39分

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