« 「日本消滅」、超巨大噴火の確率計算~対数正規分布とBPT分布 | トップページ | 微熱と寒気の中、25km走&14年10月の全走行距離 »

Z会「超難問コロシアム2014」、数学・例題4の解答~4次方程式の解と係数の関係

たまたまエキサイトHPで、「Z会、全国の天才高校生に超難問を公開」と題す

記事が目に留まった(配信はリセマム)。私は天才高校生ではなく、マニアッ

ク・ブロガーだが、数学好きではあるし、数学甲子園の記事なら既に数本書い

てる。そこで早速、「超難問コロシアム2014」の決勝(11月9日)の例題をZ

会HPで拝見した。

 

昨日、10月31日の「天才の日」(笑)に公開された例題4は、例題1~3と違っ

て、まだ解答と解説が公表されてない。そこで早速、こっそりチャレンジ♪ 解

けなかったら知らんぷりするつもりだったが、すぐ解けてしまったので、今日の

分の記事にしてしまおう。

 

ちなみに私は、確か高校1年から2年にかけて、1年間くらいZ会の通信添削

を受けてた気がする。ただしサボリまくりで、机の引き出しに問題用紙を溜め

るだけだから、母親が度々激怒♪ たまに出す時も、締切を大幅に過ぎてか

ら (^^ゞ とはいえ、数学の問題はほぼ完答してた気がする。

 

添削の赤ペンにはよく、「解答が長過ぎます」とか書かれてたかも(笑)。書き

切れないから、勝手に自分で紙を足して書いたりしてたんだけど、私に言わ

せれば、世間の解答なるものが短過ぎるのだ。特に、レベルの高い問題や

参考書の解答は、私が採点者なら減点するようなものを時々見かける。ま

あ、試験とかテストというものが時間との闘いだから、仕方ない側面もある

のかも。。

 

 

          ☆          ☆          ☆

では、問題だけコピペさせて頂こう。ネットの公開挑戦状だし、「解けました」

ツイートを希望してるくらいだから、ブログへの引用も許されるはず。

 

解答の目安時間は10分とのこと。「超難問」のはずなのに、どうしてそんな

に短いのかね? 普通の大学入試の難問でさえ、30分レベルなのに。その

辺りの時間設定は、実は重要なことだと思う。10分というのは、計算や論理

の積み重ね、試行錯誤には時間がかからず、ひらめき重視ということなのだ。。

 

141101a

 

 

(解答)

 

与えられた方程式の見方を逆転して、x、y、z、wの解(文字はそのまま利用)

を定数と考え、a、b、c、dを、次の t の方程式の相異なる4つの解と考える。

 

 {1/(xt+1)}+{1/(yt+1)}+{1/(zt+1)}+{1/(wt+1)}=1

 

両辺に、4つの分母の積をかけると、

 

 (yt+1)(zt+1)(wt+1)+(xt+1)(zt+1)(wt+1)

    +(xt+1)(yt+1)(wt+1)+(xt+1)(yt+1)(zt+1)

                   =(xt+1)(yt+1)(zt+1)(wt+1)

                                   (ただし右辺≠0)

 

t について降べきの順に整理し、2次以下を省略して書くと、

     xyzw t⁴ +0 t³ +・・・・・・=0

 

これが t の4次方程式で、異なる4解a、b、c、dを持つはずだから、4次の係

数xyzw≠0であり、4次方程式における解と係数の関係(後述)より、

 

    a+b+c+d=-0/xyzw

            =0 ・・・・・・ (答)  

 

 

なお、一般にtの4次方程式pt⁴+qt³+rt²+st+u=0(p≠0)が異なる4解

a、b、c、dを持つ時、因数定理より、左辺はt-a、t-b、t-c、t-dで割り

切れるはず。よって、次の恒等式が成立する。

 

   pt⁴+qt³+rt²+st+u=p(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)

 

3次の係数を比較すると、 q=-p(a+b+c+d)

              ∴ a+b+c+d=-q/p

 

この関係を先ほど利用した。異なる4解でない場合については別の証明が

必要だが、この例題4の解答には不要である。 

 

 

           ☆          ☆          ☆

さて、上の解答が感想を一言。「勝てば官軍」という言葉もあるが、正直、「超

難問」どころか、「難問」とさえ言えないと私は思う。「奇問」ではないけど、「特

殊な面白問題」、「数学パズル」の類だろう。多少のセンスは必要だが、基本

的にテクニカルな式変形であって、これなら、遥かに上の問題が普通の大学

入試でいくらでもあるはずだ。

 

「『超難問』はすべて、ただ知識を詰め込んだだけでは解くことのできない『本

物の学力』が問われる良問ばかり」と高らかに宣言してるのだから、もう少し

と言うか、もっともっとハイレベルな問題を出題して欲しいと思う。頭脳を持て

余してる全国の「天才」高校生たちも、それを待ち望んでるだろう。

 

とはいえ、普通の問題がメインの数学甲子園に対して、超難問で勝負すると

いう発想には賛成する。野球の甲子園も、超高校級の選手が出場するのだ

から、超高校級の問題で勝負する場があってもいいはずだ。

 

 

          ☆          ☆          ☆

なお、31日の深夜(1日の未明)現在、例題4の解答は、ツイッター検索でも

ウェブ検索でも当サイトしかヒットしない。最速レスということで、Z会から何か

プレゼントされるだろう。1年間無料添削とか(笑)

 

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

P.S. その後、例題1も試してみたら、こちらは1時間かかってしまった。た

      だ、ずっと試行錯誤で手と頭が動き続けてたし、超難問とも本物の

      学力が問われる良問とも思わない。例題4と同様、ひらめきとテク

      ニカルな数式変形で解く、パズル系の問題だろう。

 

     例題1  2013次式 f(x) が、f(0)=-4および

           f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4,・・・,f(2013)=2014

           をみたす。このとき、f(2014)の値を求めよ。

                     (答えは2015ではあ・り・ま・せ・ん)

 

P.S.2 11月9日に行われた超難問コロシアム2014決勝。優勝は筑波

      大学附属駒場高校☆ ニコニコ動画の視聴者数は5万人弱。

 

 

cf. 数学甲子園2014準々決勝、全問コメント&問題10の解答・別解

  四角形の外接円の半径の求め方~数学甲子園2014予選問題13の解説

 

                                     (計 2212字)

|

« 「日本消滅」、超巨大噴火の確率計算~対数正規分布とBPT分布 | トップページ | 微熱と寒気の中、25km走&14年10月の全走行距離 »

数学」カテゴリの記事

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




« 「日本消滅」、超巨大噴火の確率計算~対数正規分布とBPT分布 | トップページ | 微熱と寒気の中、25km走&14年10月の全走行距離 »