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「偏差値」の最大値、最小値(+∞、-∞とか♪)

今日はレース前日の土曜。残り字数も時間も無いことだし、コネタでサラッと

書いとこう。最近たまたまネットで、95に近い偏差値データが公開されてる

のを目にして驚いた。個人情報だから曖昧なままにしとくけど、それなりに有

名で伝統的な模試。おそらく偽造ではなく本物だと思う。

 

偏差値とは、「偏差」(かたより)の値。受験者集団の平均から、上や下にど

れほど離れてるかを表す数字だ。単なる点数だと、例えば数学の100点は

国語の70点より遥か上に見えてしまう。でも、超簡単な数学の100点より、

超難解な国語の70点の方が価値があるはず。

 

その辺りを上手く統計的に処理したのが偏差値だ。単位は「点」ではなく、無

し。つまり単なる数値になる。平均点と同じ得点を取った生徒なら偏差値50。

 

 

計算式は、   (偏差値)={10×(得点-平均)/標準偏差}+50

 

ただし、  (標準偏差 : 全員の得点のバラつきの度合い) 

               = √ 〔{(各得点-平均点)²の和}/人数〕

 

ちなみに、偏差値には単位は無いが、標準偏差の単位は元の変数と同じ

く「点」となる。10倍してるのは、平均からの隔たりを強調するため。

 

 

           ☆          ☆          ☆

上式を見ると、偏差値を大きくするには、平均より出来るだけ高い点を取って、

標準偏差が小さければいい。

 

標準偏差の最小値はゼロ(全員が同じ点の時)で、偏差値は計算不能♪ そ

れは極端としても、標準偏差が微小な値なら、偏差値は95どころか、いくら

でも大きくなるし、小さくもなる。分かりやすく言えば、最大値は∞(無限大)、

最小値は-∞。

 

要するに、得点分布がキレイな山型(正規分布)とかけ離れたもので、他の

みんながほぼ同点の時、少数の人だけ良い点を取れば、偏差値は高くなる。

例えば日経HPで芳沢光雄が挙げてる例(100人中、99人が0点で、1人だ

け100点)だと、平均は1点、標準偏差は約10(正確には√99)だから、

 

   (100点の生徒の偏差値)≒{10×(100-1)/10}+50

                    ≒99+50

                    ≒149

 

 

          ☆          ☆          ☆

ただ、99人が0点なら、残り1人は100点を取る必要はない。0点以外な

ら、たとえ1点であっても、偏差値は常に約149になる。残り1人がx点

(x≠0)だったとして、平均x/100、標準偏差(x√99)/100。この場

合の偏差値は定数になって、それが最大値なのだ。

 

全く同様に、99人が100点なら、残り1人は0点でも99点でも偏差値約-49

になる(-99+50)。この負(マイナス)の定数が、この場合の最小値。

 

さらに突っ込むと、実は99人の点数も何でもいいのだ。99人が50点の時、

1人だけ51点なら偏差値は約149。1人だけ49点なら偏差値約-49。

 

一般に、n人中、n-1人が同じ点で、1人だけ違う点の時、偏差値は定数で、

最大値10√(n-1)+50、または最小値-10√(n-1)+50。

n→∞の時、それぞれ+∞、-∞へと発散する。

 

 

          ☆          ☆          ☆     

最後に、実際の大規模テストだと、2014年度センター試験・数学 I A、ⅡB

の場合、平均は約58点、標準偏差は約22。

 

だから、(100点の生徒の偏差値)≒{10×(100-58)/22}+50

                      ≒69

 

     (0点の生徒の偏差値)≒{10×(0-58)/22}+50

                    ≒24

 

これらが最大値と最小値で、どちらも理論値ではなく、実在する値だ。『偏差

値29からの東大合格法』という本も出てるから、24でも大丈夫。志望校を上

手く選んだ後は、「人事を尽くして天命を待つ」のみ。

 

ではまた明日 ☆彡

 

 

P.S. 2015年11月20日、日テレ『頭脳王』(27日放送)のCMで(?)、

     偏差値99という話が出たらしい。この記事への検索アクセスが急増

     してたのでツイッター検索をかけると、驚きツイートが並んでた。

 

                                    (計 1444字)

                        (追記 100字 ; 合計 1544字)

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コメント

某社の模試の成績分布で、偏差値99.9や0.0がたくさん並んでいました。
なぜそんなことを覚えているかというと、定期試験で100点を取った時に偏差値79.3だったのを見た友人が「偏差値の最大って79.3なんだ」と言ったので「いやいや、他の人の結果によっては120だって-20だってあるよ」と証拠を見せようとしたら証拠がなかったのです。
振り切らないで偏差値300とか見せてほしいよ〜〜

投稿: | 2014年12月 7日 (日) 14時34分

> 名無しさん
  
はじめまして。コメントどうもです。
当サイトは基本的に、名前の記入を求めてますが、
これは面白い書き込みですね。
  
99.9や0.0という値、見たことありませんが、
たまたまそんな値になる確率は非常に低そうだから、
本当は100以上かマイナスだったんでしょう。
  
ちなみに偏差値300なら、例えば625人が同点で、
1人だけそれより上の点ということになります

投稿: テンメイ | 2014年12月 9日 (火) 04時08分

マラソンの前日なのに、こう言う記事が書ける、当に驚きです。私などは、「偏差値は100を越すことがあります」とさらっと言って終わりですが、このように分かり易い説明を書けること凄いです。

投稿: gauss | 2014年12月 9日 (火) 18時28分

> gauss さん
  
こんばんは。毎度どうもです。
もっと「分かり易く」しようと思ったら、一般論より、
グラフやイラストを入れた方がいいんでしょうね。
  
実は最初、偏差値3ケタの実例とセンター試験の
例でおしまいの予定だったんですよ。
ところが、検索したら日経HPに専門家の解説が
載ってたから、そこに書かれてない事まで
少し突っ込んで調べたわけです。
  
おかけでマラソンは超寝不足でしたが、
意外と上手く走れました。
gaussさんも久々にマラソンとか如何?♪

投稿: テンメイ | 2014年12月10日 (水) 02時31分

マラソン、、骨折してから,弱気に,と言うか
骨折を言い訳にして、走っていません。罪滅ぼしとして,昨年は東京マラソンのチームスマイルに参加、今年も東京マラソンチームスマイルに応募しました。

投稿: gauss | 2014年12月14日 (日) 01時12分

> gauss さん
   
こんばんは。
骨折事件、「懐かしい」と言うと変かも知れませんが、
もう3年弱ですか。2度目の退院からでも丸2年。  
精力的なご活動の様子から見て、走ろうと思えば
ジョギングくらいは出来るんでしょうね。
   
まあ、「罪滅ぼし」と言うなら、むしろランナーである
僕が、たまにはボランティアのスタッフをすべき所。
何度か考えてますが、スタッフはいつでも出来るので、
走れる今の内は走っとこうと思います。
「迷った時はしんどい方を」というポリシーもあるし。
  
文末が「応募しました」ってことは、
採用されたって意味でしょうね。
またスマイルで頑張ってください。
   
僕は当日、罪滅ぼしとして、ハーフ以上の
距離を走る予定です♪

投稿: テンメイ | 2014年12月15日 (月) 02時06分

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