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『デート』第9話、「どんな数字も各位の2乗を足すと1か89になる」ことの証明

  「どんな数字であっても、各位(くらい)の2乗を足すと

   必ず1か89になるんです。凄いでしょ!」

 

フジの連続ドラマ(月9)、『デート』第9話。依子(杏)の言葉の意味がなかな

か分からなかったけど、数学のコネタとしてそれなりに知られてるらしい。だ

から、鷲尾(中島裕翔)の誕生日を8月9日に設定したわけか。

 

89はフィボナッチ数列の11番目の項でもあるし。0,1,1,2,3,5,8,

13,21,34,55,89・・・。直前の2つの数の和が、次の数。最初の0は

第0項と考えたんだろう。

 

フィボナッチより、2乗和の話。例えば1なら、2乗=自乗して1。終了。89な

ら、8²+9²で145。1²+4²+5²=42。4²+2²=20。2²+0²=4。4²=16。

1²+6²=37。3²+7²=58。5²+8²=89。終了。こんな感じで操作を続けて

いけば、いずれ必ず1か89になるのだ。もちろん、0以外の整数や有限小数

の場合。

 

過去の経験上、この種の理数系ネタをきっちり扱うサイトというのは意外なほ

ど少ないので、ウチで証明しとこう。いや、単に自分でやっちゃったから、記

事にしとかないと損した気分になるわけ (^^ゞ 恐るべし、ブログ依存症。。ま、

『デート』はずっと記事を書いてなかったし、良しとしよう♪

 

 

         ☆          ☆          ☆

は明らかな例外無限小数(無理数含む)は計算が確定しないので不適

また、正負の符合は関係ないので、正の数だけ考えればよい。例えば-73

なら、二乗和の計算においては、+73と同じことだ。さらに、有限小数の場

合は、10を何回か掛けた自然数で考えれば同じことになる。例えば3.84

なら、10² を掛けて384で考えればよい。

 

よって以下、「無限個の自然数の内、有限の僅かな個数の自然数だけ調べ

ればよい」、という話の流れを作って行く。

 

まず、命題「4ケタ以上の自然数は、1回操作すると元の数より小さくなる

を証明するために、「4以上の自然数nについて、(10のn-1乗)>81n

という不等式を、数学的帰納法で証明する。

 

  (1) n=4の時、(10のn-1乗)=1000>324=81n

           ∴ (10のn-1乗)>81n

 

  (2) n=k(≧4)で与式が正しいと仮定すると、

             (10のk-1乗) >81k

     両辺を10倍して、 (10のk乗)>810k。

     ∴ (10のk乗)>810k=81k+729k>81k+81=81(k+1)

     ∴ (10のk乗)>81(k+1)

     よって、n=k+1の時にも与式は正しい。

 

  以上、(1)(2)より、4以上の自然数nについて、(10のn-1乗)>81n

 

 

次に、上の不等式を利用して、命題「4ケタ以上の自然数は、1回操作すると

元の数より小さくなる」を証明する。各位の2乗は9²以下、つまり81以下であ

ることを用いる。

 

   n≧4の時、 

    (nケタの自然数)≧(10のn-1乗)>81n≧(1回操作後の数)

  ∴ (nケタの自然数)>(1回操作後の数)

 

よって、どんな自然数であっても、適当な有限回の操作によって、3ケタ以下 

の自然数へと変換できる

 

さらに、3ケタ以下の自然数を1回操作して最も大きくなるのは、元の数が

999の場合。これを1回操作すると、9²+9²+9²=243になるので、今後

243以下の自然数だけを考えればよい。

 

243以下で、もう1回操作して最も大きくなるのは、元の数が199の場合

(243と239と199の比較の結果)。これを1回操作すると、

1²+9²+9²=163になるので、今後は163以下の自然数だけ考える。

 

100以上、163以下の自然数で、1回操作して最も大きくなるのは159。

これを1回操作すると、107。さらに操作すると50。つまり100未満になる。

他にも、100→1。101→2。102→5。103→10。104→17。105→26。

106→37。

 

いずれにせよ、100以上、163以下の自然数は、少なくとも2回の操作で

100未満になるので、今後は99以下の自然数だけ考えればよい。これを

2ケタ表示で、01~99と表す。       

 

150318d2  ここで、たとえば元

  の数が24なら42

  と同じ変化になり、

  元の数が68なら

  86と同じ変化にな

  るので、十の位が 

  一の位以上のもの 

  だけ調べればよい

(図を参照)。

 

 

それでは、最後に直接、1か89になることを調べてみる。ただし、ある数の

操作で1か89になることが確認できた時、途中に出て来た数のチェックも済

んだことになることを利用。証明済の数には、(→1)、(→89)と書いて行く。

 

10→1。   11→2→4→16→37→58→89。   20→4(→89)。

21→5→25→29→85→89。   22→8→64→52→29(→89)。 

30→9→81→65→61→37(→89)。   31→10(→1)。

32→13→10(→1)。   33→18→65(→89)。   40→16(→89)。

41→17→50→25(→89)。   42→20(→89)。   43→25(→89)。

44→32(→1)。   50(→89)。   51→26→40(→89)。   

52(→89)。   53→34→25(→89)。   54→41(→89)。   

55→50(→89)。

 

60→36→45→41(→89)。   61→37(→89)。   62→40(→89)。

63→45(→89)。   64(→89)。   65(→89)。   

66→72→53(→89)。   70→49→97→130→10(→1)。

71→50(→89)。   72(→89)。   73→58(→89)。   

74→65(→89)。   75→74(→89)。  76→85(→89)。 

77→98→145→42(→89)。   80→64(→89)。   81(→89)。

 

82→68→100→1。   83→73(→89)。   84→80(→89)。

85(→89)。   86→100(→1)。   87→113→11(→89)。

88→128→69→117→51(→89)。   90→81(→89)。   

91→82(→1)。   92→85(→89)。   93→90(→89)。   

94→97(→1)。   95→106→37(→89)。   96→117(→89)。

97(→1)。   98(→89)。   99→162→41(→89)。

 

 

以上より、すべての自然数は、各位の数の2乗を足す操作を有限回続けて

行うことによって、いずれ1か89になる。有限小数についても同じ。負の整

数、負の有限小数についても同じである。

 

                               Q.E.D. (証明終了)

 

 

 

cf. リケジョ(理系女子)とニート(高等遊民)の『デート』、笑えたけど・・ (1話)

   横浜・八景島シーパラダイスの『デート』、懐かしいけど・・ (2話)

   緊縛『デート』、ワクワクしたけど・・

           &『孤独は優れた精神の運命』(ドイツ語原文) (3話)

   「禁断の リンゴの木には 桜咲く」~『創世記』&『デート』最終回

 

                                     (計 2764字)

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コメント

今回もきっちりですね。このドラマは見ていませんが、”必ず1か89になる” は正しくは、1または
89-145-42-20-4-16-37-58-89のループの何処かに突入しこのループに巻き込まれる。ですね。

投稿: gauss | 2015年3月19日 (木) 01時54分

> gauss さん
  
こんにちは。
春休みで、おくつろぎの頃でしょう。
   
このドラマ、僕もそれほど真面目に見てませんが、
ユニークだし、たまに理系ネタが面白かったりします。
超リケジョの恋愛ものですからね。
   
「正しくは」と言うより、「中立的で大局的な見方をするなら」、
1に収束するかループに巻き込まれるということでしょう。
  
42になるから4月2日とか、16になるから1月6日とか、
色んな言い方が可能ですが、フィボナッチ数は89のみ。
    
たぶん、もっとエレガントな証明があると思いますが、
この程度でもかなりのアクセスを頂いてます。
  
まあ、きっちりした証明より、台詞の意味を
知りたい人が大部分でしょうけどね♪shine

投稿: テンメイ | 2015年3月20日 (金) 12時59分

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このドラマは技巧をこらしている。 このレビューではあえて・・・時系列のシャッフルという構成を解体しているが・・・時にはそれが「面白さ」の大半を破壊することになっていると考える。 しかし、複雑な構成による芸術は・・・たとえば脳機能の低下した人には理解が困難なものである。 なんだかわからないもの・・・に... [続きを読む]

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