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数学甲子園2015予選、全20問の問題、解き方、感想

(☆16年4月追記: やっと準々決勝の問題が発表されたので記事をアップ。

   数学甲子園2015準々決勝、全問コメント&解き方 )

   

   

        ☆          ☆          ☆

記事ローテーション的にはそろそろ、大学レベルの数学の記事を書くべき所

だけど、ご無沙汰すぎて、ウォーミング・アップが必要だ♪ そこで、連休初日

の今日は、脳トレ感覚で数学甲子園2015の予選問題を全て解いてみた。

明日の9月20日(日曜)が本戦だから、タイミング的にも悪くない。

    

正式名称は、第8回・全国数学選手権大会。予選問題は日本数学検定協会

の公式サイトで、pdfファイルで一般公開されてる。模範解答という名の、単

なる答だけのファイルも公開中だけど、解説は例年通り、まったく無し。

   

私がかかった時間は測ってないけど、迷った時間は僅かだから、本気でや

れば50分~60分で出来たはず・・・と勝手に思っとこう♪ 極端に簡単な問

題が半分ほど入ってるから、何とかなるはず。特に前半でかなり時間を稼

げるのだ。当然、予選は100点満点が要求されるんだろう。悪くても95点か。

  

   

           ☆          ☆          ☆

以下、問題文は、そのままの引用ではなく、あえて省略表現にした。図だけ

は縮小コピペさせて頂いた。著作権的に許容範囲の引用だと考える。

     

問題1. y²-4-x²-4x の因数分解。

   

   項の並び順がちょっといやらしいけど、甲子園の参加者なら秒速で、

   y²-(x+2)² だと分かるはず。2乗-2乗の因数分解公式でおしまい。

   は、(y+x+2)(y-x-2)。速い人なら10秒のはず。

   

問題2. x=1/(4+√5),y=1/(4-√5)で、(y/x)+(x/y)の値。

   対称式の値だから、基本対称式を使って、{(x+y)²-2xy}/xy

   と変形。x+y=8/11、xy=1/11だから、代入して終了。

   は、42/11。分子の計算ミスに注意して、1分くらいか。

    

問題3. 連立不等式 3x+1 < 2x ≦ 5+4x。

      

   マイナスと分数をからめた不等式で、片方だけ等号が付いてる。冷静に

   素早く2つの式を解いて結合。は、-5/2 ≦ x < -1。30秒以内。

      

問題4. 10進法で2桁の整数Nを7進法で表すと、各位の数が逆になっ

       た。Nをすべて求めよ。

      

   条件を逆転して、7進法で2桁の数「ab」を10進法に直すと、10進法

   の「ba」になったと考える。7a+b=10b+a より、2a=3b。

   a,bは1~6だから、(a,b)=(3,2),(6,4)。は、23,46。

   これは2、3分使っても十分。

      

150919a
 問題5. 左図で x を

 求めよ。

   

 円に内接する四角形

 の性質より、

  ∠EDC=∠EBA

  ∴ △EDC∽△EBA   ∴ ED:DC=EB:BA

  ∴ x:3=9:5  ∴ x=3×9÷5=27/5 ・・・・・・ 

   10秒~30秒くらい。

   

   

           ☆          ☆          ☆

問題6. x²-5x+7=0の2つの解をα、βとおくとき、(1/α)+(1/β)。

     

   これも基本対称式を使って、(α+β)/αβと変形。解と係数の関係

   より、は直ちに、5/7。20秒前後。

     

問題7. 90°<θ<180°で、cos θ=-√7/4の時、tan2θ。

       

   解き方が色々あって迷う所だが、ベストの方法にこだわらずにすぐ計

   算した方がいい。まあ、cosとtanだから、sinは使わないのが普通か。

   1+tan²θ=1/cos²θ=16/7   ∴ tan²θ=9/7

   θが鈍角だから、tanθ=-3/√7

   倍角公式に代入、tan2θ=2tanθ/(1-tan²θ)=3√7 ・・・

   計算ミスに注意。2分使ってもいいと思う。

     

問題8. (81のx乗)=9√3 の時、x。

     

   指数法則を使って、(3の4x乗)={3の(5/2)乗}

   ∴ 4x=5/2  ∴ x=5/8・・・

   10秒~30秒くらい。

      

問題9. 円x²+4x+y²-8y=0の半径。

     

   平方完成で標準形に直して、(x+2)²+(y-4)²=20。

   ∴ (半径)=√20=2√5 ・・・・・・ 。15秒くらいか。

       

問題10. 7個のデータ、x1~x7の平均が14、分散2の時、新たなデータ

       x8=18を加えた8個のデータの分散。

     

   7個について、平均14より、Σxi=7×14=98。

   また、平均と分散の関係式より、

   2=(1/7)Σxi² -14²  ∴ Σxi² = 1386

   よって、8個について、Σxi=98+18=116。 

   ∴ (平均)=116/8=29/2

   ∴ (分散)=1/8Σxi²-(29/2)²

          =1/8(1386+18²)-841/4

          =7/2(=3.5) ・・・・・・ 

   これは3分使ってもいいと思う。ここまで、前半は簡単だから、15分以

   下で済ませたい所。後半はじっくり腰を落ちつけて。。

   

   

          ☆          ☆          ☆

150919b  問題11. 左図でDEを求めよ。

     

  DE=xとおく。また、

  ∠EBC=∠ECB=(黒丸の角)

  だから、EB=EC=yとおける。

  △ACE∽△CDEより、

  AE:EC=CE:DE

  ∴ 9:y=y:x   ∴ y²=9x ・・・(1)

  また、△ABE∽△BDEより、AB:BE=BD:DE

  ∴ 10:y=4:x   ∴ y=(5/2)x ・・・(2)

  (2)を(1)に代入して、 (25/4)x²=9x

  x(>0)で両辺を割って、(25/4)x=9   ∴ x=36/25 ・・・ 

       

  私が今回、一番迷った問題で、5分以上かけたかも。もっと簡単に解け

  るだろうと思って、色々考えたのだ。未知数をxだけにするのは簡単とし

  て、他にもっとエレガントな図形的解法があるかも。。

    

   

問題12. AとBが試合をして、先に4勝した方が優勝。各試合でAが勝つ

       確率は1/3。引き分けなし。6戦目でAが優勝する確率。

       

   (5戦目までAが3勝2敗の確率)×(6戦目でAが勝つ確率)

           ={5C3×(1/3)³×(2/3)²}×1/3

           =40/729 ・・・・・・

   二項分布で1分ほどで済ませて、前の問題での動揺を鎮める♪

   

150919c  問題13. 図の正方形で、Eは中点のとき、

         cosθ。

   

  1辺の長さを2としてもよい(一般性は保た

  れる)。直ちに、BD=2√2。BE=√5。 

  余弦定理で、

    cosθ={(2√2)²+(√5)²-1²}/2×(2√2)×√5

        =3√10/10 ・・・・・・

   これも1分ほどで解答。ますます落ち着く♪

   

問題14. サンドウィッチを1個240円で売ると1日に250個売れる。1個

       10円値上げすると、1日の売上個数は5個減る。売上金額を

       最大にする販売価格と、その時の売上。

   1個x円とすると、(1日の個数)=250-(5/10)(x-240)

                       =-(1/2)x+370

   ∴ (1日の売上)=-(1/2)x²+370x

              =-(1/2)(x-370)²+68450

   ∴ (最大にする価格)=370円, (最大の売上)=68450円 ・・・

   1分半くらいか。これで完全復活♪

      

150919d  問題15. 水平面に対して、2つの

  垂直な壁を角θで配置。平面上で、

  一方の壁と平行に球を打ち出す。

  図1は真上から見た様子で、球の

  大きさは考えない。また、図2のよう

  に、入射角=反射角。θ=30°の

  時、球は壁で何回跳ね返るか。

     

  摩擦力の話を書いてないけど、摩

  擦ゼロの滑らかな平面と解釈する。

   球の進路を書き込めば、3回目で壁と垂直にぶつかることが分かる。

   よって、後は元の進路を逆に戻り、最後は壁と平行に進むだけ。

   ∴ (跳ね返り回数)=(前半2回)+(中間1回)+(後半2回)

                =5回 ・・・・・・

   一見、無限回の難問かと緊張するけど、3回ぶつけて解決。2分くらいか。

   

    

            ☆          ☆          ☆

150919e  問題16. 図は1辺の長さ1の正

  四面体で、DとEは中点。PはAE

  を1:2に内分する点。OQの長さ。

    

  Oから下ろした垂線の足をHとする

  と、Hは△ABCの重心で、中線AEを

  1:2に内分する。

   よって、PH=EHだから、△OPHと△OEHは合同な直角三角形。

   ∴ OP=OE=√3/2

   図形の対称性より、D,Q,Eが一直線上にあるのは明らかだから、

   メネラウスの定理より、

    (OD/DA)・(AE/EP)・(PQ/QO)=1

   ∴ (1/1)・(3/2)・(PQ/QO)=1

   ∴ PQ/QO=2/3

   ∴ OQ=(3/5)OP=(3/5)√3/2=3√3/10 ・・・・・・

   

   実際には反射的に、空間ベクトルの1次独立や内積で計算したけど、

   ここでは中学の図形みたいに解いてみた。答を出すだけだから、この

   方が速いと思う。これが2番目に迷う問題で、4分使ってもいい。

    

   

問題17. y=-2x-1と、これに接する2曲線、y=x²とy=x²-4xとで

       囲まれた図形の面積

   

   -2x-1=x²を解いて、最初の接点は、x=-1。

   -2x-1=x²-4xを解いて、もう1つの接点は、x=1。

   また、2曲線の交点では、x²=x²-4xより、x=0。   

   ∴ (面積)=∫(x²+2x+1)dx  (-1≦x≦0)

            +∫(x²-2x+1)dx  (0≦x≦1)

          =〔(x+1)³/3〕  (-1≦x≦0)

            +〔(x-1)³/3〕  (0≦x≦1)

          =2/3 ・・・・・・

   簡単な積分だけど、3分使っても大丈夫。

   

問題18. 数列{An}の初項から第n項までの和Snがn²+2n+1の時、An。

   

   A₁=S₁=4 ・・・・・・答の前半

   n≧2の時、An=Sn-Sn⁻₁

            =n²+2n+1-(n-1)²-2(n-1)-1

            =2n+1 ・・・・・・答の後半

   A₁だけ特別扱いにするのを忘れがちな所。その確認も含めて1分半。

    

問題19. (7の15乗)の桁数と、最高位の数字。ただし、log₁₀2=0.3010、

       log₁₀3=0.4771、log₁₀7=0.8451。

     

   10の2乗で3桁、10の3乗で4桁になるから、「7の15乗」が10の何乗

   かを考える。つまり、底10の常用対数を使えばよい。

   log₁₀(7の15乗)=15 log₁₀7=15×0.8451=12.67・・・

   よって、桁数は13桁。 ・・・・・・

   

   また、最高位の数字は、(10の0.67・・・乗)の1桁目。

   ここで、log₁₀4=2log₁₀2=0.602   ∴ (10の0.602乗)=4

   また、log₁₀5=log₁₀(10/2)=log₁₀10-log₁₀2=0.699

   ∴ (10の0.699乗)=5

   したがって、(最高位の数字)=(10の0.67・・・乗の1桁目)=4 ・・・

   普通の高校生にとってはやや難問だろうけど、参加者なら2分前後か。

    

   

問題20. x³-3x²-21x-a=0の異なる実数解の個数が2個となる定数a。

    

   曲線 y=f(x)=x³-3x²-21x と直線 y=aが、極大点や極小点で接す

   る場合を考えればよい。極大値と極小値が、求めるa。

   f´(x)=3(x²-2x-7)

       =3{x-(1-2√2)}{x-(1+2√2)}

   (極大値)=f(1-2√2)=-23+32√2

   (極小値)=f(1+2√2)=-23-32√2

   ∴ a=-23±32√2 ・・・・・・

   

   極値の計算はそのままやってもいいし、f(x)の式をx²-2x-7で割った

   式を利用してもいい。

   

それでは、本戦出場者の健闘と盛会を祈りつつ、今日はこの辺で♪☆彡

   

   

P.S. 数学検定twitterによると、決勝の課題テーマは「同音異義」。同音

     意義語をキーワードにした問題を作成したとの事。優勝は神戸女学

     院高等学部Primeチーム。神戸は、学年の若いWSIOチームもベ

     ストホープ賞を受賞。どうも、おめでとう☆

    

cf. 数学甲子園2016予選、全20問の問題、解き方、感想

   数学甲子園2014準々決勝、全問コメント&問題10の解答・別解

   数学甲子園2013予選のポイント、問題15の解説&解答

   数学甲子園2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

   数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ☆  (2011)

    

                       (計 4549字)

             (追記 89字 ; 合計 4638字)

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コメント

鮮やかな解答で気持ちいいです。私は今年も会場に行って来ました。会場にいないと多分得られない情報を少し書きます(さらっと)。予選ですが、参加者=1663人で平均点は10.0点(一問一点)です。正答率の高い問題:問1(82.6%)、問3(82.7%)、問6(81.5%)。低い問題:問10(16.3%)、問16(17.7%)です。テンメイさんが一番迷った問11は正答率28.6%でした。
神戸女学院チームの優勝ですが、私の個人的な採点でも優勝でした。

投稿: gauss | 2015年9月21日 (月) 22時37分

> gauss さん
  
こんばんは。ご無沙汰です。
相変わらずフットワークの軽さが素晴らしいですね。

確かに、予選の正答率の情報はネットでも見当たりません。
公式twitterで、正答率の低い問題の解説シーンが
写真掲載されてるだけ。
  
予選通過が36チームだから、
1チーム平均4人として、 個人通過率は約10%。
この通過者たち限定の正答率も知りたいもんですね。
   
10倍の人数の参加者だと、こういった
正答率になるのは自然なのかも。
問題10の出来が極端に悪いのは、やはり
あんまし勉強しない分野だからでしょう。
最近のセンター試験には出てるけど。。
      
僕が迷った問題11の出来が3割近いと知って、
ちょっとショックでした♪
まあ、図形は中学生や高校生の方が遥かに
慣れてるってことか・・と納得しときます。
  
貴重な情報、ありがとうございました

投稿: テンメイ | 2015年9月22日 (火) 18時26分

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