« 一言つぶやき&ランニング日誌のみ | トップページ | 25km走まで回復した翌日、脚の付け根に痛み&福岡国際マラソン »

ブール代数とハンチントンの公理系(英語原論文)

ブールが1815年に生誕して、今年(2015年)で200周年。先日は Google

のホリデーロゴとしても使われていた。1と0を使った簡単で特殊なデジタル

計算である「ブール代数」は、今現在、コンピューター、電子回路、情報関連

の基礎として教えられることが多いようだ。

 

記号の書き方は色々あるが、ここでは、「´」(ダッシュ : 文字の上の横棒の代

わり)、「×」、「+」を使って、まず簡単に基本的な計算法則を示しとこう。ちな

みに、×や+は、普通の算数・数学における意味とは違う(ずれている)ので

念のため。「=」(等号)については、算数・数学と同様としておく。

 

  (1項演算) 1´=0, 0´=1     

  (2項演算) 1+1=1, 1+0=1, 0+1=1, 0+0=0

          1×1=1, 1×0=0, 0×1=0, 0×0=0

 

  (計算例) ((1×1)+1)´=(1+1)´=1´=0

 

 

           ☆          ☆          ☆

こうした議論を最初に提示したのは、19世紀の英国の数学者、ジョージ・ブー

ル(George Boole)だとされているが、本当に彼が最初なのかどうかは、考

察し直す価値のある歴史的問題だと思う。一応ここでは慣例や通説に従い、

「ブール代数」(boolean algebra)と呼んでおく。

 

ブールの重要な論文2本(1847年、1854年)の内、先に公開されたのが

151206a  「The Mathema

  tical Analysis 

  Of Logic」。左は

  グーテンベルク

  公開中の原論文か

  らのコピペだ。

 

  これを読むと、ブー

  ルの主たる関心は

  計算やその応用とい

  うより、論理、あるい

は演繹的推論だと分かる。つまり、真と偽、2つのみを命題の性質と考える

「二値論理」に関する哲学を行ってるわけで、そのための新たな道具、分析

方法が、ブール代数という計算体系なのだ。

 

例えば、「真の命題の否定は、偽の命題」。つまり、「ノット・真は、偽」、「not

真=偽」。これを、「1´=0」などと表記する。

 

また、「真の命題と真の命題を『または』で結合すると、真の命題」。つまり、

「真オア真は、真」、「真∨真=真」。これを、「1+1=1」などと表記する。

さらに、「真の命題と真の命題を『かつ』で結合すると、真の命題」。つまり、

「真アンド真は、真」、「真∧真=真」。これを、「1×1=1」などと表記する。

 

そして、それらを基本法則として、人間の論理的思考をとらえていくわけだ。

 

 

          ☆          ☆          ☆

「ブール代数」という言葉が最初に示唆(suggest)されたのは、ハンチント

ンによると、1913年とされているらしい(英語版ウィキペディア)。

 

しかしそれ以前に、洗練された公理体系を提示したのは彼自身であって、そ

の事はあまり話題にならないし、英語の原論文の内容まで参照した日本語

サイトは、検索しても見当たらない。これは過去、ペアノ、フレーゲ、ベルトラン、

ナッシュなどの時にも見られた状況だ。

 

エドワード・ハンチントン(Edward Huntington)の1904年の論文、「Sets

Of Independent Postulates For The Algeblra Of Logic」(論理の

代数のための、独立した要請の集合)は、JSTORで公開されてる。

 

151206b

 

これを読むと、ブール自身とは多少異なり、ハンチントンの関心はむしろ数学

にあるようだ。彼は、ブール代数のためのいわゆる「公理系」(独立した要請

の集合)として、3種類を提示している。だからこそ、論文タイトルでは複数形

の英単語を用いて「Sets」(諸集合)としてるわけだ。

 

3種類の内、最初に挙げられてるものが最も分かりやすいので、ブール代数

の基本とされたり、「ハンチントンの公理系」などと呼ばれたりしている。以下、

原論文の内容を見てみよう。

 

 

           ☆          ☆          ☆

151206c

 

上のコピペが、10個の要請(基本的命題)の内の、最初の7個。記号の使い

方が特殊だが、現在の簡単な記号と用語を用いて、簡単に解説してみよう。

英文の直訳ではないので、念のため。

 

集合(class)Kに対して、2種類の2項演算+、×を考える。

 

Ⅰa、Ⅰb  Kの任意の要素a、bに対して、a+bとa×bもKの要素。

        (注. 以下すべてK内で考え、「任意の」は省略。)

Ⅱa  0という要素が存在して、 a+0=a。

Ⅱb  1という要素が存在して、 a×1=a。

Ⅲa  a+b=b+a

Ⅲb  a×b=b×a

Ⅳa  a+(b×c)=(a+b)×(a+c)

 

 

            ☆          ☆          ☆

続いて、残りの3個の要請について。

 

151206d

 

Ⅳb  a×(b+c)=(a×b)+(a×c)

Ⅴ   1と0が、それぞれただ一つ存在するなら、aに対してa´という要素が

    存在して、 a+a´=1、 a×a´=0

Ⅵ  少なくとも2つの異なる要素が存在する。

 

 

上の全てに関して、+と×、1と0を同時に入れ替えた命題も正しいという、

「双対性」(そうついせい:duality)が成立している。

 

以上をいわゆる「公理系」としてまとめる時は、Ⅱ~Ⅴの4種類を挙げるのが

普通のようだ。

 

   1   単位元(の法則)

   2   +と×の交換法則

   3   分配法則

   4   補元(の法則)

 

ちなみに補元もただ一つだが、それは証明できること、つまり独立ではない事

なので、Vでは強調されてない。単に不定冠詞を付けて書いている。あと、元の

Ⅴ(現在の4)は、「排中律」(~であるか、~でないか、どちらかだ)と「矛盾律」

(~であり、かつ、~でない、ということはない)とも解釈できるものだ。

 

 

            ☆          ☆          ☆

最後に2問だけ、具体的問題を解いてみよう。要請(または公理)を用いた定

理の証明だ。

 

 (1) a×0=0の証明

 

       a×0=a×0+0      (∵ Ⅱa : 単位元)

           =a×0+a×a´   (∵ Ⅴ : 補元)

           =a×(0+a´)    (∵ Ⅳb : 分配法則)

           =a×(a´+0)    (∵ Ⅲa : 交換法則)

           =a×a´        (∵ Ⅱa : 単位元)

           =0           (∵ Ⅴ : 補元)

 

 

 (2) a×(a+b)=aの証明  (第一吸収法則の片方)

 

      a×(a+b)=(a+0)×(a+b)    (∵ Ⅱa : 単位元)

             =a+(0×b)        (∵ Ⅳa : 分配法則)

             =a+(b×0)        (∵ Ⅲb : 交換法則)

             =a+0            (∵ (1) )

             =a               (∵ Ⅱa : 単位元)

 

 

           ☆          ☆          ☆  

その他の吸収法則や、反復法則、二重否定法則、結合法則、ド・モルガンの

法則なども証明できる。そうした普通の計算については、既に様々な所で書

かれていることでもあり、ここでは省略しよう。

 

上の(2)のように、式を簡単化する操作は、工学的な実用性も合わせ持つテ

クニックであって、いずれ別記事を書くかも知れない。その前に、より基本的

な式変形として、連言(かつ)や選言(または)の「完全標準形」を説明するべき

だろう。

 

なお、今週は計17080字となった。それでは、また来週。。☆彡

 

                                    (計 2678字)

|

« 一言つぶやき&ランニング日誌のみ | トップページ | 25km走まで回復した翌日、脚の付け根に痛み&福岡国際マラソン »

数学」カテゴリの記事

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




« 一言つぶやき&ランニング日誌のみ | トップページ | 25km走まで回復した翌日、脚の付け根に痛み&福岡国際マラソン »