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素数の素数乗の和が素数~2016京大(理系)数学第2問、感想と解答

毎度の事ながら、忙しい時ほど遊びたくなる♪ バタバタと追われる中、ちょっと

ネットを飛び回ってたら、たまたま京大の入試問題が面白いとかいう話が目に

入って来た。

 

早速、検索で確認して、シンプルで面白そうな素数問題にチャレンジ。無事、理

屈通りに解けたので、記事にしとこう。私は何も見ずに自力で解いて、答だけ

河合塾のHPで確認。解き方や書き方は大幅に違うけど、答は合ってた。論理

的にも戦略的にも、正しいものの一例だと思う。

 

 

       ☆          ☆          ☆

まずは問題文だけ、自分でワードで打ち直して貼り付けとこう。

 

160303a_2

 

2016年の理系・第2問、配点30点。全体では6問で200点満点だから、

これはウォーミング・アップ用のサービス問題ということか♪ 式も簡単な

対称形で、美しい。

 

まず、「すべて求めよ」という設問を見てすぐ、「数個~10個前後しかない

んだろうな」と予想。文字式で無数の答を表すのかも知れないけど、過去の

経験と直感から、かなり小さい数が数個あるだけだろうと思った。そうでな

いと、問題作成者やチェック係、採点者の先生も面倒くさいはず♪

 

最初はノートもペンも使わず、暗算でいくつか計算してみる。小さい素数から、

つまり簡単な場合から試して、法則やパターンを発見するのがセオリー。

 

 (2の3乗)+(3の2乗)=17   これは素数

 

いきなり1個見つかったけど、その後はなかなか見つからない。

 

 (2の5乗)+(5の2乗)=57  これは3の倍数だからダメ。

 (2の7乗)+(7の2乗)=128+49=177  これも3の倍数でダメ。

 (2の11乗)+(11の2乗)=2048+121=2169  3の倍数でダメ。

 

素数p,qの一方が2だと、他方が5以上なら和が3の倍数になって素数では

なくなるのかな、と予想できる。つまり、2の相手は3しかないのかも。

 

続いて、素数が2つとも奇数の場合、和が偶数になってダメ。例えば、

 

  (3の5乗)+(5の3乗)=243+125=368 

 

以上から、p,qの片方は2として、他方は3しかないのかも・・・と推測。ここ

までは暗算だが、ここからノートとボールペンを使用。数学的帰納法を強引

に使うと、わりとあっさり証明できた。それでは以下、解答例を示そう。

 

 

         ☆          ☆          ☆

(1) p,qが共に奇数の素数(3以上)の場合

   pのq乗は奇数であり、qのp乗も奇数。

   よって、与式の和は偶数となり、2より大きいのも明らか。

   したがって、その和は少なくとも、1、2、和自身という3つの正の約数

   を持つので、素数ではない。

 

(2) p,qが共に2の場合

    (2の2乗)+(2の2乗)=8   これは素数ではない。

 

(3) p,qの一方のみが2の場合

   pが2だと仮定して、一般性を失わない。

   (a) q=3の時

       (与式)=(2の3乗)+(3の2乗)=17

      これは素数なので、答の1つである。

 

   (b) qが3より大きい時

       このqは素数だから、2では割れないし、3でも割れない。

       よって、6で割った余りに注目して、さらに2通りに細分する。

     (ア) q=6n+1 (n=1,2,・・・)の時

         「与式は3より大きい3の倍数であって、素数でない」

         という命題を、数学的帰納法で証明する。

 

         n=1、つまりq=7の時、

         (与式)=(2の7乗)+(7の2乗)=177  命題は正しい。

 

         n=k(≧1)で上の命題が正しいと仮定すると、

         {2の(6k+1)乗}+{(6k+1)の2乗}

         ={2の(6k+1)乗}+36k²+12k+1=3m (mは自然数)

 

         n=k+1の時、

         (与式)={2の(6k+7)乗}+{(6k+7)の2乗}

            =64{2の(6k+1)乗}+36k²+84k+49

            =64・3m-64(36k²+12k+1)+36k²+84k+49

            =3{64m-12・63k²-228k-5}

         これは3の倍数であり、与式の最初の変形を見ると3より大き

         いのは明らか。よって、n=k+1の場合にも命題は正しい。

 

         以上より、すべての自然数nに対して、命題は正しい。

         したがって、q=6n+1の形はあり得ない。

 

     (イ) q=6n-1 (n=1,2,・・・)の時

        (ア)と同様、「与式が3の倍数で、素数でない」という命題を示す。

         n=1、つまりq=5の時、

        (与式)=(2の5乗)+(5の2乗)=57  命題は正しい。

 

         n=k(≧1)で命題が正しいと仮定すると、

        {2の(6k-1)乗}+{(6k-1)の2乗}

         ={2の(6k-1)乗}+36k²-12k+1=3m (mは自然数)

 

        n=k+1の時、

        (与式)={2の(6k+5)乗}+{(6k+5)の2乗}

            =64{2の(6k-1)乗}+36k²+60k+25

            =64・3m-64(36k²-12k+1)+36k²+60k+25

            =3{64m-12・63k²+276k-13}

         これは3の倍数であり、与式の最初の変形を見ると3より大き

         いのは明らか。よって、n=k+1の場合にも命題は正しい。

 

         以上より、すべての自然数nに対して、命題は正しい。

         したがって、q=6n-1の形もあり得ない。

 

以上、(1)(2)(3)より、素数p,qの組合せは2と3しかない。

したがって、与式の和の素数は、17のみである。

                           (Q.E.D. 証明終了)

 

 

        ☆          ☆          ☆  

なお、実戦ではもちろん言葉や式を省略する。例えば(3)(b)(イ)は、減点覚

悟で「(ア)と同様」で済ませるとか。

 

河合塾の手書きの解答例は、剰余系の議論の基本である「mod」や合同式を

使用してるが、減点されないのかどうかは不明。私の高校の授業や教科書で

は、教えられてない。大学入試だと、軌跡と領域でたまに使う包絡線と同様、

ビミョーな技だと思う。ただし、レベルの高い塾や予備校ではフツーに教えるし、

レベルの高い大学なら許容されそうな気はする。

 

 (☆追記: 私が誤解してたと判明。下のコメント欄を参照。新課程の数学Aの

        教科書で、整数の「発展」的内容とされてた。)

 

いずれにせよ、実験、推測、場合分け、帰納法といった、高校数学の基本だけ

で解けるのは確かで、私はそれしか使ってない。時間と文字数は使ってるが♪

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

                   (計 2465字)

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数学」カテゴリの記事

コメント

今回も自力できれいに解いていますね。
時間のない中、凄いです。
modですが、現在では高校で教えているように
思います。ですので河合予備校の手書き解答は
OKだと思います。でも、mが3の倍数でない時
(m+1),(m-1)のどちらかは3の倍数になるは、
気づくまでちょっと時間が必要かとも思いました。

投稿: gauss | 2016年3月 5日 (土) 14時36分

> gauss さん
  
こんばんは。ご無沙汰でしたね。
コメントどうもです。
   
実は最初、3で割った余りで帰納法を使おうとして失敗。
延期しそうになりましたが、少し改良して成功、一安心。
  
modについては、昨日の夕方、数学が専門の知人に
ほぼ同じ指摘を受けました。
まだ教科書も参考書も確認してませんが、お2人から
独立した指摘があったということはその通りなんでしょう。
本文に一言、書き添えました。
   
連続する3つの整数m-1、m、m+1の内、
どれか1つが3の倍数だという話は、
中学・高校の数学で時々見かけます。
ただ、「pは3の倍数でないから、p+1、p-1の
一方は3の倍数」という議論の仕方は珍しいし、
確かに気付きにくいと思いました。。shine

投稿: テンメイ | 2016年3月 7日 (月) 00時53分

今年京大受験しました。
2は答案を清書するのに10分くらいかかりました。

とりあえず2が唯一の偶素数だというのが決定的で、ここからp=2として一般性を失わない。
2^q+q^2が素数になるqを求めるという一変数問題に帰着(3分)
少々実験するとq=3のときしかだめで、おそらくそれ以外のときは3の倍数になりそう(7分)。答えは17だろう。じゃあ法3で2^q+q^2≡0を示すのが目標になる。
qは奇素数としてよいわけで、qが奇数のとき2^q≡2(mod3)だからq^2≡1を言えばいいのだろう(9分)。mod3でq≡1ならq^2≡1でもちろんOKで、q≡2のときもq^2≡4≡1だからつじつまが合った(10分)。
という感じです。


シンプルで京大らしいかわいい問題だと思いました。
大人は簡単だと自慢しますが、かわいいとはいえ、簡単すぎでもないgood questionだと思います。


個人的には課程に合同式が入っていなかろうと、使って減点するような大学は失格だと思います。一流の大学はマニュアル内の思考しかできない優等生を求めるのではなく、道具を貪欲に吸収しかつ自らその善し悪しを取捨選択できる優秀な学生を求めているからです。

投稿: レモン | 2016年3月12日 (土) 22時01分

> レモンさん
  
はじめまして。コメントありがとうございます。
むしろ、おめでとうございます、かな♪
   
modで簡単に解いたってことで、
受験数学として正しい戦略でしょう。
「かわいい」問題って表現が、かわいいですね cherry
高校3年生の女の子かな。そろそろ卒業式かも。
       
「大人は・・」というような表現も、
高校と共にそろそろ卒業だと思いますよ。
レモンさんも半ば、大人なんだから。
「10分」という短い時間も自分で書いてるし♪
6問で150分、1問の単純平均で25分ですからね。
    
ちなみにウチは10年半、毎日続けてるブログですが、
数学系でそうした書き込みは初めてです。
   
課程や採点については、先輩の大人たちの
長い議論の歴史が続いてます。
大勢の人に対する教育や評価をどうすべきか、
レモンさんもこれからゆっくり長い時間をかけて、
自分で考え、他の人と議論してください。
   
大学はいかなる存在かという話も、
延々と議論が続いてます。
つまり、世の中には色んな人がいて、
色んな考えがあるわけです。
  
今回のコメントを5年後とか10年後に読み返すと、
大人とは何なのか、より良く分かるでしょう。。shine

投稿: テンメイ | 2016年3月13日 (日) 20時41分

1個しかないのに「『全て』求めよ」などと記す….
さすが,(旧帝国)大学入試問題だな.
陰湿さここに極まれりという印象.

投稿: | 2017年10月27日 (金) 10時28分

> 名無しさん
   
はじめまして。
1個しかないのに「すべて求めよ」と書くのは確かに
やや不自然ですが、他の書き方よりはマシだと思います。
  
単に「求めよ」だと、いきなり1つ「見つけて」おしまいに
した受験生が、ほぼ解けたと誤解する恐れがあります。
   
「・・が1つしかないことを証明し、その素数を求めよ」
では、回りくどいし面白味もありません。  
「・・がいくつあるかを示し、その素数を求めよ」
でも、回りくどいでしょう。
  
そう考えると、単に「すべて求めよ」と書くのは
シンプルで親切な出題とも言えます。
「すべて」と言われれば、1つしかないことを論証する必要が
あることを、受験生が理解できるからです。
     
なお、当サイトはコメントに名前を要求してますので、
よろしくお願いします。shine

投稿: テンメイ | 2017年10月28日 (土) 01時00分

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