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数列の3項間漸化式、線型代数による解き方と考え方

大学レベルの行列関連の話(線型代数)というのは、高校でお馴染みの逆

行列や一次方程式の解を求めた後、どうもピンと来ない抽象的理論が延々

と展開される。それら全ては意味や意義を持つ内容だが、よほどの数学好

きか、抽象的な思考に慣れた人でないと、しんどい所だろう。

 

そこで今回は、高校数学でも時々登場した、簡単な3項間漸化式を解くこ

とを考える。a(n+2)-3a(n+1)+2a(n)=0。より一般的に表すなら、

a(n+2)+pa(n+1)+qa(n)=0のタイプ(2階斉次線形漸化式)。

 

2項間だと簡単過ぎて、わざわざ大学レベルの数学を使う意味が無いし、4

項間だとちょっと面倒になるから、3項間が初歩的な説明に合ってると思う。

実際、齋藤正彦『線型代数入門』(東京大学出版会)でも、3項間でごく簡単

に説明してた。

 

ここではもっと具体的に、最初の段階から一通りの流れを解説してみよう。

上のテキストだと、第4章のあちこちにある話を念頭においてるが、書き方

は大幅に変えてある。数列の漸化式に絞って、高校とのつながりや実用性

を考慮したものだ。

 

ちなみに当サイトの今までの関連記事は下の5本。特に、1ヶ月前にアップ

した行列の対角化の記事が、今回の話と深い所で関連してる。

 

 行列の基本変形、逆行列の求め方、1次方程式の解法

 行列の基本変形と1次方程式(2)~逆行列が存在しない場合など

 置換・互換による行列式の定義~初心者向け

 置換・互換と14-15パズルの不可能性~3パズル、8パズルからの証明

 行列の固有値、固有ベクトルと対角化~2次、3次の簡単な問題と計算

 

 

         ☆          ☆          ☆

では今回のターゲット、a(n+2)-3a(n+1)+2a(n)=0について。初期条

件、つまり初項a(1)と第2項a(2)の値は、後回しにする。

 

ちなみに先ほどの参考書だと初項をa(0)としてるが、以下では高校的な発

想で、初項はa(1)とする。つまり、n=1,2,3,・・・。

 

高校レベルだと、この漸化式なら、

 a(n+2)-a(n+1)={a(n+1)-a(n)}

と変形して、2項間漸化式をまず求め、そこからa(n)を求める所だろう。1と

いう係数はわざと書き添えてる。

 

あるいは、もう一つの変形を使うことも可能。

 a(n+2)-a(n+1)={a(n+1)-a(n)}

 

さらに、上の2種類の変形から解く途中で、両者を組み合わせてもいい。ど

ちらの変形でも、1と2という係数が重要な役割を果たしてる。大学レベルで

も同様だけど、その意味付けや理論がかなり変わるのだ。

 

ただし大学レベルでも、理屈抜きで答だけなら、簡単に出せる。これで十分

と思う学生や先生もいるだろう。

 

 x²-3x+2=0  ∴ x=1,2

 ∴ a(n)=α・{1の(n-1)乗}+β・{2の(n-1)乗}

      =α+β・{2の(n-1)乗}

 

 

           ☆          ☆          ☆

さて、最初に予備知識として、「基底」について簡単に確認しておこう。

 

平面の2次元ベクトル(x,y)の全体を例に取ると、それは、

  x(1,0)+y(0.1)

と書き直せる。つまり、基本ベクトル2つの定数倍の和(線型結合)で表せる。

これら2つの組合せは、全体の基本かつ根底だから、基底と呼ばれる。英語

だと、basis。

 

基底となる2つは、向きが異なるもの(線形独立、1次独立)であればいい。

例えば、(1,1)と(-1,1)とか。同じベクトル(2,2)を、2種類の基底で書

き比べてみよう。

 

    (2,2)=2(1,0)+2(0,1)

         =2(1,1)+0(-1,1)

 

基底<(1,0)、(0,1)>だと、係数は2、2。基底<(1,1)、(-1,1)>だ

と、係数は2、0。つまり、基底を取り替えると、同じものの表現が変わる。これ

は数列全体でも同様で、線形空間に共通する特徴なのだ。

 

 

          ☆          ☆          ☆

問題の漸化式 a(n+2)-3a(n+1)+2a(n)=0 の場合、移項すると、

 a(n+2)=3a(n+1)-2a(n)

よって、初項と第2項だけで数列全体が次々に決定していく。

 

a(1)=1、a(2)=0の場合、

  1,0,-2,-6,-14,・・・

 

a(1)=0、a(2)=1の場合、

  0,1,3,7,15,・・・

 

これらは共に漸化式の解で、しかも一方が他方の定数倍にはならないから

(最初の2項で明らか)、線形独立であり、解の全体に対する基底となる。そ

れぞれの数列を、b(n)、c(n)としとこう。

 

例えば、a(1)=3、a(2)=4の場合、解の数列は

 3,4,6,10,18,・・・ 

   = 3(1,0,-2,-6,-14,・・・)+4(0,1,3,7,15,・・・)

   = 3 b(n)+4 c(n)

 

つまり、基底それぞれの3倍と4倍を足したものとなるし、3倍と4倍という

係数も初項と第2項そのものだから、すぐに分かる。別の初項と第2項から

始めても、同様に簡単だ。任意の解は、基底の線型結合となる。ということ

は、解の全体2次元

 

逆に、一般に基底の線型結合として{αb(n)+βc(n)}と表された数列

に対して、

 αb(n+2)+βc(n+2)

    =α{3b(n+1)-2b(n)}+β{3c(n+1)-2c(n)}

    =3{αb(n+1)+βc(n+1)}-2{αb(n)+βc(n)}

だから、α、βの値に関わらず、漸化式は成立する。つまり、線型結合は

解である

 

ただし基底<b(n),c(n)>のそれぞれが、一般項を求めにくい数列だから、

このままでは漸化式の解決につながらない。

 

 

         ☆          ☆          ☆

そこで、一般項がすぐ分かる別の数列を基底にすることを目指す。先に結

論をいきなり書いてしまうと、次の2つの線形独立な数列が好都合だ。

 

   1,1,1,1,・・・   一般項 a(n)=1

   1,2,4,8,・・・   一般項 a(n)=2の(n-1)乗

 

結局、漸化式の解の全体は、任意の係数α、βを用いて、

  {α×1+β・(2の(n-1)乗)} ・・・答

 

この内、以前触れた初項3、第2項4のものなら、

  3=α+β   4=α+2β

  ∴ α=2、β=1

  ∴ {2+(2の(n-1)乗)} ・・・答

 

ちなみに、基底となる2つの数列は、それぞれ公比1、2の等比数列という

ことになる。公比2つは、前に高校レベルの解法で出て来た数と同じだ。

 

 

          ☆          ☆          ☆

では最後に、解全体(=解空間)の基底の求め方について。単なる計算方

法としては、a(n)=xの(n-1)乗(x≠0)とおき、漸化式からxを求めればよい。

 

  a(n+2)-3a(n+1)+2a(n)=0より、

  xの(n+1)乗-3(xのn乗)+2{xの(n-1)乗}=0

両辺を、xの(n-1)乗(≠0)で割って、

  x²-3x+2=0  

  ∴ x=1,2

 

これで、2つの簡単な解、つまり基底が求められた。1の(n-1)乗、つまり1と、

2の(n-1)乗。だから結局、漸化式a(n+2)-3a(n+1)+2a(n)=0に対して、

固有方程式とか特性方程式と呼ばれるx²-3x+2=0を解けばよい。

 

 

         ☆          ☆          ☆

しかし、なぜxの(n-1)乗とおけるのか、おけない場合はどうするのか、まだ

説明されてない。さらに、固有方程式が重解を持つ時とか、もっと高次の漸

化式になった場合まで考えると、「ずらし変換」と呼ばれる「線形変換」が役

立つ。

 

数列1,0,-2,-6,-14,・・・ を、

数列0,-2,-6,-14,・・・

へとずらす変換は、「線形性」(線型結合の変換=変換の線型結合)を持ち、

何らかの基底に対して行列で表現できる。

 

その行列をAとした時、その「固有値」「固有ベクトル」から別の基底を上手く

考えて、「基底の取り替え行列」Pを求め、

    P⁻¹ AP=(対角行列)

となるようにする。

 

これによって、ずらし変換を単純に表し、基底と解を求めれば、前にxの

(n-1)乗とおいた理由も納得できる。一見、関係なさそうな、微分方程式との

本質的関連も分かる。

 

それで上手くいかなければ、さらに「ジョルダン標準形」といった高級な話を持

ち出す流れになる。。

 

 

          ☆          ☆          ☆  

いずれにせよ、話の全体は広くて深いものなので、以降は次の機会に回す

としよう。

(☆追記 : 新記事をアップ、リンクを下に付けた。)

 

3項間漸化式の解全体は線形空間であって、その簡単な基底2つ(等比数

列)を固有方程式から求められれば、線型結合で一般解となる。そこに初期

条件を付加すれば、個々の解も求められる。

 

その点を、簡単な例題を通じて説明した。それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf. 数列の3項間漸化式(その2)~ずらし変換、行列の対角化

   数列の3項間漸化式(その3)~対角化と基底の取替え行列

 

                       (計 3374字)

             (追記 81字 ; 合計 3455字)

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