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和算の「盗人隠」算と、村井中漸『算法童子問』、柳亭種彦『柳亭記』ほか

日本の算数・数学である「和算」の問題の一つに、「盗人隠し算」とか呼ば

れるものがあることを、最近教えて頂いた。ところが、出典(和算の原書)

と共に、問題を明記してるサイトは、ネット上になかなか見当たらない。

詳しい解説も発見できてない。

 

そこで、和算もくずし字もほとんど知らない私が、とりあえず原書まで調

べて考えたことをまとめとこう。

 

 

        ☆          ☆          ☆    

まず、「盗人隠し」という奇妙な言葉の意味について。浦和大学の橋本

由美子氏の論文(pdfファイル)、「算数的活動を通して学生に考える

楽しさを感得させる教材の工夫」から、ごく一部を孫引きさせて頂く。

原著は佐藤健一『和算百話』(東洋書店,2007)とのこと。

 

160722a

 

 唐と日本の国境の沖に船を改める番所があります。四方を見張 

 れるように各方7人ずつ並んでいます。ここに盗人が8人やって 

 きて、「われわれは日本におられなくなったので、匿ってほしい」と 

 いう。「四方7人見張りだから、人数が定まっているので無理だ」 

 といっているのをそばで聞いていた番人の一人が7人見張りを 

 増やさずに8人を隠しました。

 

 

       ☆          ☆          ☆

引用自体はこれで終わってるので、まだ問題の形にはなってないし、

佐藤が根拠としてる古典的文献が何なのかも分からない(柳亭種彦『柳

亭記』か)。ただ、引用の下に、図や授業の実際の説明があるから、上

の引用文に似た感じの状況を色々と考えるのだろうと想像する。

 

戸田孝氏のサイトによると、例えば(?)、下の図のような配置とのこと。

 

160722b

 

上図の上側が最初の状況。四辺のそれぞれに、7人が配置されてる

(黒丸7コ)。この時点で、総計16人。それを、上図の下側のように変

えると、四辺のそれぞれは7人のままで、総計24人になる。つまり、

番人16人+盗人8人の全員を配置できるわけだ。

 

現代の算数として考えるなら、橋本氏の図の方が扱いやすい。数字が

人数で、中央は合計。四隅が同じ数ではない場合にも触れてた。

 

160722c

 

 

        ☆          ☆          ☆

そもそも、どうして番所で盗人を隠すのかが疑問だが、まあ、子ども向

けのコネタということか。「唐」というのは、単に外国を指す言葉だとい

う説明が、戸田氏のサイトに書かれてた。コトバンクで小学館『大辞泉』

や三省堂『大辞林』を読んでも、そうした意味があることが示されてる。

 

私は普通に、中国と考えた方が分かりやすいと思うが、単なる枝葉の

問題だし、こだわるつもりもない。

 

一方、和算の原典としては、平林千恵氏の発表の短いまとめ文に、

『算法童士問』(1784)と書かれてた(なぜか現在、サイトがアクセス

しづらい状況・・)。

 

この書名はどうも、4文字目が誤字のようで、正しくは『算法童子問』

しい。村井中漸著、天明4年刊行。国立国会図書館デジタルコレクショ

ンで公開されてた。

 

160722d

 

 

         ☆          ☆          ☆

第三巻の七番が、「ならべものの事」と題する問題で、「盗人隠し」と

いった言葉や内容はないが、本質的に同じ話が紹介されてる。これが

原型で、少し後の柳亭種彦『柳亭記』(江戸後期、19世紀前半くらい)

では盗人隠として面白くアレンジされたのかも知れない。

 

160722e

 

  たとへば碁石十六を図のごとくなら

  ぶる時 縦横によみて七づつあり 是へ

  次第に一つ増に加へ 八つまで加へて

  縦横七つになるやうにならべやう 左のごとし

   (cf. 古典数学書院による第三巻、1936)

 

第一局が例の総数16の場合で、第二局は一増やして、総数十七。

第三局は二増やして総数十八。以下、次のように例示されてた。

 

160722f

 

160722g

 

 

        ☆          ☆          ☆

ちなみに、この書物にも解説はないので、私が軽く説明しとこう。

 

8つのマス目の数字を文字で表せば、要するに自然数の不定方程式

ということだ。それぞれは1~6の自然数で、各辺の和が7。4つの等式

連立ということになる。1~6の自然数という条件が非常に強いので、完

全に解くことができるが、解の種類が多過ぎて、全部書く気になれない。

 

そこで、大まかな解き方だけ示そう。

 

160722h

 

上図のように、四隅の数をa,b,c,dとした時、これらの組合せが決まれ

ば、全体も決定して、総計も分かる。

 

a=1~6で場合分けして、さらにb≦cという条件を付ければ、機械的に

解を書き並べることが可能。もちろん、b>cの場合は、b<cの場合を

考えて、対角線a-dに関して折り返せばよい。

 

 (a,b,c,d)=(1,1,1,1),(1,1,1,2),・・・

 

 

         ☆          ☆          ☆     

一方、 (各辺の中央の数)=7-両端

 

∴ (総計)=上辺+下辺+(中段の左)+(中段の右)

       =7+7+(7-a-c)+(7-b-d)

       =28-(a+b)-(c+d)

 

ここで、a+b=2~6、c+d=2~6だから、

  (総計の最小値)=28-6-6=16

  (総計の最大値)=28-2-2=24

 

こうして、合計16から24の間で変化することが示される。したがって、

(隠せる盗人の最大数)=24-16= (人)

 

もちろん、元の番人の配置人数によって、8人から0人まで変化する。

最初の引用文の場合、8人を隠せたとされてるから、元の番人は16

人と決定。配置は、四隅が3人ずつ。その間に1人ずつ。すなわち、

第一局の図と同様だ。

 

 

       ☆          ☆          ☆  

なお、算数的には、0人の箇所を考えてもいいはずだが、すべての

箇所を1人以上にする方が安全ということだろう。もし、0人の箇所

があれば、弱点として狙われてしまうはず。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

P.S. 『柳亭記』の写本も国会図書館で公開されてた

     該当箇所の後半、図解の部分を引用しとこう。

     くずし字はまだ正確に解読できてないが、1枚

     目の右端に「盗人隠」という漢字がある。

 

160722i

 

160722j_2

 

 

P.S.2 直ちに、『和算百話』を自分で確認。原典とされて

      いる和書には、『算法』、『柳亭』もあったが、より

      早い時期のものとしては、明暦3年(1657年)の

      藤岡茂元『算元記』が挙げられていた。「四方きん

      ぢう」として書かれてるらしいが、国会図書館や

      東北大学で調べても、まだ発見できてない。

          (☆追記: 東北大で発見。下のP.S.3参照。)

 

      一方、1612年にBachet『Problemes plaisans』

      にた話が書かれてたという話もあった。初版と1624年

      の第2版をGoogle booksで流し見してみたが、無い

      ような気がする。

 

      ただし、第4版の復刻版をInternet Archive

      見ると、私が書いた解説のような話が載っていた。

      とはいえ、『和算百話』の説明とは少し違っている

      ので、版によってかなり違うのかも知れない。。

 

160723a 

 

 

P.S.3  2日後、ようやく東北大学デジタルコレクション

       にて、『算元記』中巻の最後にある「四方きんぢう」

       (意味不明)を発見した。四辺のそれぞれが、足し

       て15になる場合をごく簡単に考えてる。

 

160724a

 

160724b_2

 

                     (計 2707字) 

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コメント

佐藤健一先生に直接教わっている私よりずっと
丁寧で解りやすい説明です、お見事。
「盗人隠」、佐藤先生は送り仮名の”し”は省略しています。それと、0人はありです。

投稿: gauss | 2016年7月22日 (金) 00時56分

> gauss さん
   
おはようございます。
再びコメントどうもです。
   
昨夜と今朝、かなり調べ回って、
記事の末尾に追記しました。
   
400年前のフランス語文献は、
ネットで探し出すだけでも大変だったし、
中身を調べるのはもっと大変です。
   
『和算百話』にも証明は無いんですね。
まあ、厳密な話より、楽しく遊ぶところなんでしょう。
   
0人はありとのことですが、僕はいまだに
0と書いてる図を和算の原書で見てませんし、
フランス語の本も1以上になってました。
ご存知であれば、原書名を教えて頂ければ幸いです。
    
最後に、「盗人隠し」と「盗人隠」。
これは、ネット上だと「盗人隠し」と書いてる
サイトが多いし、その方が分かりやすいので、
僕も最初はそう書いてたわけです。
  
ただ、日本国語大辞典に「盗人隠」という項目があった
ので、それに合わせて記事タイトルを変更しました。。shine

投稿: テンメイ | 2016年7月23日 (土) 09時29分

0もOKの件ですが、和算中級の講義の
テキストである佐藤健一先生の著書
「数の謎解き和算塾」に問題が載っている
問41のヒントに”零も使うことも考えて
くださいとあります。佐藤先生はどこから
この問題をもって来たかははっきり書いて
ないですが、「算元記」か「柳亭記」の
可能性が高いです。情けない返事ですい
ません。

投稿: gauss | 2016年7月24日 (日) 01時05分

> gauss さん
   
おはようございます。度々どうもです。
   
さっき、ようやく『算元記』の「四方きんぢう」を
発見して、追記しときました。
  
ただ、『算元記』にも『柳亭記』にも、
直接的には0の話は書いてないような気がします。
Bachetも0無しでやってました。
   
0もアリというのは、「解釈」だろうと想像してます。
独自の解釈か、学界共通の解釈かはさておき。
  
うろ覚えですが、『和算百話』では、『算元記』に
触れた箇所で、0アリの場合も書いてた気がします。
各辺の和が15で、確か合計60まで書いてたと
思うので、各辺は「0,15,0」でしょう。
いずれまた、再確認してみるつもりです。shine

投稿: テンメイ | 2016年7月24日 (日) 09時15分

0もアリというのは、「解釈」だろうと想像してます。独自の解釈か、学界共通の解釈かはさておき。
→賛同します。私の不用意な発言で余計な時間を取らせてしまいました、申し訳ない。

投稿: gauss | 2016年7月24日 (日) 10時02分

> gauss さん
   
こんばんは。こちらこそ、どうもです。
  
残念ながら、くずし字がほとんど読めないので、
「算元記にも柳亭記にも無い」
とまで断定することはできません。
      
ただ、書かれてるとしても、「角の数をどんどん
減らして行く」というような大まかな話だと想像してます。
    
国立国会図書館まで行くと、どちらの本も
現代語で読めそうな感じですが、
なかなかそこまでの元気は出ませんね。
   
ただ、このレベルの古典資料まで来ると、Googleの
検索にも、相当な技術と努力が必要になるようです。
検索回数が少な過ぎるからなのか、
かなりハッキリ内容を指定してもヒットしません。
   
その意味で、マニアック・ブログの運営者としては、
いい勉強になったと思ってます♪shine

投稿: テンメイ | 2016年7月24日 (日) 23時02分

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