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等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング~物理の問題と解き方1

荷物を片付けてたら、たまたまダンボール箱から高校物理の問題集が出

て来た。小型で安くて問題ぎっしり、数研出版『物理重要問題集』。物理よ

り、数学のシリーズの方が遥かに有名だと思う。私の高校では、数学の授

業で時々使ってた。

 

最近は、時代のニーズに応えて、しっかりした解答が付いてるらしいが、

10年くらい前までは、ほとんど最終的な答(数値)しか載ってない薄い

本だった。当然、普通のレベルの高校生、浪人生が自宅学習するのには

向いてない。

 

学校や塾などか、自分でスラスラ解ける人にとっての、文字通り、手軽な

問題集。片手で持ってもスマホより軽いかも。それでいて、内容はズッシ

リ重いのだ。

 

数学の問題を解く記事はかなり書いてるのに、物理の問題を解く記事は

少ないから、久々に1本書いてみよう。放射線、核分裂シリーズ以来か。

読者がどの程度いるのか読みにくいが、個人的に面白くて勉強(復習)

になるので、シリーズ化したいと思ってる。高校だけでなく、いずれは大

学レベルの物理も含めて。。

 

 

        ☆          ☆          ☆

では、記念すべき最初の問題は、問題集の第1章、第1問にしよう。

年は書いてないが、大阪電通大の入学試験が出典。問題Aで「*」

(アスタリスク)付きだから、「重要中の重要な問題」ということになる。

項目名は編集部が付けたものだろうが、私なら「等加速度直線運動

と・・・」と付ける。物理は問題文が長いのが面倒。。

 

 *A.1 (等加速度運動と等速度運動)

 高さ105mの高層ビルの屋上までエレベーターで昇った。

 エレベーターは、最初の5秒間は一定の加速度aで、次の

 12秒間は一定の速さで上昇して高さ87mまで達し、あと

 は一定の加速度bで減速しながら上昇して屋上に着いた。

 

 (1) 最初の5秒までは、エレベーターの高さyは出発

    からの時間tを用いるとどんな式で表されるか。

 (2) 加速度aはいくらか。

 (3) 一定の速さで上昇した距離はいくらか。

 (4) 加速度bはいくらか。

 (5) エレベーターは地上から屋上まで昇るのに

    全部でどれだけの時間を要したか。

 

 

      ☆       ☆       ☆

 (解答) 以下すべて、鉛直方向、上向き正で考える。

 (1) 初速度0(m/s)、加速度a(m/s²)の等加速度直線運動

    だから、 y=(1/2)at² ・・・・・・答

     

 (2) 5秒後の高さは、(1/2)a×5²=12.5a 。

    その時の速度5aのまま、12秒間は等速直線運動するので、

    この間の上昇距離は、 5a×12=60a 。

    ∴ 12.5a+60a=87   ∴ 72.5a=87

    ∴ a=1.2(m/s²) ・・・・・・答

 

 (3) 60a=60×1.2=72(m) ・・・・・・答

   

 (4) 減速の開始時点での速度は、5a=6。

    終了時点での速度は0。

    加速度はb、変位は105-87=18。

    ∴ 0²-6²=2b×18 

    ∴ b=-1(m/s²) ・・・・・・答

   

 (5) 加速度-1で、6から0へと-6減速したのだから、

    減速した時間は6秒間。

    ∴(全時間)=5+12+6=23(s)・・・・・・答

 

 

 ☆感想

  誘導つきで、数値計算も簡単。基本問題だから、公式に

  当てはめるだけだが、(4)の速度・加速度・変位の関係式は

  覚えてない人も少なくないかも。図やグラフを描いてもいい。

  おそらく、重力加速度gとか使ってしまった受験生もいたはず。

 

  物理の問題で加速度が与えられてる時、軸の向きを書いてない

  ことが多いが、この問題だと当然、上向きを正とすべきだろう。

 

 

        ☆          ☆          ☆

続いて、いわゆる「モンキー・ハンティング」。木の枝にいる猿をめがけ

て、ハンターが銃で撃つ。同時に猿が枝から落下すれば、重力の影響が

銃弾と猿に同様に働いて、見事に命中するという話だ。放物線を描く弾

が、真下に落ちる猿に当たるのは、美しい現象。人間にとっては♪

 

とはいえ、猿を撃っていいのかどうか動物愛護問題が生じるから、以

下ではおもちゃを使用してる。

 

 *A.6 (モンキー・ハンティング) 朝日大

   

160709a

 

 右図(注. ここでは上図)のような、水平な台Sから

 高さh(m)の所の点Aにある小さなおもちゃのサル

 に向かって小球をこの台S上の点Bから撃ち、小球

 を撃ったと同時にサルが自由落下し、空中で小球

 がサルに命中するモンキー・ハンティングの装置が

 ある。いま、この装置で小球を速さv₀(m/s)で水

 平となす角θで撃ったとき、次の問いに答えよ。た

 だし、空気の抵抗は無視できるとし、また、重力の

 加速度はg(m/s²)を用いよ。

 

 (1) 小球がサルに命中するまでで、小球が撃たれてから

    t秒後での、サルと小球のそれぞれの速度の水平成分

    と鉛直成分とはどのようになるか。

 (2) このとき、サルから見た小球の相対速度はどのように

    なるか。その大きさと水平とのなす角とで答えよ。

 (3) 小球がサルに命中するまでの時間はどれだけか。

 (4) 小球がサルに命中するまでにサルが落下した距離は

    どれだけか。

 (5) この装置で小球をサルに命中させるためのv₀の

    条件式を求めよ。

 

 

       ☆       ☆       ☆

 (解答) 以下すべて、水平方向、右向き正、鉛直方向、

      上向き正で考える。ただしgは、正の数と考える。

 

 (1) サルの速度は、

     水平成分0(m/s)、鉛直成分-gt(m/s)・・・答

    小球の速度は、

     水平成分v₀cosθ(m/s)、

     鉛直成分v₀sinθ-gt(m/s)・・・答

 

 (2) 小球の速度からサルの速度を引いた相対速度は、

     水平成分v₀cosθ、鉛直成分v₀sinθ。

    ∴ (大きさ)=√(v₀²cos²θ+v₀²sin²θ)

            =v₀(m/s) ・・・答

    また、(水平とのなす角のtan)=(sinθ)/cosθ

    ∴ (水平とのなす角)=θ ・・・・・・答

 

 (3) 最初のサルと小球の距離は、h/sinθ。

    ∴ (命中するまでの時間)=h/v₀sinθ (s) ・・・答

 (4) (命中するまでにサルが落下した距離)

      =(1/2)g×(h/v₀sinθ)²

      =gh²/2v₀²sin²θ (m)・・・・・・答

 (5) (4)の距離がh以下であればいいので、

     gh²/2v₀²sin²θ≦h

     ∴ v₀≧(1/sinθ)√(gh/2) ・・・答

 

 

         ☆       ☆       ☆

☆感想

  正直、問題文の日本語があまり滑らかでないが(失礼♪)、

  誘導付きの基本問題だし、(3)の相対速度の向きは面白い。

  要するに、サルから見ると、常に最初と同じ角度で弾丸が

  飛んで来ることになる。

 

  加速度gは、おそらく下向き9.8と考えてるのだろうが、g

  にはマイナス符号が付くこともあるので、受験生にとってまぎら

  わしい。「加速度の大きさg」と書く方が正確で親切だ。

 

  設問や誘導は、物理の問題だとよくあるものだが、数学的・論

  理的には、(3)(4)(5)の順に導くのはおかしい。というのも、

  v₀が(5)の条件を満たす時に初めて、(3)に答えられるのだから。

 

  物理はやはり基本的に、論理や正確さより、実用性を重視する

  学問なのだ。

 

 

        ☆       ☆       ☆  

もう1問書くつもりだったが、ここで時間切れとなってしまった。解くだ

けならすぐだが、記事だと100倍くらいの時間がかかる。

 

モンキー・ハンティングとは斜方投射の問題でもあるから、参考までに

下に、関連記事へのリンクを付けとこう。ややハイレベルな内容だ。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

         

 

 

cf.高い地点からの斜方投射の軌跡(弾道)、角度と水平到達距離

    ・・・・・・・・・・・・・・・

  運動の法則、浮力、物体の連結と分離~物理の問題と解き方2

  動滑車、摩擦力(静止・動)、バネの弾性力~物理3

  等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星~物理4

  単振動、ばね振り子、水平ばね2本~物理5

    

                       (計 2933字)

            (追記 113字 ; 合計 3046字)

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コメント

ご無沙汰しています。
「モンキー・ハンティング」かなり前になりますが
早稲田の入試に出題されてましたね。解答はテンメイさんと同じです。各地の科学館にこのような装置があり、猿が手を放したと同時に打てば100発100中で当たることが体験できますね。

投稿: gauss | 2016年7月10日 (日) 00時14分

> gauss さん
   
こんばんは。ちょっと心配してましたよ♪
コメントとそちらの更新を見て、安心しました。
  
かなり前の早稲田の問題というのは、01年ですかね?
検索しても、軽いつぶやきが1つヒットしただけ。
   
僕なら、「命中」までにサルが落下した距離ではなく、
サルの真下に小球が当たる時のv₀を求めて、
v₀がそれ以上の値であるのが条件だとします。
    
一方、「科学館 モンキーハンティング」で
検索すると、すぐ名古屋市科学館がヒット。
モンキーの代わりにボールを使ってるのが
時代だな・・と思いました。
参考文献が数研出版の本だというところも
興味深いですね。。shine

投稿: テンメイ | 2016年7月11日 (月) 01時01分

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