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数列の3項間漸化式(その3)~対角化と基底の取替え行列

この記事は、ここ数ヶ月で書いた以下の3本の続編かつ完結編である。

 

 行列の固有値、固有ベクトルと対角化~2次、3次の簡単な問題と計算

 数列の3項間漸化式、線型代数による解き方と考え方

 数列の3項間漸化式(その2)~ずらし変換、行列の対角化

 

大学レベルの線型代数の応用として、簡単な数列の漸化式(斉次線型漸

化式)の一般解を求める問題がある。上のリンクの2番目と3番目

の記事では、手頃な例として、次の3項間漸化式に注目した。

 

 a(n+2)-3a(n+1)+2a(n)=0  (n=1,2,3,・・・)

 

 

        ☆          ☆         ☆   

この解の数列全体は、線型空間となる。まず自然な基底として、初項

と第2項が1,0の数列{b(n)}と、0,1の数列{c(n)}

の組合せを選んでみる。

 

  {b(n)} : 1,0,-2,-6,-14,・・・・・・

  {c(n)} : 0,1,3,7,15,・・・・・・

 

この基底を使って、各数列を1つ後ろにずらす変換Tを表す2次

正方行列は、下の通り。      

160604a

 

このままでは、基底の数列も行列も分かりにくいので、固有値と固有ベ

クトルを用いて対角化すると、

160604b

 

ここまでは既に説明してある。残る作業は、この対角化が、基底の取替え

だと示すこと。つまり、初項と第2項が1,1の数列{x(n)}と、

1,2の数列 {y(n)}を新たな基底にした時のずらし変換

行列を求めているのだと示すことである。

 

 

          ☆          ☆          ☆

その説明は、当サイトで使っているテキスト、齋藤正彦『線型代数入門

(東京大学出版会)だと、一般論で少しずつ書いてるので、全体は分かり

にくい。ここでは、上の漸化式の解に限定して、具体的に解説してみよう。

 

まず、{x(n)}=1,1,1,・・・という数列自体を、2種類の

基底で表す。

 

  {x(n)}={b(n)}+{c(n)}

       ={x(n)}+{y(n)}

 

ということは、元の基底<{b(n)},{c(n)}>で列ベクトルに表すと、

  t(1,1)   (注. t は転置行列の記号)

一方、新たな基底<{x(n)},{y(n)}>で列ベクトルに表すと、

  t(1,0

 

よって、新たな基底<{x(n)},{y(n)}>で表した列ベクト

ルを、元の基底<{b(n)},{c(n)}>で表した列ベクトル

へと変換するための行列は、次のような式と形で定められる。

四角の中はとりあえず、任意の数が可能。

 

160708a

 

 

       ☆          ☆          ☆

同様に、、{y(n)}=1,2,4,・・・という数列自体を、

2種類の基底で表す。

 

  {x(n)}={b(n)}+{c(n)}

       ={x(n)}+{y(n)}

 

ということは、元の基底<{b(n)},{c(n)}>で列ベクトルに表すと、

  t(1,2)   (注. t は転置行列の記号)

一方、新たな基底<{x(n)},{y(n)}>で列ベクトルに表すと、

  t(0,1

 

よって、新たな基底<{x(n)},{y(n)}>で表した列ベクト

ルを、元の基底<{b(n)},{c(n)}>で表した列ベクトル

へと変換するための行列は、次のような式と形で定められる。

 

 

160708b

  
  

したがって、線形性を考え合わせると、一般に、新たな基底

<{x(n)},{y(n)}>で表した列ベクトルを、元の基底

<{b(n)},{c(n)}>で表した列ベクトルへと変換する

ための行列は、次のものになる。

 

160708c

 

 

        ☆          ☆          ☆

こうして、対角化の式の意味が理解できることになった。

 

160604b_2

 

左辺の行列の積を、新基底<{x(n)},{y(n)}>で表した列

ベクトルに左から掛けてみる。

 

するとまず、旧基底<{b(n)},{c(n)}>で表した列ベクト

ルへと変換して、次にずらし変換を行い、最後に新基底

<{x(n)},{y(n)}>で表した列ベクトルに戻すことになる。

 

ということは結局、全体として、新基底<{x(n)},{y(n)}>

で表した列ベクトルにずらし変換を行う行列が出来る。それが、

右辺の対角行列なのだ。

 

この対角行列を使えば、新基底の一般項x(n)が公比1の

等比数列、y(n)が公比2の等比数列であることも明らか。

行列をかけて、ずらすと、それぞれ1倍、2倍になるからだ。

 

160604c

160604d_2

 

もちろん、対角行列など使わなくても、一般項のx(n)とy(n)

は、漸化式と帰納法で簡単に証明可能だ。

 

 

        ☆          ☆          ☆

最終的に、x(n)とy(n)の線型結合として、最初の漸化式の

一般解が求められる。

 

 x(n)=1, y(n)=2の(n-1)乗

 

漸化式の一般解は、任意定数p,qを用いて、

 {a(n)}={p+q(2の(n-1)乗)}

 

q=2rとおき直して、形を整えれば、

 {a(n)}={p+r(2のn乗)}

 

 

        ☆          ☆          ☆  

なお、上で求めた行列は、例のテキストの言い方を使うと、

 

「基底の取替え

 <{b(n)},{c(n)}> → <{x(n)},{y(n)}> の行列」

 

ということになる。この言い方と矢印は、上の説明の流れと逆向き

のようにも感じられるので、注意が必要だ。

 

要するに、結果的に、基底を取り替えた後の変換行列(ここでは対角

行列)を求めることになるから、そう呼ぶのだと想像するが、個人的に

はむしろ矢印の左右を逆にしたいところだ。

 

いずれにせよ、これで一通り、数列の漸化式を行列で解く話は終了。

次は微分方程式に向かいたい。それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

                       (計 2125字)

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