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運動の法則、浮力、物体の連結と分離~物理の問題と解き方2

いつの間にか1ヶ月半も経ってしまったが、『物理重要問題集』(数研出版)

の解説シリーズ2本目の記事をアップしよう。ちなみに1本目は次の通り。

   

 等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング

                 ~物理の問題と解き方1

   

   

        ☆          ☆          ☆

今回は、高校物理の基本中の基本を扱う章、「2 運動の法則」について。

たとえば次の問題は、「A」で「*」(アスタリスク)付きだから、特別重

要な問題ということだ。問題の項目名は編集部が付けたものだと思う。

    

 *A.13 (水平投射・浮力) 91九州産大 空欄補充

   

積荷を含めて全体の重量M〔kg〕の気球が一定の高さh〔m〕

で東方へ等速u〔m/s〕で流されている場合を考える。この気

球からm〔kg〕の砂袋を静かに落とすと、これはT〔s〕後に落

とした場所から東方へX〔m〕離れた地表面に到達した。落下す

る砂袋に対する浮力と空気の抵抗を無視し、重力加速度の

大きさをg〔m/s²〕とすれば、Tはg、hを用いて (1) で表

され、またXはT、uにより (2) という式で表される。

 g=9.8m/s²、h=1960m、u=5m/s

のときには T= (3) s、 X= (4) mである。

   

 また気球に対する浮力F〔N〕の大きさはM、gにより (5)

で表され、M=420kg、m=20kgとすれば質量m〔kg〕

の砂袋を落とした直後の気球の加速度の大きさは

 (6) m/s²となる。

 答えの数値は有効数字2桁で示せ。

   

   

         ☆          ☆          ☆

(解答) 

 (1) 鉛直方向には、速度0、加速度gの等加速度運動だから、

     (1/2)gT²=h   ∴ T=√(2h/g) 

   

 (2) 水平方向には、速度u(m/s)の等速直線運動だから

     X=Tu

   

 (3) T=√(2×1960/9.8)=√400=20

     =2.0×10

    

 (4) X=(2.0×10)×5=100=1.0×10²

      

 (5) 気球の浮力と重力が釣り合ってるのだから、

     F=Mg

      

 (6) (気球の浮力)=F=Mg=420×9.8

            =4116 (N)

    砂袋を落とした後の気球の質量は、

      420-20=400(kg)

    よって、気球の鉛直方向・上向きの運動方程式より、

     (加速度)=(力)/(質量)

          =(4116-400×9.8)/400

          =4.9×10⁻¹

    

   

(感想) 浮力の問題としては、体積を使ってない簡単なタイプ。

     気球の質量は、まず砂袋込みで与えられてるが、

     後で砂袋なしで計算することになる。有効数字にも注意。

     ただ全体的には、数値も簡単で、のどかなイメージ。

     基礎的な良問だろう。図があればもっと良かった。

   

     (6)は、砂袋に加わってた重力が新たに気球の上向き

     の力になると考えてもいい。

   

   

        ☆          ☆          ☆

 A.14 (質量のある棒に生じる加速度) 武蔵工大

   

160825a

    

長さl〔m〕、質量m〔kg〕の一様な棒の一端Aに質量M〔kg〕

の物体Pをつけて、図のようになめらかで水平な台上におき、

他端BをF₁〔N〕の力で水平に引っ張るとき、

(1) 棒の加速度a₁はいくらか。

(2) 棒の中央における張力T₁はいくらか。 

      

次に、この棒のA端の物体Pをはずし、棒を鉛直につるし、

上端をF₂〔N〕の力で引き上げるとき、

(3) 棒の加速度a₂はいくらか。

(4) 棒の下端から距離x〔m〕(l>x)の位置における

   張力T₂はいくらか。ただし、重力の加速度を

   g〔m/s²〕とする。

   

    

         ☆          ☆          ☆

(解答) 

 (1) 全体を質量M+mの物体と考えれば、運動方程式より、

     a₁=F₁/(M+m) (m/s²)

        

 (2) 棒の中央の張力が、その左側の部分全体を加速度aで

     引っ張ることになるので、

    T₁=(M+m/2)a₁

     =(M+m/2){F₁/(M+m)}

     =(2M+m)F₁/2(M+m) (N)

        

 (3) 鉛直方向・上向き正の運動方程式より、

     a₂=(F₂-mg)/m

      =F₂/m-g (m/s²)

    

 (4) 張力T₂と重力の合力が、棒の下側部分を

    加速度a₂で引っ張ることになるので、

    T₂-(x/l)mg=(x/l)ma₂

    ∴ T₂=(x/l)m(g+a₂)

        =xF₂/l (N)

       

       

(感想) (4)で差がつく所だろう。xをlに近づけると、もちろん

    T₂はF₂に近づく。上端での力に近付くから当然。

    ちょっと変わった問題で、「どうしてそんな途中の場所

    の力を考えるのか?」と言いたくなるところでもある。

       

    要するに、一定の加速度で運動させてるだけの話で、

    少なくともこの問いの内容だけだと、「力」という概念は

    役立ってない。公式で形式的に計算しただけだろう。。

       

    そう思った鋭い高校生・受験生は、「受験の後で」深く考

    えてみると面白い。運動方程式とは単なる力の定義式、

    約束事に過ぎないとかいう考え方につながる。規約主義、

    約束主義とか呼ばれるものだ。棒の伸びとかを考慮に入れ

    ても、事態は本質的に変わらない。

         

    作用・反作用の法則や弾性の法則を、力を使わずに質量

    と加速度と長さだけで書き直しておけばいいだけのこと。

    ただし、そうした考えは、普通の物理の先生や学生には

    相手にしてもらえないのだ。「どうしてそんな事を考える

    の?」、「ニュートンの基本法則だよ?」といった感じで。。

    

       

        ☆          ☆          ☆ 

 *A.17 (連結物体の運動) 東海大

     

160825b

    

図のように物体A、B、Cを軽くて丈夫な糸でつなぐ。AとB

を水平でなめらかな机の上におき、Cを机の端にあるなめらか

で軽い滑車にかけた糸の端につり下げて、静かに放した。ただ

し、A、B、C各々の質量は、3.0kg、2.0kg、5.0kg

である。初めBから滑車までの距離は130cmであり、床

からCの下端までの距離は80cmであった。

      

 重力加速度の大きさを9.8m/s²として、次の問いに答えよ。

(1) 物体A、B、Cが動き始めたときの、加速度を求めよ。

(2) 物体A、B、Cが動き始めたときの、BとCの間の

   糸の張力を求めよ。

(3) 物体A、B、Cが動き始めたときの、AとBの間の

   糸の張力を求めよ。

(4) Cが床に着いた直後のBの速度をエネルギー

   保存則を用いて求めよ。

(5) Bが初めの位置から120cm移動するのに

   要する時間を求めよ。

   

    

          ☆          ☆          ☆

(解答)

 (1) Cの重力で全体を引っ張るのだから、運動方程式より、

     (加速度)=5.0×9.8/(3.0+2.0+5.0)

           =4.9 (m/s²)

    

(2) BとCの間の張力が、AとBを引っ張って加速度

    4.9m/s²をもたらすと考えて、

     (張力)=(3.0+2.0)×4.9

         =24.5 (N)

      

 (3) AとBの間の張力が、Aを引っ張って加速度

    4.9m/s²をもたらすと考えて、

     (張力) =3.0×4.9

          =14.7 (N)

        

 (4) エネルギー保存則を使って速度を求めるということは、

    Cが床と衝突して運動エネルギーを失う直前で考えると

    いうことのはず。

    Cが最初に持ってた位置エネルギーが、A、B、Cの

    運動エネルギーになるのだから、速度をvとすると、

    5.0×9.8×0.8=(1/2)×10.0×v²

    ∴ v=√7.84=2.8 (m/s)

       

 (5) まず80cm移動するまでは、初速度0、加速度

    4.9m/s²の等加速度直線運動。

    ∴ (時間)=2.8/4.9=4/7

    その後、40cm移動するまでは、2.8m/sの

    等速直線運動。

    ∴ (時間)=0.4/2.8=1/7

    ∴ (合計時間)=4/7+1/7=5/7

              ≒0.71 (s)

     

       

(感想) 問題集の解答(最後の数値のみ)では、(2)(3)(5)

    は四捨五入して2ケタだけ書いてある。ただ、有効数字

    の話が問題文に無いし、明らかでもないので、正確に

    書いておく方が無難だろう。

       

    実はこの問題、前の問題と似てるのだ。前の問題で、

    物体P、棒の左半分、棒の右半分を分けて、ごく短い

    糸で結んだと思えばいい。

        

    ちなみに(1)を、運動方程式とか力を使わずに解くなら、

    A+BとCの間の作用・反作用の法則より、

    (3.0+2.0)×a=5.0×(9.8-a)

    ∴ a=4.9

    質量と加速度のみで解けるのだ。

        

    あと、(4)の問題文は紛らわしいと思う。私が出題者なら、

    Cが床に「着く直前」のBの速度と書く。この方が親切だし、

    正答率が上がるだろう。

   

それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

   

    

cf. 動滑車、摩擦力(静止・動)、バネの弾性力~物理3

   等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星~物理4

   単振動、ばね振り子、水平ばね2本~物理5

   

    ・・・・・・・・・・・・・・・

   ニュートン物理学の基礎、「運動の法則」再考~その1

   「運動の法則」再考2~質量と重さ

   「運動の法則」再考3~運動方程式を使わずに問題を解く方法

    

                      (計 3301字)

           (追記 85字 ; 合計 3386字)

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