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動滑車、摩擦力(静止・動)、バネの弾性力~物理の問題と解き方3

数研出版『物理重要問題集』の中から、適度な問題を選んで紹介&解説

するシリーズ、第3弾。これまでの2本は次の通り。

  

 等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング~物理1

 運動の法則、浮力、物体の連結と分離~物理2

  

当サイトには、物理系のドラマ・映画記事なら多数あるが、普通の物理

記事は少ない。ただ、数学記事なら多数あるし、既に11年間、毎日

更新し続けてるので、安心して頂いていいと思う。問題集には答の数

値が書かれてるだけなので、以下の解答はすべて私が作ったものだ。

      

最近の数研出版の問題集には、きちんとした解答が付いてるらしいが、

まだ確認してない。

   

   

      ☆        ☆        ☆

では今回の1問目。前回から少しバックして、p.11。「A」で「*」(ア

スタリスク)付きだから、特別に重要な問題の1つだ。

  

 12 (力のつりあい) 京都府立大

160929a_2

        

 図のように、滑車にかけた1本の綱の一端を、板上の人が落ち

 ないように引っ張って静止している。人の重さは60kmw、

 動滑車の重さは8kgwで、板および板をつるしているロープの

 重さの和は10kgwである。綱の重さおよび滑車と綱との間の

 摩擦は無視でき、また綱は滑車にかかっている部分を除きす

 べて鉛直になっているものとする。

 

 (1) 人が綱を引いている力の大きさは何kgwか。

 (2) 人が板から受けている力の大きさは何kgwか。

   

  

      ☆        ☆        ☆

(解答) 

 (1) 綱を引く力、つまり綱の張力の大きさをTとし、板から人に

     加わる垂直抗力の大きさをN、動滑車から板に加わる力

     の大きさをFとする。単位はすべてkgw。鉛直方向・上向き

     を正とした時、力の釣り合いの式はこうなる。

     

     (人) T+N-60=0  ・・・(ア)

     (板とロープ) F-N-10=0  ・・・(イ)

     (動滑車) 2T-F-8=0  ・・・(ウ)

   

     3つの式を辺々加えると、

     3T-78=0  ∴ T=26(kgw) ・・・答

   

 (2) 式(ア)にT=26を代入して、

      N-34=0  ∴ N=34(kgw) ・・・答

   

(感想・解説) 

 動滑車には左右から上向きに張力Tが加わるので、合わせて

 2Tの力で引き上げられる。定滑車と組み合わせると、かなり

 少ない力で自分を持ち上げることが可能。

  

 要するにその分、天井が頑張ってるわけで、もし単に天井と

 人間を綱でつなげば、手の力はゼロで済む♪ だから、小さ

 い力で済むのは一応、納得できるが、最初に学んだ時には

 だまされたような気がしたのも事実だ。それを言うなら、テコ

 の原理の不思議さも似たようなものか。

  

 実はTだけ、先にすぐ求めることもできる。人、台、動滑車の

 全体で見ると、上向きに3Tで78kgwを支えてるから、

  3T=78   ∴ T=26

 ただ、変わった解き方は間違えやすいので、お勧めはしない。

  

     

      ☆        ☆        ☆

2問目はp.18の第3節、「抵抗力を受ける運動」の最初。これもア

スタリスク付きで最重要問題とされてるA問題だ。PCトラブルで、

小さい数字の入力ができないので、代わりに半角の数字にしてある。

             

 23 (糸でつながれた2物体の運動) 武蔵工大

160929b

  

 図のように水平台上に置かれた質量Mの物体Aに糸を結び、

 滑車を通して糸の他端に皿をつり下げ、これにおもりBをの

 せる。物体Aと水平台の間の静止摩擦係数をμ、運動摩擦

 係数をμ´、重力の加速度をg(=9.8m/s2)として

 次の問いに答えよ。ただし、糸、皿の質量は無視できるもの

 とする。

  

 (1) 物体Aに作用するすべての力を図中に矢印で示し、

    それぞれの名称を横に記せ。

 (2) 物体Aが動きだそうとするときの、おもりBの質量m0を

    求めよ。

 (3) おもりBの質量をm(>m0)としたときの物体Aの加速度

    a、糸の張力Tを求めよ。

 (4) M=2.5kg、μ´=0.2、m=1.0kgとしてAの加速度

    aおよび糸の張力Tを計算せよ。

  

  

      ☆        ☆        ☆

(解答)

 (1) 図はここでは省略。物体Aの中心あたり(重心)から

    下向きの矢印が重力。Aの底面の中心あたりから上向き

    の矢印が垂直抗力で、左向きの矢印が摩擦力。Aの右端

    の真ん中あたりから右向きの矢印が張力

  

 (2) 物体Aに働く最大の静止摩擦力が、Bの重力と等しい。

    ∴ μMg=(m0)g   ∴ m0=μM ・・・答

  

 (3) 動き出した後なので、動摩擦力を考える。

     (Aの運動方程式 右向き正)

      T-μ´Mg=Ma ・・・(ア)

     (Bの運動方程式 下向き正) 

      mg-T=ma ・・・(イ)

     

    (ア)(イ)を辺々足して、

      (m-μ´M)g=(M+m)a

     ∴ a=(m-μ´M)g/(M+m) ・・・答

  

    これを(イ)に代入して、

     mg-T=m(m-μ´M)g/(M+m)

     ∴ =mg-m(m-μ´M)g/(M+m)

        ={ (M+m)mg-m(m-μ´M)g }/(M+m)

        (1+μ´)Mmg/(M+m) ・・・答

  

 (4) (3)で求めた答の式に、与えられた数値を代入する。

     a=(1.0-0.2×2.5)×9.8/(2.5+1.0) 

      =1.4 (m/s2) ・・・答

     T=(1+0.2)×2.5×1.0×9.8/(2.5+1.0)

     =8.4 (N) ・・・答

   

   

(感想・解説)

 2つの物体、水平台、定滑車、糸を使った、教科書レベルの基

 本問題。それぞれについて運動方程式を立てて、連立して解く

 だけだが、最初は正の向きの設定が出来なかったり、重力加

 速度gを付け忘れたりする。

 

 摩擦力は、動き出す直前なら静止摩擦係数、動いてる時なら

 少し小さい動摩擦係数を用いて計算。質量ではなく、垂直抗力

 (この問題では重力)と掛け合わせる点に注意。下の台が斜め

 だったり、上向きの別の力が加わってたりすると、摩擦力は減る。

  

 最近は動摩擦と言わずに「運動摩擦」と呼ぶのが普通なのかも。

 些細な呼び名の違いにすぎないが、後で調べてみたい。

   

   

      ☆        ☆       ☆

最後の3問目は、糸と滑車ではなく、バネの弾性力を使う連結。

これもアスタリスク付きのAだから、最重要問題。

  

 24 (あらい水平面上の連結物体) 神奈川大 

160929c

  

図のように、質量m1、m2の物体A、Bがばね定数k、自然

の長さL0 のばねで連結されてあらい水平な床上に静止して

いる。重力加速度をgとして次の問いに答えよ。

  

(1) 物体Aに左向きの力を徐々に加え、力の大きさがFに

   なったときAが動きだした。このとき、物体Aと床との間

   の静止摩擦係数を求めよ。

(2) さらにAを引き続けたところ、ばねの長さがLになったとき

   Bも動きだした。このとき、物体Bと床との間の静止摩擦

   係数を求めよ。

(3) その後、物体A、Bともに左方へ一定の速さで動き続けた。

   A、Bと床との間の運動摩擦係数は各々の静止摩擦係数の

   3分の2であるとして

   (ア) ばねの自然の長さからの伸びを求めよ。

   (イ) 物体Aに加えている左向きの力の大きさを求めよ。

  

  

       ☆        ☆        ☆

(解答)

 (1) Aの静止摩擦係数をμ1とすると、

     F=(μ1)(m1)g   

    ∴ μ1=F/(m1)g ・・・答

  

 (2) Bの静止摩擦係数をμ2とすると、

     k(L-L0)=(μ2)(m2)g 

    ∴ μ2= k(L-L0)/(m2)g ・・・答

  

 (3)(ア) 物体が一定の速さなので、力はつり合っている。

     Bにおける伸びをxとすると、

     kx=(2/3)(μ2)(m2)g

       =2k(L-L0)/3

     ∴ x=2(L-L0)/3 ・・・答

   

   (イ) Aに左向きに加えた力をGとすると、右向きの

      動摩擦力+バネの力とつり合っているので、

      G=(2/3)(μ1)(m1)g+kx

       =2F/3+2k(L-L0)/3

       =2{ F+k(L-L0)}/3 ・・・答

   

   

(感想・解説) 

 解答に使っていいのはどの文字なのか、ちょっと分かりにくい

 問題だし、最初のばねの長さがいくらなのかも明確ではない。  

 私なら、「・・・自然の長さL0のままで静止している」と問題文に書く。

 これなら、自然の長さと最初の長さがまとめて示されるわけだ。

  

 物理の問題では、そもそも出題者の意図を理解することが問われる。

 あと、ばねの力が、ばね定数と伸び縮みだけで決定することを理解

 できてるかどうか。運動してるとか、2物体との連結とかは、関係ない。

  

 ちなみにレベルが高い問題なら、途中のばねの伸び縮み(振動など)

 を聞いて来るところだろう。この問題の設定でも、動き出すとばねの

 伸びが縮むのだから、本当は厄介。出題者の意図を超えて、マジメ

 に考え過ぎてしまう人もいるはずだ。

   

  

それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

   

  

cf. 等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星~物理4

   単振動、ばね振り子、水平ばね2本~物理5

   

                      (計 3330字)

            (追記 49字 ; 合計 3379字)

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