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等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星~物理の問題と解き方4

数研出版『物理重要問題集』の中から、適度な問題を選んで紹介&解説

するシリーズ、第4弾。これまでの3本は次の通り。アクセス数は期待

してなかったが、多少の需要はあるようだ。

     

 等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング~物理1

 運動の法則、浮力、物体の連結と分離~物理2

 動滑車、摩擦力(静止・動)、バネの弾性力~物理3

       

今日は時間が無いし、風邪気味で体調が悪いから、すぐ1問目に

向かおう。第4章、円運動・万有引力。p.25のA問題2つから。

   

  

      ☆        ☆        ☆  

 33 (ばねにつけられたおもりの円運動) 愛知医大

   

 水平に置かれた円板上に半径に沿った溝があり、その中に

 質量mのおもりAをつけた軽いばねが水平に置かれている。

 図は円板を上から見たようすを示している。

  

161029a

 

 ばねの定数は k、自然の長さは L0 であり、ばねの

 一端は円板の中心Oに固定されている。おもり、および

 ばねと溝の間には摩擦はなく、おもりの大きさは無視で

 きるものとする。この円板を水平面上でOを中心として

 一定の角速度で回転したら、ばねの長さが L1 になった。

 そのとき、次の各量はいくらか。

  

 (1) ばねにはたらく力の大きさ。

 (2) おもりAの加速度の大きさ。

 (3)  おもりAの速さ。

 (4) 円板の角速度。

   

      ☆        ☆        ☆

(解答) 

 (1) (ばねの力)=(ばね定数)×(伸び縮み)

            =k( L1-L0 ) ・・・答

  

 (2) (ばねの力)=(向心力)=(質量)×(加速度)

    ∴ k( L 1 - L 0 )=m×(加速度)

    ∴ (加速度)= k( L1 - L0 )/m ・・・答

  

 (3) (加速度)={(速さ)の2乗}/(半径)

    ∴ (速さ)=√{(加速度)×(半径)}

          = √ { kL1( L1-L0 )/m } ・・・答

  

 (4) (角速度)=(速さ)/(半径)

          = √ { k( L1-L0 )/mL1 } ・・・答

  

  

(感想・解説)

 非常に親切で簡単な誘導問題だが、円板の溝を難しく考えて

 しまうと面倒な話になる。溝は、全体が安定するまではおもり

 に力を与えるが、等速円運動として安定した後は無関係。

 おもりの速さが変わらなくなった後は、溝はおもりに力を

 与えてない。

  

 ただし実際の装置だと、完全な理想的状態は作れないので、

 溝からおもりへの力が僅かにあるはずだ。

   

   

     ☆        ☆        ☆

 34* (円すい振り子) 東京商船大 90年

   

  次の文章の中の〔  〕にあてはまる式を記せ。

  自然の長さが L0、ばね定数が k のつる巻きばねの上端を

 固定し、下端に、質量がmの質点を結ぶ。

   

161029b

    

  図のように、このばねと質点を、鉛直線のまわりに大きすぎ

 ない角速度 ω で回転させたとする。ただし、ばねの質量は

 小さくて無視できるとする。

  このとき、ばねの伸びを m、ω、L0、k で表す式を以下の

 順序にしたがって求めたい。

  

  ばねの伸びを x、ばねが質点から受ける力の大きさをT、

 質点の円運動の半径をr、質点が受ける遠心力の大きさ

 をFとすると、明らかに、T=kx である。また、Fを m、ω、

 r で表す式は、F=〔  ア  〕である。よって、F/Tを

 k、x、m、ω、r を用いて 〔  イ  〕のように表すことが

 できる。一方、力のつりあいの考察から、F/Tを

 r、L0、x を用いて 〔  ウ  〕のようにも表せる。F/T

 についての、以上の2つの式を利用して計算すると、

 ばねの伸びxをm、ω、L0、kで表す式

 x= 〔  エ  〕を得る。

  

   

      ☆        ☆        ☆

(解答) 

 (ア) 少なくとも短時間、等速円運動と考えられるから、公式より

    (遠心力 F) = mr(ωの2乗) ・・・答

  

 (イ) F/T= mr(ωの2乗)/kx ・・・答

  

 (ウ) ばねの力Tの半径方向の成分が遠心力Fだから、

     T×r/(L0+x)=F

    ∴ F/T=r/(L0+x) ・・・答

  

 (エ) (イ)と(ウ)より、

    mr(ωの2乗)/kx=r/(L0+x)

    ∴ m(ωの2乗)(L0+x)=kx

    ∴ {k-m(ωの2乗)}x=m(ωの2乗)L0

    ∴ x=m(ωの2乗)L0/{k-m(ωの2乗)} ・・・答

   

  

(感想・解説)

 やり方も使う文字も指定されてるが、おそらく重力加速度g

 を使って答えた受験生は少なくないはず。鉛直方向のつり合

 いを(とりあえず)無視して、水平面での円運動を中心に見た

 問題なので、出題の意図に合わせて考えて行くことが必要。

    

 あと、等速円運動かどうかもハッキリしないので、(ア)の解答

 で一言付け加えておいたが、この点で迷った受験生はほとん

 どいないだろう。

   

   

     ☆        ☆        ☆

 40* (人工衛星) 東京電気大

  

 万有引力を向心力として地球のまわりを等速円運動する

 人工衛星について、次の問いに答えよ。人工衛星が地球

 から受ける力は、地球の中心に地球の質量が集まったと

 して計算してよい。ただし、人工衛星の質量をm〔kg〕、

 地表からの高さをh〔m〕、万有引力定数をG

 〔N・(mの2乗)/(kgの2乗)〕、地球の質量と

 半径をそれぞれM〔kg〕、R〔m〕とする。

 

 (1) 地表面における重力の加速度をG、M、Rを

    用いて表せ。

 (2) 人工衛星の速さ(m/s)を求めよ。

 (3) 人工衛星の周期(s)を求めよ。

 (4) 地球から無限に離れたときの位置エネルギーを基準に

    して、人工衛星のもつ位置エネルギー(J)を求めよ。

 (5) 地表面近くを円運動でまわる人工衛星の速さを第1

    宇宙速度とよぶ。一方、物体を地球の引力から脱出

    させて無限遠方に飛び去らせるための地表面での

    最小の速さを第2宇宙速度とよぶ。第2宇宙速度は

    第1宇宙速度の何倍か。

   

   

      ☆        ☆        ☆

(解答)

 (1) 地表面にある質量1kgの物体について、重力加速度を

     g とすると、

      (重力)=(万有引力)より

      1×g=G×1×M/(Rの2乗)

     ∴ g = GM/(Rの2乗) 〔m/(sの2乗)〕 ・・・答

  

 (2) 人工衛星の速さを v とすると、

     (向心力)=(万有引力)より、

     m(vの2乗)/(R+h)=GmM/{(R+h)の2乗}

    ∴ v = √{GM/(R+h)} (m/s)・・・答

  

 (3) (周期)=(円軌道の長さ)/(速さ)

        =2π(R+h)/√{GM/(R+h)}

        =2π√〔{(R+h)の3乗}/GM〕 (s) ・・・答

  

 (4) 公式より、 -GmM/(R+h) (J) ・・・答

  

 (5) (2)で、地表からの高さh=0として、

     (第1宇宙速度)=√(GM/R)

    一方、(4)の答でもh=0として、

     地表での人工衛星の位置エネルギーは、-GmM/R。

     ∴ (第2宇宙速度v)

         =(位置エネルギー0の無限遠に運ぶ最小の速さ)

         =(運動エネルギーがGmM/Rである速さ)

     ∴ m(vの2乗)/2=GmM/R

     ∴ v=√(2GM/R)

       

     ∴ (第2宇宙速度)/(第一宇宙速度)

         =√(2GM/R)/√(GM/R)

         =√2 (倍) ・・・答

  

   

(感想・解説)

 まるで教科書の説明みたいな、完全な基本問題。

 人工衛星の位置エネルギーとは、無限遠に行くまでに

 「する」仕事のこと。つまり、無限遠までに「される」仕事

 にマイナスを付けたものになる。

  

 される仕事は、引力にさからって動かす仕事だから、中心

 と結ぶ距離方向に引力を積分したもの。引力の分母が

 距離の2乗だから、積分すると分母は距離の1乗になる。

 分数関数の積分で、積分定数を省いて書くと、

 ∫{1/(rの2乗)}dr=-1/r

  

 この分母が0(ゼロ)だとまずいので、地球の中心(r=0)を

 考える代わりに、無限遠(r=無限大)を考えることになる。

    

    

最後の答、宇宙速度の倍率は美しいので、多くの少年・少女を

宇宙関連、ロケット関連の道に誘い込んで来たことだろう。   

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

     

   

cf. 単振動、ばね振り子、水平ばね2本~物理5

  

                   (計 2974字)    

           (追記 23字 ; 合計2997字)

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