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数学甲子園2016予選、全20問の問題、解き方、感想

予選実施からほぼ2ヶ月、本選終了から3週間。ようやく数学甲子園

2016の予選問題と答(最後の数値のみ)が公開されたので、

今年も20問全ての解き方と感想をまとめとこう。去年までの記事は、

この記事の末尾にまとめてリンクを付けてある。

    

数学甲子園の正式名称は、全国数学選手権大会(第9回)。日本数

学検定協会の公式サイトに、問題と答のpdfファイルがある。登録も

アプリも不要で、すぐ見れるしダウンロードもできるので、まずあちら

をお勧めしとこう。

   

数学に限らず、問題というのは、解説を読むのと自分で解くのとで

は全く違ってるし、自分で試した後に説明を読む方が遥かに有意義

で面白い。予選の問題は1問平均3分という設定になってるし、半分

くらいは高校の教科書レベルだ。「甲子園」と言っても、そんなに凄い

球が来るわけではないので、バットを振れば結構当たるはず♪ 

   

ただし、今年は去年までと比べて少し難しくなってる。緊張した状態

で60分制限だと、高校3年の時の私で17問前後、85点前後だろう。

どんなに調子が良くても、19問、95点が限界。問題4か

5か18、どれかで苦戦するはずだ。。

      

   

       ☆        ☆        ☆  

以下、問題文はそのままの引用ではなく、省略表現にしてある。図だ

けは縮小コピペさせて頂いた。著作権的に許容範囲の引用と考える。

   

問題1. 2x²+6xy+4y²-5x-4y-3 の因数分解。

   

  x、yの2次式だから、2次の係数が小さいxについて整理して、

  たすき掛け2回でおしまい。簡単だから1分前後で解きたい所。

  

   2x²+(6y-5)x+4y²-4y-3

 =2x²+(6y-5)x+(2y+1)(2y-3)

 =(2x+2y+1)(x+2y-3) ・・・答

   

  

問題2. 90°≦θ≦180°でsinθ+cosθ=1/2

      の時、sinθ-cosθを求めよ。

  

 これも教科書の練習問題レベル。1分前後か。

 (sinθ-cosθ)² =1-2sinθcosθ

             =1-{(sinθ+cosθ)² -1}

             =7/4

 θの範囲より、sinθ-cosθ≧0だから、

 sinθ-cosθ=√7/2 ・・・答

   

  

問題3. 2,0,1,6,0,9,1,8の8個すべてを並べてできる

      8ケタの整数の個数。

  

 本選の開催日を使った、シャレた基本問題。

 0と1が2個あるから、公式を利用。

 8コの並べ方は、 8!/(2!・2!)=10080

 その内、先頭が0のものは、残り7コの並べ方を考えて、

 7!/2!=2520

 ∴ 10080-2520=7560(個) ・・・答

  

  

      ☆        ☆        ☆

問題4. 不定方程式 2.7x+3.14y=23.1の解で、

      x、yともに絶対値が2ケタの整数であるもの。

  

 「絶対値」という言葉は無意味であって、もし入れるのなら

 「絶対値が2ケタの自然数」と書くべき所♪ 負の整数の

 ケタ数というものを避けたのだろうか。

      

 突っ込みはさておき、両辺50倍して、

  135x+157y=1155

 さて、数分間でどう解くか、迷う所だ。普通の不定方程式

 なら係数が小さいから、解を1組見つけてすぐ解決する。

       

 私の感覚で一番実戦的なのは、xの項と定数項から

 yが15の倍数だと気付いた後、±15,±30・・・と

 代入してみる方法。多分、それほど大きな絶対値ではない

 はず。y=-15ですぐ成功して、「すべて求めよ」とは書い

 てないから、減点覚悟で終了。x=26。 (答)

     

 先に、135(x+y)+22y=1155

 とか変形してもいいけど、この種のテクニカルな

 変形は、余計わかりにくくなるリスクもある。 

    

 この問題を最後に回して、残り6分ほどあれば、

 セオリー通り(?)、真面目に解いてもいい。

     

 x=-y+8+(-22y+75)/135

 よって、-22y+75は135で割り切れるから、

 -22y+75=135mとおいて、

 y=-6m+3+3(-m+3)/22

 よって-m+3は22で割り切れるから、

 -m+3=22nとおいて、

 y=-6(3-22n)+3+3n

  =135n-15

 yは2ケタだから、n=0、y=-15しかない。

 

   

問題5. 図で、AQ:QC=3:5。ARの長さは? 

     (注. 赤線と赤字は私が追加したもの。)

    

161009a

   

 外角の2等分線にはどんな定理があったかな・・とか

 考え込む時間はないから、Pを通ってABに平行な

 直線を引いてみると、わりと簡単に解決する。ただ、

 補助線の引き方は色々あるから、迷って焦る所だ。

  

 三角形ADPは二等辺三角形だから、DP=xと

 おくと、DC=x-2。

 三角形ABCとDPCが相似だから、

 3:2=x:(x-2)  ∴ x=6

 三角形ARQとDPQも相似だから、

 AR:AQ=DP:DQ

 ∴ AR:(3/4)=6:(21/4)

 ∴ AR=6/7 ・・・答

   

   

      ☆        ☆        ☆

問題6. 整式x⁴+x²+3x+1を整式Aで割ると、

     商x²-2、余り3x+7。Aを求めよ。

    

  4次式から3x+7を引いて、 x⁴+x²-6。

  x²-2で割って、 x²+3 ・・・答

  脳内でx²をXとおけば、割り算は暗算で一瞬。

  明らかに、それを意識して作った問題だ。

   

   

問題7. 3点A(1,6)、B(8,-1)、C(1,-2)を通る

     円の半径。

     

  AとCに注目すると、円の中心のy座標は2.

  よって、円は(x-p)²+(y-2)²=r²

  とおけて、AとBの座標を代入すれば、

  p=4,r=5 ・・・答

   

   

問題8. (4のx乗)-9(2のx乗)+8=0 を解け。

    

  2のx乗をXとおくと、 X²-9X+8=0 (X>0)

  ∴ X=1,8    ∴ x=0,3 ・・・答

  暗算でスパッと解いて時間を稼ぎたい。

   

  

問題9. Σ(2k-n)  (k=1~n)

   

  2Σk-Σn=n(n+1)-n²

          =n ・・・答

  これも暗算で、いきなり答を書き込む感じ。 

  

  

問題10. 5人の身長と体重は次の通り。相関係数は?

      a(171cm,68kg)、b(164cm,57kg)

      c(167cm,60kg)、d(175cm,74kg)

      e(173cm,66kg)

    

   身長の平均は170cm。体重の平均は65kg。

  (身長の分散)=(1²+6²+3²+5²+3²)/5=16

  (体重の分散)=(3²+8²+5²+9²+1²)/5=36

 (共分散)

 ={1・3+(-6)・(-8)+(-3)・(-5)+5・9+3・1}/5

 =114/5

  ∴ (相関係数)=(114/5)/√16√36

            =19/20 ・・・答

  

  統計の問題は去年も1問だったが、今後は増えるかも。

  整数問題が多すぎるから、その代わりとか。

   

   

     ☆        ☆        ☆

問題11. 1辺4cmの正五角形の中に、小さい正五角形

     がある。色を塗った部分の面積と小さい正五角形

     の面積が等しい時、小さい正五角形の1辺の長さ。

   

161009b

   

大小の正五角形の面積比が2:1、相似比は√2:1。

∴ 4×1/√2 =2√2 (cm) ・・・答

一瞬、難問かと緊張してしまう、超簡単な問題。

    

    

      ☆        ☆        ☆

問題12. 図で辺BCの長さは?

   

161009c

    

 三角形AEDとDECが相似だから、 BE=6。BD=9.

 一方、CD²=9²-3²=72

 ∴ BC=√(9²+72)=3√17 (cm) ・・・答

  

 円に内接する四角形で、1辺を共有する直角三角形2つの組

 合せだから、上手い方法があるかも知れないけど、普通に

 相似と三平方の定理で計算した方が速くて無難。

   

   

問題13. 袋の中に白球3コと赤球2コが入っている。1コ

    取り出して、白なら元に戻し、赤なら戻さない。この

    試行を2回続ける時、2回目に赤の確率。

   

 (白、赤の確率)+(赤、赤の確率)

 =(3/5)×(2/5)+(2/5)×(1/4)

 =17/50 ・・・答

 復元抽出と非復元抽出を組み合わせた基本問題。

  

   

      ☆        ☆        ☆

問題14. 分母を有理化せよ。

     1/(2√3+3√2+√6)

   

 (2√3+3√2-√6)/{(2√3+3√2)²-6)}

 =(2√3+3√2-√6)/12(√6+2)

 =(2√3+3√2-√6)(√6-2)/12×(6-4)

 =(√3+√6-3)/12 ・・・答  

 単純だけど、計算ミスに注意。何か上手い技があるかも。

   

   

問題15. 1≦A<B<C≦9をみたす3つの整数について、

    7A7, 7B7, 7C7が等間隔に並ぶ素数のとき、

    A、B、Cを求めよ。

   

 717,747,777は3で割り切れるので素数ではない。

 767も13で割り切れる。この時点で、残る候補は 

 727,737,757,787,797。

 等間隔だから、727,757,787のはず。

 ∴ A=2, B=5, C=8 ・・・答

  

 ちなみに、残る候補5つが素数かどうかは、穴埋め問題

 だから無関係。これしか可能性がないから調べなくてよい。

 間違ってたら、出題ミスで全員正解のはず♪ 

 ただし、767が素数でないことには気付かないと、

 737,767,797もOKだと誤解してしまう。

   

   

      ☆        ☆        ☆

(以下の5問は、字数制限を超えてしまったので、翌週まで非公開)

(週が変わったので、既に一番下に追記した)

    

   

以上、ごく簡単に書いても、20問すべてだと5000字近くの

長い記事になる。やはりスピードを上げるには、暗算や脳の

イメージ能力を高めるのが近道だろう。

   

今週は計2万字制限をオーバーしてしまったので、24時ま

で一部は非公開。たかが自主規制、されど自主規制。

     

ではまた来週。。☆彡  

   

   

cf.数学甲子園2016(Abemaライブ配信)、前半感想

  数学甲子園2015準々決勝、全問コメント&解き方

  2015予選、全20問の問題、解き方、感想

  2014準々決勝、全問コメント&問題10解答・別解

  2013予選のポイント、問題15の解説&解答

  2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

  数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ☆  (2011)

   

           (計 3770字 ; 今週20000字) 

   

   

      ☆        ☆        ☆

では日付変わって翌週になったので、非公開にしてた部分を復活。

    

問題16. xはすべての実数。

     関数 y=(x²+4x+1)(x²+4x+6)+2x²+8x+3

     の最小値と、そのときのxの値。 

    

 x²+4x+1=Xとおくと、

 y=X(X+5)+2X+1

  =X²+7X+1

  =(X+7/2)²-45/4

 また、 X=(x+2)²-3だから、 X≧-3

 よって、yはX=-3で最小値-11(x=-2) ・・・答

  

 これも、もっと上手い解き方があるかも知れないけど、

 おき方とかで迷うより、普通に計算。1分前後で済む。

 図を描くと時間がかかるので、頭の中だけでイメージ。

  

   

      ☆        ☆        ☆

問題17. 次の群数列の第2100項を既約分数で答えよ。

   1/1 ; 1/2,2/1 ; 1/3,2/2,3/1 ; 

   1/4,・・・

     

 第n群までの項の総数は、

  1+2+・・・+n=n(n+1)/2

 よって、第2100項が第n群に含まれるための条件は、

  (n-1)n/2<2100≦n(n+1)/2

 ∴ (n-1)n<4200≦n(n+1)

 ∴ n=65

 第64群までの項の総数は、64×65/2=2080。

 よって、第2100項は第65群の20番目。

 ∴ 20/46=10/23 ・・・答

  

最後でうっかり、20/45=4/9と答えた人がいたはず♪

   

   

      ☆        ☆        ☆

問題18. 正の整数a、b、c、dが、

    (a+bi)(c-di)=17

    を満たすとき、abの値はただ1通りに定まる。

    その値と、正の整数の組(a,b,c,d)すべてを求めよ。

   

 (ac+bd)+(bc-ad)i=17

 ∴ ac+bd=17, bc=ad

 左の等式より、4数はすべて16以下。

 また、2式よりdを消すと、 ac+b(bc/a)=17

 ∴ (a²+b²)c=17a 

 cは16以下だから、素数17では割れない。

 よって、 a²+b²=17,34,・・・

  

 試しに a²+b²=17と考えると、c=a, d=bc/a=b。

 これで条件は満たされるので、a²+b²=17 ・・・答

 (a,b,c,d)=(1,4,1,4),(4,1,4,1) ・・・答 

   

 穴埋め問題だからこれでいいが、記述式で完答するのは

 大変。a,b≦16だから、 a²+b²≦512

 すべての場合を書き並べて調べるの実戦的かも♪

   

   

     ☆        ☆        ☆

問題19. y={(3のx乗)+(3の-x乗)}/2, x<0。

    y+√(y²-1)を、根号を用いずにできるだけ

    簡単なxの式で表せ。

    

   y²-1={(3のx乗)-(3の-x乗)}²/4

   x<0より、 (3のx乗)<(3の-x乗)だから、

   y+√(y²-1)

    ={(3のx乗)+(3の-x乗)}/2

       +{(3の-x乗)-(3のx乗)}/2

    =(3の-x乗) ・・・答

   

   x<0という条件に注意するだけで、普通の式変形。

   

   

問題20. ∫f(s)ds (sはaからx)

         =x²+2x-∫f(t)dt (tは1から2)

      f(x)と定数aを求めよ。

   

  両辺をxで微分すると、

   f(x)=2x+2 ・・・答

  よって、与式より、

  〔s²+2s〕(sはaからx)

      =x²+2x-〔t²+2t〕(tは1から2)

  ∴ x²+2x-(a²+2a)=x²+2x-5

  ∴ a²+2a-5=0

  ∴ a=-1±√6 ・・・答

  

  定積分を用いた関数の基本問題。4文字使われてるが、

  落ち着いて解けば迷うほどのことはない。

      

               (翌週の追記 1356字)

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コメント

社会的な許容範囲のなかで
・予選の平均点は8.2点です。
・受験者数は1979人
・全受験生で一番正答率が引くい問は問4:12.0%
・予選通過者で一番正答率が低いのが問12:50.0%
・得点分布は綺麗なベル型ではなく、左肩が高い

投稿: gauss | 2016年10月12日 (水) 00時45分

> gauss さん
  
こんばんは。
社会的な許容範囲のなかでの情報提供、
ありがとうございます。
 
平均点は20点満点で8.2点ということですね。
かなり低い感じも受けますが、例年より手強い
問題で焦って、時間と余裕を失ったんでしょう。
解けるはずの問題が解けない。
あるいは、解けたつもりの問題で計算ミスとか。
  
基本問題だけでも11点、取れますからね。
1,2,6,7,9,11,13,
14,16,19,20。
  
問4の全体正答率が一番低いのは分かるとして、
通過者が一番苦戦したのが問12ですか。
それはかなり意外なお話。
なまじ上手い方法を探そうとして、
失敗したってことでしょうかね。
  
  
僕は、テストだと割り切って考えるので、
素早く確実に点数を取ることだけを狙います。
   
こだわって考え込むのは、テスト以外の時。  
まあ、人生のほとんど全てはテスト以外ですが♪
  
とにかく今年の予選問題は、総合的に見て、
なかなか良い出来だと思います。
来年の参加者は、気合を入れ直すことになるでしょう。
会場での貴重な情報、どうもでした。。shine

投稿: テンメイ | 2016年10月13日 (木) 01時05分

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