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単振動、ばね振り子、水平ばね2本~物理の問題と解き方5

問題文をブログに書き写すのが面倒で、なかなか進まない『物理重要

問題集』シリーズ、第5弾。今回も、数研出版が集めた受験問題を解説

してみよう。これまでの4本は次の通り。他にも物理カテゴリーの記事

は色々あるし、数学カテゴリーには多数の記事がある。

   

 等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング~物理1

 運動の法則、浮力、物体の連結と分離~物理2

 動滑車、摩擦力(静止・動)、バネの弾性力~物理3

 等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星~物理4

  

今回は第5章、単振動・単振り子(p.30~)のA問題から

3問。いつものように、式や説明などはすべて私が書いたもの。

元の問題集は、最後の数値など、最低限の事しか書いてない。

      

  

      ☆        ☆        ☆  

 43 (質点の単振動) 東京商船大

 

 次の文章の中の空欄(長方形)にあてはまる数値、またはグラフ

 を描け。ただし、数値は有効数字2桁まで求めよ。

   

  質量9kgの質点がx軸上を単振動している。x=1mの点

 Aをx軸の正の向きに通過した質点が、t=3sでx=3m

 の点Bに到達し、その後、向きをかえ、t=6sで点Aを

 x軸の負の向きに通過した。質点の速さは、点Aを通過する

 とき最大となり、点Bでは0であった。

   

 (1) この質点の運動について、時刻tと座標xの関係を表す

  グラフを、時刻t=0から9sまで、右図に描け。

 (2) 単振動しているとき、速さの最大値は振幅と角振動数

  (振動数に2πをかけたもの)の積であるから、点Aで質点

   がもつ運動エネルギーは     Jである。

 (3) この運動では、質点にはたらく力の大きさは点Aから

  質点までの距離に比例し、その比例定数は質量と角振

  動数を用いて表すことができる。時刻t=9sのとき、

  質点にはたらく力の大きさは     Nである。

   

   

     ☆        ☆        ☆

 解答(1)

161127c    

   

 (2)グラフのように、振幅(上下の触れ幅)は2m。

   また、周期は12sだから、

   (角振動数)=2π/(周期)

           =2π/12

           =π/6

   ∴ (点Aでの速さ)=(速さの最大値)

               =(振幅)×(角振動数)

               =2×(π/6)

               =π/3

   ∴ (点Aでの運動エネルギー)

        =(1/2)×(質量)×(速さ)²

        =(1/2)×9×(π/3)²

        =π²/2

        ≒9.86/2

        ≒4.9 (J) ・・・ 答 

   

 (3) (力)=-(質量)×(角振動数)²×(変位)

        =-9×(π/6)²×(-2)

        =π²/2

     ∴ (力の大きさ)≒4.9 (N) ・・・ 答

   

  

 (解説・感想)

  グラフの縦軸がx軸になっている点と、単振動の中心が

  原点ではなくx=1であることに注意。問題文の最初に

  時刻t=0sと書いてないのは意図的なものだろうが、

  おそらく気づかなかった受験生が多いと想像する。

  

  後は親切で簡単な基本問題で、(2)と(3)の計算式

  が同じである点も嬉しい。ただ、試験会場だと逆に、やや

  不安になる所かも。

 

  なお、「力」とは向きも考えた概念で、この問題の場合は

  直線運動だから、正負の符号があるもの。一方、「力の

  大きさ」とは、力の絶対値だから0以上で、符号なし。

   

   

     ☆        ☆        ☆

 46 (ばね振り子)  都立大 91年

 

 自然の長さL、ばね定数kの、重さを無視できるばね(つり巻き

 ばね)がある。 重力加速度の大きさをgとして、次の問いに答

 えよ。

  

 (1) 上端を固定し、下端に質量mのおもりをつるしたら、自

  然の長さから長さ x0 だけ伸びてつりあった。x0 を求めよ。

  

 (2) 次に、つりあいの位置から長さAだけばねを伸ばして

  静かにはなすと、おもりは単振動を行った。この振動で、

  ばねが自然の長さからxだけ伸びているときの、おもりの

  加速度aを、k、m、x、x0 を使って表せ。ただし、鉛直

  下向きを正の向きとする。また振動の周期Tはいくらか。

  

 (3) (2)の振動において、ばねが自然の長さからxだけ

  伸びているときの、ばねの弾性力の位置エネルギー

  Wと、おもりの重力の位置エネルギーUはいくらか。

  ただし、位置の原点は自然の長さの位置にとる。また、

  このときのおもりの運動エネルギーKを求めよ。解答

  にx0が現れたときには(1)で求めたx0を代入せよ。

   

   

     ☆        ☆        ☆

 解答(1) k x0 = mg   

      ∴ x0 = mg/k ・・・ 答

   

 (2) (加速度a)=(力)/(質量)

           =-k(x-x0)/m

           =k(x0-x)/m ・・・ 答

     (周期T)=2π√(m/k) ・・・ 答

  

 (3) (弾性エネルギーW)

       (1/2)kx² ・・・ 答

     (位置エネルギーU)=-mgx ・・・ 答

  

    長さx0の時、

    (力学的エネルギー)

      =(1/2)k(x0)²-mgx0

    長さxの時、

    (力学的エネルギー)

      =(1/2)kx²-mgx+K

   

    よって、力学的エネルキー保存則より、

    (1/2)k(x0)²-mgx0

        =(1/2)kx²-mgx+K

   

    x0=mg/kを代入して、Kについて解くと、

    K=(1/2)k(x0)²-mgx0

          -(1/2)kx²+mgx

     =(1/2)k(mg/k)²-mg(mg/k)

           -(1/2)kx²+mgx

     =mgx

      +(k/2){A²-x²-m²g²/k²} ・・・ 答

   

   

 (解説・感想

  丁寧な問題文と誘導で、出題者の実力を感じる。下の問題

  文と比べるとかなりの差がある。それはさておき、(3)の

  運動エネルギーだけが重要で、そこまでは誘導しながら、

  少しずつ点数を与えてるわけだ。

  

  最後の計算がやや面倒だが、保存則の式が書けてれば、

  ある程度以上の点数をもらえると思う。ちなみに、「振り子」

  とは普通、左右に揺れる物を指す言葉だが、「ばね振り子」

  の場合は上下の振動を指すようだ。

   

   

    ☆        ☆        ☆

 48 (2本のばねによる単振動)  千葉工大

  

 質量mの物体Aが、ばね定数がk1で自然長がL1の

 ばねS1と、ばね定数がk2で自然長がL2のばね

 S2に図のように結びつけられて摩擦のない水平面

 上に静止している。

  

 

161127d

   

 このとき、S1、S2は自然の長さの状態にあり、Aの

 位置をx軸の原点Oとし、S2側を正の向きとする。

 S1の左端とS2の右端は壁に固定されている。ばね

 の質量と空気の抵抗はないとして、次の問いに答えよ。

  

 〔1〕 Aに外力Fを加えてAを右方にaだけ変位させた。

  (1) S1がAに及ぼす力はいくらか。

  (2) S2がAに及ぼす力はいくらか。

  (3) Aに加えた外力Fはいくらか。

  (4) 外力FがAになした仕事はいくらか。

  

 〔2〕 〔1〕の状態から外力FをAから取り除いたら

    Aは単振動した。

  (5) Aが原点Oを通過するときのAの速さはいくらか。

  (6) Aの単振動の周期はいくらか。

  

   

    ☆        ☆        ☆

 解答〔1〕

  (1) -k1 a ・・・ 答

  (2) -k2 a ・・・ 答

  (3) (外力F)=-(上の2つの力の和)

           = (k1+k2)a ・・・ 答

  (4) (外力がなした仕事)

      =(ばねS1とS2が得た弾性エネルギーの和)

      =(1/2)(k1+k2)a² ・・・ 答

  

  〔2〕(5) (4)の仕事が、原点での運動エネルギー

      ∴ (1/2)(k1+k2)a² 

           =(1/2)m(速さ)² 

      ∴ (速さ)=a√(k1+k2)/m ・・・答

     (6) ばね定数 k1+k2 の1本のばねに

        よる単振動と考えられるから、公式より、

        (周期)=2π√{m/(k1+k2)} ・・・答

   

   

 (解説・感想)

  ばねが2本あることだけがポイント。簡単な誘導も付い

  てるが、解いた経験がほとんど無い受験生だと、考え

  が上手くまとまらないかも知れない。

  

  前の問題もそうだが、もちろん実際には、徐々に振幅

  が縮まる減衰振動となる。ばねとおもりが失った力学

  的エネルギーは、天井や壁の振動になったり、熱エネ

  ルギーに変換されるはず。鉛直方向で重いおもりを

  振動させると、ばね自体も少し伸びてしまって、自然の

  長さやバネ定数が変わるだろう。

   

なお今週は計16326字で終了。ではまた来週。。☆彡

    

                     (計 3061字)

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