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データ分析(散布図、共分散、相関係数、箱ひげ図)~2017センター試験・数学ⅠA・第2問

体調不良で2週間遅れになったが、今年もセンター試験の数学の

データ分析を解説してみよう。去年と一昨年の記事は次の3本。

    

 データ分析(相関の強弱,変数変換と共分散)

      ~2016センター試験・数学ⅠA・第2問

 データ分析(四分位数、箱ひげ図、相関係数~2015センター数学

 データ分析2~2015センター追再試験・数学ⅠA・第3問

        

高校数学ではまだ目新しい分野だが、去年とほぼ同じ問題構成に

なってたから、勉強しやすいとも言える。求められてる能力が固定

されてるということか。

  

ちなみに数学ⅠAの確率と国語については、すぐに記事をアップ

してある。国語は小説中心だが、評論にも触れてある。

   

 くじ引きの順序は無関係、条件付き確率

         ~2017センター試験・数学ⅠA・第3問

   

 「春」の純粋さと郷愁が誘う涙、野上弥生子『秋の一日』

           ~2017センター試験・国語

   

   

      ☆        ☆        ☆

では、2017年のセンター数学Ⅰ・A、第2問〔2〕。グラフ

と図だけは河合塾HPからコピペさせて頂いた。毎年の事なが

ら、大学入試センターHPにはなかなか問題が掲載されない。

以前から、大手予備校中心の情報公開になってる。

  

以下、問題文や選択肢は私が短く省略して書いたものなので、念

のため。正解を求めるだけなら、十分だと思う。

     

 スキーのジャンプは、飛距離D(m)から得点Xが決まり、空中

 姿勢から得点Yが決まる。ある大会のジャンプ58回を考える。

   

 (1) 得点X、Y、飛び出し速度V(km/h)について、

    次の3つの散布図(図1)を得た。

    読み取れることとして正しいのは?

      

170128a

  

 (正解)  

  選択肢1  XとYの間には正の相関がある。

  選択肢  Yが最小のジャンプは、Xは最小ではない。

  選択肢  Yが55以上かつVが94以上のジャンプはない。

   

 (解説) 選択肢の1が正しいのは、3枚目の散布図が右上

       がりになってることから分かる。選択肢4が正しい

       のは、3枚目の散布図の左下あたりで分かる。

      

       選択肢1は、普通の見方やテレビ解説とかなら、

       「キレイな飛び方だと距離が伸びる」

      といった話になるが、数学だととりあえず正の相関

      を認めるだけ。さらなる考察へと進むことになる。

    

      選択肢6は散布図2の右上より。普通の言い方なら

       「スピードが速いと飛型をまとめにくい」

      とかいう話になるだろう。実際はむしろ、

      「飛び方が下手な選手はスピードを出すのが上手」

      ということかも知れない。

    

        

     ☆        ☆        ☆

 (2) 得点Xは、飛距離Dから次の計算式で算出される。

     X=1.80×(D-125.0)+60.0

    

    Xの分散は、Dの分散の ( ソ ) 倍になる。

    XとYの共分散は、DとYの共分散の ( タ ) 倍になる。

    ただし共分散は、2つの変量のそれぞれにおいて

    平均値からの偏差を求め、偏差の積の平均値として

    定義される。 

    XとYの相関係数は、DとYの相関係数の ( チ ) 倍。

   

 (正解)

    ソ ・・・ 選択肢4 (3.24倍)

    タ ・・・ 選択肢3 (1.80倍)

    チ ・・・ 選択肢2 (1倍)

  

 (解説) 去年とほぼ同じ、 y=a x+bのタイプの変数変換。

      ここでは、 X=1.8D-165。

      すると、分散の定義式より、Xの分散はDの分散の

      (1.8)² になる。

      つまり、3.24倍。一般には、a² 倍。

     

      一方、XとYの共分散だと、Xの偏差だけが1.8倍に

      なって、もう片方のYの偏差は元のまま。

      よって、1.8倍。一般には、a倍。

      

      最後に、相関係数は変わらない。一般に、1倍。

      実際、公式を確認すると、

      相関係数

        =共分散 / {√(Xの分散)√(Yの分散)}

      分子が1.8倍になる一方、分母も√3.24倍、つまり

      1.8倍になるから、割り算で約分されて、1倍になる。

   

   

 (3) 58回のジャンプは、29名の選手が2回ずつ行ったもの。

    1回目の合計得点X+Yのヒストグラムと、2回目のヒスト

    グラムは、図2のA、Bのいずれか。

    また、1回目のX+Yに対する箱ひげ図と2回目の箱ひげ

    図は、図3のa、bのいずれか。

    ただし、1回目のX+Yの最小値は108.0。

    

170128b

   

170128c

  

 1回目のX+Yの値について、ヒストグラムと箱ひげ図の

 組合せとして正しいものは、 ( ツ ) である。

 また図3から読み取れることとして正しいものは ( テ )。

   

 (正解) 

   ツ ・・・ 選択肢0 (Aとa) 

   テ ・・・ 選択肢1 (1回目のX+Yの中央値は、

          2回目のX+Yの中央値より大きい)

    

 (解説) 1回目の最小値が108だから、Aとaになる。

     Bとbだと、最小値が100~105の間になってる。

     1回目の方が、風が良かったということだろう。

      

     また、箱ひげ図の箱(長方形部分)の中にある縦線

     の位置が中央値を示すので、a、つまり1回目の中

     央値の方が大きい。

   

     a(1回目)の縦線が、b(2回目)の縦線より右側に

     あるということ。

     ちなみに中央値とは、第二四分位数。データを小さい

     方から並べた時の中央になる値で、平均値ではない。

   

    

      ☆        ☆        ☆

なお、スキーのジャンプについては、5年前の全国学力テストで

奇妙な「模範解答」が示されて、当サイトで詳細に批判。いまだに

アクセスが地味に続いてるので、おかしいと思った人が少なくない

のだろう。

       

  全国学力調査2012・中学数学B、

     スキー・ジャンプの問題(原田vs船木)

    

流石に今回のセンター試験では、おかしな点はない。中学と高校

の差だろうか。それでは、今日はこの辺で。。☆彡

         

                     (計 2150字)

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