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新「大学入学共通テスト」数学、マークシート式のモデル問題の解説と感想(図形・円と直線)

2017年(平成29年)7月13日、大学入試センターが、新テスト

マークシート式問題のモデル問題例」及びモニター調査実施結果

発表した。

 

マークシートと言っても、記述式答案を原型にして作った問題だから

簡単ではないし、モニター(大学1年生)の結果を見ると、図形の問題

はあまり理解されてないように思われる。にも関わらず、最終的な答

(選択肢の番号)しか公表されてない。

 

そこで今回は、その問題(モデル問題例4、3つの円と直線の交点)

の解説と感想をごく簡単に書いてみよう。いつものように、何も参考

にせず、自力のみで書く。本試験前にネットで公表した資料なので、

著作権の問題は生じないと考える。

 

ちなみに記述式の問題例については、2ヶ月前に記事を書いてある。

 

 大学入学共通テスト、記述式の問題例(数学)の解説

       ~銅像を見込む角と位置

 

 

     ☆        ☆        ☆

まず、問題文の前半。と言っても、設問と点数の大部分はこの箇所

にある。

 

途中の問題文や選択肢は少し省略したが、要するに、証明の途中の

空欄に語句を記入して完成させる問題であって、選択肢が無くても、

大まかな流れは理解できるし、解答も可能。コンピュータも不要だ。

 

170715c  

 

170715b

 

170715d

 

170715e

 

 

      ☆        ☆        ☆

まず、空欄ア。点CとSを通る直線がAを通ることを証明するには、

直線CSと円O1の交点D(S以外)が、「A」と一致することを示せば

よい。また、他に同等の答の選択肢は無い。   

よって答はA、つまり3。これは86%の大学1年生が正解。

 

次に空欄イ。∠SAQと∠SDQは、円O1において1つの弧に対する

円周角になってるから、等しいのは当たり前。つまり、3点C、S、A

が一直線上にあることの証明には役立たない。よって答は、4

 

続いて空欄ウ。ここからが証明開始で、円O1に内接する四角形の

性質より、∠ASP=∠BQP。答は、2。

 

ここまでは正答率60%以上だが、これ以降は一気に低くなって、

40%~20%まで落ち込む。選択肢の数は5コ前後しかないので、

でたらめに選んでも正答率20%前後になる。ということは、大部分

の学生が理解できなかったということだ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

証明の流れをキレイにまとめ直すと、以下のようになる。

 

 ∠ASC=∠ASP+∠CSP

     =∠BQP+∠BRP (円O1とO3に内接する四角形の性質)

     =180°    (円O2に内接する四角形の内対角の和)

 

よって答は、エ(理由)が3オはCSPで、5カはBRPで、1

キ(理由)は2

 

上のように、等式の変形に、一連の流れを持たせれば理解しやすい。

最初の∠ASCを少しずつ書き直して、最後の180°という角度まで

到達させて行く。

 

 

      ☆        ☆        ☆

ところが、実際の設問の証明は、一連の流れを4つの文に分割して、

しかも接続詞も入れてないので、流れや意図、論理が読みにくい。

 

 四角形AQPSは円O1に内接するから、∠ASP=∠BQP

 四角形CSPRは円O3に内接するから、∠CSP=∠BRP

 四角形BRPQは円O2に内接するから、

    ∠BQP+∠BRP=180°

 よって∠ASPは180°なので、3点C、S、Aは一直線上にある。

 

このような分割した証明の書き方は、中学の教科書や参考書などでも

よく見かけるものだから、作成者にとっては普通の書き方なのだろう。

ただ、せめて2行目に「一方」、3行目に「ここで」と接続詞を入れるべき

だと考える。冒頭に、「∠ASC=∠ASP+∠CSP」という前置きを

書いてないのは、意図的に問題を難しくしたのだとしても。。

 

 

      ☆        ☆        ☆

続いて、正答率わずか20%で、ほとんど出来なかった設問。時間

が無くなることを考えても、直前までの正答率とは極端な差がある。

 

170715f

 

170715g

 

170715h2 

 

 

     ☆        ☆        ☆

以下、以前の証明と同じような書き方で、新たに書き直してみよう。

あえて真似してるだけであって、わかりやすくはないし、滑らかでも

ないので、念のため。修正点はピンク色にした。

 

 一つの弧に対する円周角は一定であるから、

       ∠ASP=∠BQP

 一つの弧に対する円周角は一定であるから、

       ∠CSP=∠BRP

 一つの弧に対する円周角は一定であるから、

       ∠BQP=∠BRP

 よって、∠ASP=∠CSPなので、

 3点C、S、Aは一直線上にある。

 

こう書くと、接続詞がない不自然さが明らかだし、それぞれの弧の

名前(AP、CP、BP)も書いた方がいいはず。

 

いずれにせよ、(a)(c)(e)(f)(g)のみを修正したのだから、

答は3

 

 

      ☆        ☆        ☆  

実戦的には、たとえ証明が分からなくても、次のように考えれば、

答として3番を選択できることになる。

 

(f)、つまり∠BQP+∠BRP=180°は間違いであって、

修正する必要があるから、選択肢の0と1は不適。

 

また、(b)の箇所、つまり∠ASP=∠BQPは正しいから、

修正する必要はない。よって、選択肢の2は不適。

 

以上より、消去法によって、答は残る選択肢。つまり、3。

 

 

     ☆        ☆        ☆

ただし、いずれにせよ、前の設問の証明を理解してる必要はあるし、

選択肢3が本当に正しいのかどうかは示されてない。それを示すのは

非常に難しいことだろう。

 

つまり、それら5つ「のみ修正すれば十分」だと示されただけで、

5つ「のみ修正する必要がある」ことは示されてない

 

この辺りも、中学や高校の数学で省かれてしまってる重要な点だ。

十分条件と必要条件は異なるとか教えつつ、実際の解答の中では

いま一つ活かされてない。

 

 

      ☆        ☆        ☆

最後に、私自身の証明を添えておこう。∠ASPから∠CSPへと

少しずつ変形していく、一連の流れをつけてる点が最大の違いだが、

最後の一言も重要だ。

 

 ∠ASP=∠AQP   (弧APに対する円周角)

     =∠BQP

     =∠BRP   (弧BPに対する円周角)

     =∠CRP

     =∠CSP   (弧CPに対する円周角)

 

よって、∠ASP=∠CSP。

しかも、直線SPに対して点AとCは同じ側にあるので、

3点C、S、Aは一直線上にある。

             (Q.E.D. 証明終了)

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

                    (計 2467字)

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