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数学甲子園2017本選Math Battle、問題と解き方(abema動画)

(☆18年9月追記: 翌年の記事アップ。

数学甲子園2018予選、正答率の低い

   3つの問題の解き方と感想 )

 

(☆18年4月21日の追記: 3日前、全問題と答のみが公開された。

  以下の答はすべて正しいことを確認。

  残りの問題の解説はとりあえず半分、別記事でアップした

 

   Math Battle(マスバトル)、問題と解き方2

 

 

    ☆       ☆       ☆

数学甲子園2017は、去年と違って動画配信の告知が無かったから、

早くも放送中止かと思ってたら、配信されてた。

 

公式HPを見ると、3日前の9月14日にニュースが掲示されたらしい。

台風18号のせいではないだろうから、単に放映の決定が遅れたと

いうことか。あるいは過去問の公開と同じく、サイト運営が全般的に

遅くなってるのか。去年まではもっと早かったのだ。

 

 

     ☆        ☆        ☆

とにかく、abemaの録画で序盤だけ見ると、去年は会場の様子を

風景みたいに映すだけだった第1ステージ(Math Battle

=マス・バトル)が、実況付きになってた。

 

サイエンスナビゲーター・桜井進と、ジャズピアニスト・中島さち子の

2人が担当。この世界だとどちらも有名人のようで、私は朝日新聞の

記事で知ってた。

 

マス・バトルは、日本語12問、英語6問、計18問をチームで60分

で解くステージで、去年より難易度がレベルアップ。終わった後の

感想でも、複数の選手が難しかったとか言ってた。

 

英語の問題で、実況2人が最初の1分間、誤解してたのが象徴的。

視聴者コメントの助けを借りてた。

 

「周長」という英単語(perimeter)を「直径」と混同しただけ

なら、文脈の解釈ですぐカバーできたはず。正多面体を面に平行な

平面で切断すると、特徴的な多角形ができるという話だ。やはり問題

が難しかったというべきか。

 

前から指摘してるように、プロもわりと普通の問題で間違えたり解け

なかったりするのは確かなこと。外国語が苦手な人も結構いる。これ

は学問や教育だけでなく、人間にとって本質的に重要な事実だと思う。

「有限性」の問題。コンピューター、AI、ロボットについても同様。

 

 

     ☆        ☆        ☆        

とりあえず、私が見た序盤の放送できっちり紹介された8問と、画面

から読み取れた1問について、問題文と解き方、考え方、感想を紹介

しよう。正答は1ヶ月後くらいに追記するので、実力試しにどうぞ♪

 

他の問題がその後の放送で紹介されたかどうか、正答発表があった

かどうかは知らないので悪しからず。長過ぎて全部見る余裕はない。

残りの問題は、また公開され次第、別記事で扱う予定。

 

ちなみに、優勝(文部科学大臣賞)は灘高校・バンジー改チーム。

準優勝は南山女子部、敢闘賞(3位)は大阪星光学院。詳しくは

数学検定facebookをご覧あれ。いずれもマス・バトルは

150点だから、満点なのか、あるいは18問中の15問正答か。

 

灘が優勝したのは、競技ルールを変更したからだと思う。今までと

比べると、普通に学力優秀な生徒が有利な大会になったのだ。

 

170918a

 

 

      ☆        ☆        ☆

問題1 次の式を整数係数の範囲で因数分解しなさい。

     x⁸-2x⁶-x⁴-2x²+1

 

解き方 最初の問題だから、簡単にしてくれたのかも。

    係数と次数が対称的になってるから、いきなり

    第一段階の因数分解ができる人もいるだろう。

    普通はまず、x⁴(x⁴-2x²-1-2/x²+1/x⁴)

    として、カッコ内で x²+1/x² をXとおくところか。

    途中で終わりにせず、最後まで因数分解しないと、

    減点かバツになる。

 

 

(☆10月25日の追記:

 答 (x²+x+1)(x²+x-1)(x²-x+1)(x²-x-1) )

 

 

問題3 aをもっとも小さい数とする、連続するn個の正の整数

    があります。これらの和が1000であるとき、(a,n)

    の組として考えられるものをすべて求めなさい。ただし、

    nは2以上の整数とします。

 

解き方 等差数列の和の公式を使うと、aとnの方程式が出る。

    さらに整数という条件に着目。因数分解と素因数分解、

    積の形への分解、不等式による変域の制限などを使う

    と絞り込める。偶数と奇数にも注目したけど不要だった。

 

 

(☆10月25日の追記:

 答 (a,n)=(28,25),(55,16),(198,5) )

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題4 1個の白球と2個の赤球が入っている袋があります。

    この袋の中から中身を見ずに球を1個取り出します。

    取り出した球が白球なら、取り出した球に赤球を1個

    加えて袋に戻します。取り出した球が赤球なら、取り

    出した球に白球を1個加えて袋に戻します。この試行

    を繰り返すとき、n回めの試行で白球が取り出される

    確率Pnを求めなさい。 

         (注. 原文ではPは小文字)

 

解き方 球の個数に注目。漸化式を立てて変形して解く。

    k回目に白の確率がPkとすると、この記号を使って、

    k回目の直前の白と赤の個数を表せる。

    すると、k+1回目の直前の白と赤の個数も表せて、

    P k+1 をPkで表す漸化式が出る。

    この後、たまに見るテクニカルな変形をちょっと

    使うと、複雑に見える漸化式がキレイに解ける。

 

 

(☆10月25日の追記:

 答 n(n+3)/2(n+1)(n+2) )

 

 

問題6 次の関数の最小値、およびそのときのxの値を求めなさい。

   y=2・{ 3の(3x-1)乗 }+2・{ 3の(-3x-1)乗 }

    -(1/2)・{ 3の(2x+1)乗 }

    -(1/2){ 3の(-2x+1)乗 }-2

 

解き方 これはわりと簡単。まず、3のx乗を X とおく。

    さらに X+1/X を t と置き換えればよい。

    自分で導入した文字の変域に注意。

 

 

(☆10月25日の追記:

 答 -11/3,x=0 )

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題8 ベクトルnを単位ベクトルとします。点A(ベクトルa)

    を通り、ベクトルnに垂直な平面をαとし、点B(ベクトルb)

    平面α上にないものとします。このとき、平面αに関して

    Bと対称な点Cの位置ベクトル「ベクトルc」を、ベクトルn、

    ベクトルa、ベクトルbを用いて表しなさい。

 

解き方 BCと平面の交点をHとすると、Hは垂線の足で、

    ベクトルc=ベクトルb+ベクトルBC

         =ベクトルb+2(ベクトルBH)

    ここで、ベクトルBHをベクトルnのt倍とおいて、

    AHとBHが垂直という条件からtを決定すればよい。

    ベクトルその他は成分表示せず、そのまま使う方が

    速いしハイレベル。内積を用いる。

 

    慣れてる人にとっては簡単というか、やったことのある

    問題だろう。司会の桜井進は答を覚えてると力説してた。

    情報バラエティなら、お笑い系の司会者が「何ですか?」

    と聞いて、間違いを誘って突っ込むパターンがお約束♪

 

 

(☆10月25日の追記: Hを使わない方が少し速いかも。

 答 b+2{(a-b)・n} n  内積は丸点の箇所のみ )

 

 

問題9 次の確率密度関数f(x)を考えます。

   f(x)=(2/3)x (0≦x<1)

      =1-(1/3)x (1≦x≦3)

      =0 (x<0,3<x)

   これをグラフで表したとき、右の図のように

   三角形状になります。f(x)が定める確率分布

   は三角分布とよばれ、自然現象や社会現象

   を説明する統計モデルとしてしばしば登場

   します。

 

170918b

 

    f(x)を確率密度関数にもつ確率変数Xに

   ついて、その分散を求めなさい。

 

解き方  まず、xf(x)の積分で平均mを求めた後、

     (x-m)²f(x)の積分で分散Vを求める。

     ー∞<x<∞の区間を、f(x)の定義域に

     合わせて分割して定積分。単純計算だが

     意外と面倒。

 

     私は全く知らなかったけど、三角分布の

     平均や分散を求める公式もあったから、

     検算に使って、答が合ってるのを確認した。

     無限区間の積分だから、本来は大学の

     問題で、慣れてない生徒が多いと思う。

 

 

(☆10月25日の追記: 答 7/18 )

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題12 右の枠内は、あるプログラムを言葉で表現したもの

   です。とくに指示がない場合は、①から順に処理をします。

    ①でMに20000、Nに10、Rに1を入力したときに

   出力される値を求めなさい。

 

   (以下、枠内)

   ① 正の整数M、N、Rを入力する。

   ② Aの値を1とする。

   ③ Rに0.01をかけた後、1を加えた値を

     新しいRの値とする。

   ④ MにRをかけた値をPの値とする。

   ⑤ Aの値とNの値が等しいとき、有効数字3桁

     で表したPの値を出力して処理を終了する。

     Aの値とNの値が異なるとき、⑥へ進む。

   ⑥ MとPの値の和にRの値をかけた値を

     新しいPの値とする。

   ⑦ Aに1を加えた値を新しいAの値として、

     ⑤へ戻る。

 

解き方 自分でブログラム通りに少し計算してみると、何の話か

    すぐ分かる。大会の協力団体となってる日本公認会計士

    協会、日本アクチュアリー会に配慮したような、ビジネス

    の実用的問題。

    ポイントは、面倒な単純計算を正確にこなすこと。電卓

    とか使えば簡単だけど、人力だから「有効数字3桁」

    という条件を上手く活用する。

 

 

(☆10月25日の追記: 答 2.11×10⁵ )

 

 

問題13 The graph of y=-2x³+4x is

    translated 3 units in the

    positive vertical direction and

    2 units to the left,and is then

   reflected in the x-axis.Find the

    equation of the resulting graph

    in the form y=ax³+bx²+cx+d.

 

解き方 3次関数のグラフを、y軸の正の向きに3、

    左向きに2、平行移動して、さらにx軸で

    折り返す。英語さえ読めれば、教科書の

    章末問題くらいの簡単なレベル。

    確か、参考書持ち込み可だから、チャート

    式とかに似た問題が載ってそうだ。

 

 

(☆10月25日の追記:

 答 y=2x³+12x²+20x+5 )

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題18 A regular octahedron of edge

     length a is cut by a plane

     parallel to one of its faces.

     Find the perimeter of the

     section.

 

解き方 辺の長さaの正八面体を、一つの面に平行な

    平面で切る。切り口の周の長さを求めよ。

 

    どこで切るのか、指示が何も書いてないから、

    どこで切っても同じ定数だろうと予想できる。

    最後の答しか採点基準に入ってないのなら、

    八面体の面すれすれに切れば答が出る♪

    マジメに解くのなら、展開図に切り口を表す

    線を書くのが普通。

 

(☆10月25日の追記: 答 3a )

 

 

それでは、正答その他の追記はしばらく後回しにして、

今日はこの辺で。選手や引率の先生、スタッフの皆さん、

どうもお疲れさま。。♪☆彡

 

 

 

cf. 数学甲子園2016本選1st Stage、全問題の解き方

   2016予選、全20問の問題、解き方、感想

  2016(Abemaライブ配信)、前半感想

  2015準々決勝、全問コメント&解き方

  2015予選、全20問の問題、解き方、感想

  2014準々決勝、全問コメント&問題10解答・別解

  2013予選のポイント、問題15の解説&解答

  2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

  数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ (2011)

 

             (計 3980字)

   (追記437字 ; 合計4417字)

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