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数学甲子園2017予選、全20問の問題、解き方、感想

(☆18年9月追記: 翌年の記事アップ。

数学甲子園2018予選、正答率の低い

   3つの問題の解き方と感想 )

 

 

    ☆    ☆    ☆

情報公開が遅くなったとかボヤいてたら、予選の公開は
まあまあ早かった。と言っても、以前よりはまだ遅い。
    
とにかく例年通り、今年(2017年)も数学
甲子園の予選を解説しとこう。この記事はいつも以上に
スマホからのアクセスの割合が高いだろうから、1行
を短くして入力する。パソコンの方、悪しからず。
    
あと、たまたまこの記事はiPad入力だから、
レイアウトがちょっと不自然になってる。
ちなみに、過去の関連記事は以下の通り。ここだけは
以前のPC入力のコピペ。
    

cf. 2017本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

数学甲子園2016本選1st Stage、全問題の解き方

   2016予選、全20問の問題、解き方、感想

  2016(Abemaライブ配信)、前半感想

  2015準々決勝、全問コメント&解き方

  2015予選、全20問の問題、解き方、感想

  2014準々決勝、全問コメント&問題10解答・別解

  2013予選のポイント、問題15の解説&解答

    

  2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

  数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ (2011)

 

    ☆ここからしばらく、表示が崩れてしまって、

  なぜか直せない。後でパソコンで修正する。

 

 

    ☆    ☆    ☆
それでは本題に入ろう。全体的に難しめになってた。
答を出すだけとはいえ、60分で完答して満点を
とるのは大変だろう。出題者や審査員にとっても♪
   
   
問題1。簡単。
(x²ー3xー9)(x²ー3x+1)+11
  の因数分解。
   
   
まず、x²ー3x=Xとおいて展開して因数分解。
さらに細かく、xで因数分解。解答は、
(x+2)(xー1)(xー2)(xー5)
   
   
問題2。普通だけど、正確に。
放物線y=x²+4kxー2k²+11kー4
がx軸と共有点を持ち、その全てがx<ー2の
範囲にあるような、定数kの範囲。
    
平方完成して、グラフを書いて解く。
頂点がx軸の上か下側で、x<ー2の範囲にある。
さらに、x=ー2の点がx軸の上側。
これらより答は 4/3 ≦ k < 3/2
   
   
問題3。簡単だけど、スピードが問われる。
10578/11562 を既約分数で表せ。
   
1ー (984/11562)
と変形すると、分母・分子が2、3、41
で割れるのが分かる。
答は、  43/47
   
   
問題4。普通か、やや難。
AB=8、BC=15、CA=17の
三角形ABCで、内接円とAB、BCの
交点をそれぞれD、Eとする。
AEとCDの交点をFとするとき、
CF:FDを求めよ。
      
まず、内接円とCAの接点をGとして、
3頂点から接点までの距離を求めると、
AD=AG=5。DB=BE=3。
EC=12。あとはどうやってもいいけど、
メネラウスの定理でDF/FC=5/32
と求めるのが最速。答は、32:5
   
   
問題5。簡単というより、一瞬♪
a、bは正。ab=6の時、
5a+2bの最小値は?
   
相加・相乗平均の定理より、
5a+2b ≧ 2√(5a・2b)
∴ 5a+2b ≧ 2√60=4√15・・・答
   
       
   
    ☆    ☆    ☆
問題6。簡単だからスピード勝負。
{2/(√3+i)}³ の計算。
      
普通に計算してもいいけど、極形式を使えば暗算。
分母・分子を入れ替えると、
(cos30°+i・sin30°)³
=cos90°+i・sin90°=i
∴ (与式)=1/i= ーi ・・・答
   
    
問題7。普通だけど細かいミスで減点されやすい。
0≦θ<2πで、
√6cos2θー√2sin2θ=2 の解。
      
cosの加法定理を使って三角関数を合成すると、
√8cos(2θ+π/6)=2
∴ cos(2θ+π/6)=1/√2
一方、π/6≦2θ+π/6<4π+π/6。
答は、 θ=π/24,19π/24,
25π/24,43π/24

   
   
問題8。簡単。あぁっ!、通信エラーで
入力が 2問分消えてしまったから、もう手抜き!
log(10)2=aの時、
log(5)10をaで表せ。
   
対数の底を10に揃えて、真数の 5は10/2。
答は、1/(1ーa)
   
   
問題9。簡単。
A1=1, A(n+1)=ー2An+6
    
A(n+1)ー2=ー2(Anー2)
An=2ー{(ー2)のnー1乗} ・・答

問題10。フーッ、気を取り直して。。 簡単。
20人に5点満点のテストをした。結果は、
0点1人、1点3人、2点3人、
3点5人、4点4人、5点4人。標準偏差を
小数第2位まで求めよ。
      
平均は3点。普通に標準偏差の定義(分散の√)で
計算すると、√(11/5)。つまり(√55)/5。
√55は7.42より僅かに小さい数だから、
求める数は、 1.48 ・・・答

    ☆    ☆    ☆
問題11。普通だけど、プレッシャーがかかるかも。
平面上に半径rの球があり、中心を通って平面に
垂直な直線上の点(高さh)から光が放射状に出る。
平面上の球の影が球の表面積に等しい時、
hをrで表せ。
    
直線を含む断面図を書くと、斜辺の長さhーr、
他の2辺がrと√(h²ー2hr)の割合
の直角三角形が2つ出来る。
三角比で、影の円の半径を求めると、
hr/√(h²ー2hr)。
よって条件より h=8r/3 ・・・答
   
   
問題12。簡単だけど注意。ベン図で確実に。
生徒200人が、E検定、K検定、S検定を受験。
各合格者は93人、117人、110人。
KとSの合格者55人。SとEは33人。
3つとも合格は12人。3つとも不合格は0人。
EとKのみ合格した人数は?
    
3集合の要素の個数に関する加法定理で、
200ー0
   =93+117+110ー(EK合格者数)
      ー55ー33+12
∴  (EK合格者)=44
∴ (EKのみ合格者)
  =(EK合格者)ー(3つとも合格した者)
  =44ー12
  =32(人)・・・答
   
   
問題13。簡単。
aは正の定数。a、a+2、a+4を3辺の
長さとする鈍角三角形が存在するとき、
aの範囲は?
   
まず、三角形ができるための条件は、
a+(a+2)>a+4    ∴ a>2
また、鈍角になるための条件は、
a²+(a+2)²<(a+4)²
∴ ー2<a<6
以上より、 2<a<6 ・・・答
   
   
問題14。超簡単。
9人を2人、2人、2人、3人の4グループに
分ける方法は何通りか。
   
まず、その順で普通にグループを作ると、
9C2 × 7C2 × 5C2
  =36×21×10=7560(通り)。
それらは、2人ずつの3グループの順を入れ替えた
6通りを重複して数えてしまってるので、実際は、
7560/6=1260(通り)・・・答
   
   
問題15。唯一の難問。最後に回して捨てる
イメージ♪  時間が20分あったとしても不安。
      
ある国には3つの航空会社A、B、Cがあって、
11の都市を結ぶ。どの会社が全便欠航しても、
他の2つの会社を乗り継いで、全ての都市間を
移動できるようにする。最小の全路線数は?
      
各会社の路線数をa、b、cとする。
11の都市を結ぶ最低路線数は10(帰納法)。
一直線タイプでも、中心の1点から放射状に
引いても同様。
a+b≧10,b+c≧10,c+a≧10
∴ a+b+c≧15
また、a+b+c=15の場合は
確かに存在する。
底辺がA、左上がB、右上がCの三角形を
底辺側で5個つなげばよい。あるいは、
同じパターンの三角形を、ある頂点を中心と
して、放射状に5個つないでもよい。
よって最小の全路線数は15本。・・・答

   
    ☆    ☆    ☆
問題16。普通か、やや難。
4個のサイコロA、B、C、Dを振って、出た目の
数の積が合成数(素数の積)になる確率は?
   
合成数にならない場合は、全て1の場合か、
3個が1で1個が素数(2、3、5)の場合。
∴ (合成数にならない確率)
    =(1/6)⁴+4×(1/6)³×1/2
    =13/1296
∴ (合成数になる確率)
   =1ー13/1296
   =1283/1296 ・・・答
   
   
問題17。やや簡単。
分母・分子がxの1次式である分数式f(x)で、
f(2)=0、 f(6)=4、 f(8)=9。
このとき、f(18)は?
      
f(x)=a(xー2)/bx+c
とおいて、
f(6)=4a/(6b+c)=4
f(8)=6a/(8b+c)=9
これらより、
f(x)=ー6(xー2)/(xー12)
∴ f(18)= ー16 ・・・答
   
   
問題18。やや難。
xy平面上に、次の連立不等式で表される
領域Dがあり、点P(x,y)が動く。
x²+yー3≦0
x²+2yー4≧0
y/(x+2)の最大値と最小値を求めよ。
    
y/(x+2)=kとおくと、
y=k(x+2) (x≠ ー2)
この直線(1点を除く)が、 D内を通るという
条件のもとで、傾きkの最大・最小を求める。
最大値は、放物線x²+yー3=0と接する
ときで、判別式0より、k=2。・・答
最小値は、2つの放物線の右側の交点
(√2,1)を通るときで、
k=(2ー√2)/2。 ・・・答

問題19。やや簡単。ベクトル記号は省略。
三角形ABCの内部に点Pがあり、
ベクトル方程式
2PA+3PB+4PC=0。
三角形APB、BPC、CPAの面積比を
最も簡単な整数で表すと?
   
ー2AP+3(ABーAP)
     +4(ACーAP)=0
∴ AP
   =(7/9){(3AB+4AC)/7}
よって、辺BCを4:3に内分する点をDと
すると、Pは線分ADを7:2に内分する点。
したがって面積比は、
4×7:{(4×2)+(3×2)}:3×7
   =28:14:21
   =4:2:3 ・・・答

問題20。普通だけど、時間と点数で差がつく。
放物線y=ーx²+4xとx軸で囲まれる領域を
直線y=axが2等分する。定数aの値は?
    
放物線とx軸の交点のx座標は、0と4。
1/6公式を使うと、領域の面積は
(4ー0)³/6=32/3。
よって2等分した面積は、16/3。
放物線と直線の交点のx座標は0と4ーa。
よって、再び1/6公式を用いると、条件は
(4ーaー0)³/6=16/3
∴ (4ーa)³=32
∴ a=4ー2³√4 ・・・答
    
    
以上でとりあえず終了。これは不自由なiPad入力
の記事なので、後で色々と修正するつもり。
今週の合計字数のカウントもまた後ほど

(☆追記 16533字)。

 

ではまた来週。。☆彡

 

 

 

P.S. 翌年の春、本選記事の続編を追加。

  数学甲子園2017本選

    Math Battle、解き方2

 

             (計 3939字)

   (追記132字 ; 合計4071字)

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数学」カテゴリの記事

コメント

予選の解答、20問、拝見しました。爽やかに解いていますね。完璧です。テンメイさんが唯一の難問と言われた問15、その通りですね。本線の会場で予選の説明があり、唯一問題の解説があったのが問15でした。解き方はテンメイさンと同じです。審査員委一人がこんなことをつぶやいていました。
”グラフ理論の言葉で言えば、11頂点のグラフで、辺を3色で着色して、どの2色の辺からなる全域部分グラフも連結になるもので、辺数最少のものを構成せよ、という問題です。
2色の辺で連結だから、その部分で辺が10本以上。それが3組だから30本。これだとどの辺も2回数えているから、2で割って、15本が最少というわけ。”

投稿: gauss | 2017年10月25日 (水) 01時16分

> gauss さん
  
こんばんは。お褒め頂き、どうもです♪
解くよりも、iPadで数学記事を入力する方が
遥かに大変でした。
  
なるほど。グラフ理論の彩色を利用できるわけですか。
思いつかないし、そもそも彩色の考え方を知らないのですが、
より具体的にはどうなるんでしょうかね。
10×3÷2だと、計算としては着色なしと同じだし、
最小値をとる場合の色付けの求め方が気になります。
   
ところで、本選記事に9問分の答えを追記しましたが、
合ってるでしょうか?
まだ問題も答も発表されてないので、
おヒマな時にでも答合わせして頂ければ幸いです。
漸化式で確率を出す問題と、コンピューター問題が
ちょっと不安かも。。

投稿: テンメイ | 2017年10月25日 (水) 23時56分

全問良いと思います。コンピュータ問題ですが、10年間、毎年20000円を積む、その時の利率は年1%の複利、これを計算(公比=1.01の等比数列の和)すると、211336.693330633円なので
2.11x10^5 テンメイさんの解答の通りです。

投稿: gauss | 2017年10月26日 (木) 02時07分

> gauss さん
   
こんばんは。素早い応答、どうもです。
流石のポテンシャルですね。
 
今年の本選で電卓機能が使えたのかどうか未確認ですが、
(1+0.01)の10乗の二項展開で、
中盤から右側を捨てて近似しました。
  
最近は金利がゼロに近いままなので、毎年一定額の
積み立ての複利計算には懐かしさを感じます

投稿: テンメイ | 2017年10月26日 (木) 22時19分

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