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気体の状態方程式、熱気球、ピストンと仕事~物理の問題と解き方8

問題文を書き写すのが面倒で、なかなか進まない『物理重要問題

集』シリーズ、第8弾。何と4ヶ月も間が空いてしまったが、今回も

数研出版が集めた過去の大学入試問題を解説してみよう。

 

今回、ずいぶん間が空いたのは、この単元の内容がどうもピンと

来ないからだ。熱気球の上昇と下降、ピストン運動、断熱膨張など、

何の値が固定されてて何が変化するのか、どうやって変化させてる

のか、自分で実験したこともないし問題文でも説明が不十分。まあ、

それが自分で想像できるのも物理の実力ということか。

 

これまでの7本は次の通り。他にも物理カテゴリーの記事は色々あ

るし、数学カテゴリーには多数の記事がある。相変わらずアクセス

は地味に続いてるので、受験生その他の需要はあるようだ。

 

 等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング~物理1

 運動の法則、浮力、物体の連結と分離~物理2

 動滑車、摩擦力(静止・動)、バネの弾性力~物理3

 等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星~物理4

 単振動、ばね振り子、水平ばね2本~物理5

 物体の衝突、運動量保存法則、はねかえり係数~物理6

 温度と熱量、熱容量、比熱~物理7

 

今回は第8章、気体分子の運動(p.48~)のA問題から3問。化学

に近い分野でもあるので、私自身も含め、化学があまり好きでない

人は苦手意識を持ちやすいと思う。

 

いつものように、式や説明は私が書いたもの。読みやすさと入力

環境のため、小文字を大文字に変えたり、添え字を小文字に変え

たりしてるが、言葉遣いは元のままだ。

 

 

     ☆        ☆        ☆

 76 (気体定数の計算) 関西学院大

 

 1molの理想気体は、標準状態でその体積は22.4Lと

 なる。この事実から気体定数を〔J/mol・K〕の単位で

 導け。有効数字は2桁まで計算せよ。1atmでは一端を

 封じた長さ約1mのガラス管に水銀を満たし、そのガラス

 菅を水銀の入った容器に、開口部を下にして鉛直に

 立てると、ガラス管の上部に空間を生じる。ガラス管内

 の水銀面は水銀容器の水銀面からの距離、すなわち

 水銀柱の高さは76cmである事を利用せよ。また水銀

 の比重は13.6であり、重力の加速度を9.8m/s²

 とせよ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

 (解答)

 (大気圧)=(ガラス管内の水銀の重さがもたらす圧力)

      =(管内の水銀の重力)/断面積S(m²)

      =(体積)×(単位体積あたりの質量)×

         ×(重力加速度)/S

      =0.76×13600×9.8

      ≒101300 (N/m²)

 

 この値を、気体の状態方程式に代入すると、

  101300×0.0224=1×R×273

  ∴ R≒8.3 (J/mol・K) ・・・答

 

 

 (解説・感想)

 非常に有名な実験だから、ほとんどの人は知ってる

 だろうし、結果の値も有名で、受験生なら暗記してる

 のが普通。

 ということは、途中の式で単位の換算ができてるか

 どうかが採点のポイントになる。すべてmks単位系

 で揃えればよい。長さはメートル、質量はkg。

 

 

     ☆        ☆        ☆

 77 (熱気球) 電気通信大

 

 圧力p₀、温度T₀の大気中に容積V、質量mの変形

 しない容器がある。

 

 (1) まず大気の密度ρ₀を求めよ。ただし、大気を

   理想気体とみなし、その1molの質量をM₀、

   気体定数をRとする。

 (2) 器内の圧力をp₀に保って器内の温度を上げて

   いくと、ある温度Tで器が宙に浮き始める。その

   温度Tを求めよ。ただし、器は熱を伝えないもの

   とする(熱気球の原理)。

 (3) 器内の温度をT₀に保って器内の圧力を下げて

   いくとある圧力pで器が宙に浮き始める。その

   圧力pを求めよ。

 (4) はじめ、器内を真空にし、のち、温度をT₀に

   保ちながら、ヘリウム・ガスを詰めていくとある

   圧力pで器が宙に浮かなくなる。その圧力pを

   求めよ。ただし、ヘリウムも理想気体とみなし、

   その1molの質量をMとする。

 (5) p₀=1atm、T₀=273K、V=44.8L、

   m=14g、M₀=28g/mol、M=4g/mol、

   R=0.082atm・L/mol・Kとおいて

   (1)のρ₀、(2)のT、(3)のp、(4)のp

   を計算せよ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

 (解答)

 (1) 大気の1molあたりの体積をV₀とすると、

    p₀V₀=1RT₀より、 V₀=RT₀/p₀

    ∴ ρ₀=M₀/V₀

        =M₀p₀/RT₀ ・・・答

 

 (2) 温度を上げると、器内の気体分子は外に

   逃げる。器内の新たなモル数をnとすると、

   p₀V=nRT  ∴ n=p₀V/RT

   よって器内の大気の質量は、 p₀VM₀/RT

   器の質量はmだから、重力加速度をgとすると、

   (容器全体の重力)=(p₀VM₀/RT+m)g。

   浮き始める時には、この重力が浮力と一致。

   ∴ (p₀VM₀/RT+m)g=ρ₀Vg

  ∴ p₀VM₀/RT+m=M₀p₀V/RT₀

  ∴ T=p₀M₀T₀V/(p₀M₀V-RT₀m) 答

 

 (3) 器内のモル数がnになったとすると、

   pV=nRT₀  ∴ n=pV/RT₀

   ∴ (容器全体の重力)

    =(pVM₀/RT₀+m)g

   これが浮力と一致するから、(2)と同様に

   pVM₀/RT₀+m=M₀p₀V/RT₀

   ∴ p=p₀-(RT₀m/VM₀) ・・・答

 

 (4) 器内のヘリウムのモル数がnとすると、

   pV=nRT₀  ∴ n=pV/RT₀

   (2)(3)と同様に考えて、

   pVM/RT₀+m=M₀p₀V/RT₀

   ∴ p=(M₀p₀V-mRT₀)/MV ・・・答

 

 (5) 代入して計算すると、

   ρ₀=1.3(g/L), T=3.6×10²(K)

   {(3)のp}=0.75(atm)

   {(4)のp}=5.3(atm) ・・・ 答

 

 

 (解説・感想)

 (2)は地上から浮き始める時。(3)はかなりの

 上空で、大気圧が下がった時の話だと思う。

 (4)は下降する時だと思うが、真空にすると

 いう設定の意味は不明。大気を追い出して、

 ヘリウムだけ満たすということか。

 最後の計算の過程は省略したが、約分と近似

 を上手く使ってもちょっと面倒だった。完答した

 受験生はかなり少ないだろう。

 

 

     ☆        ☆        ☆

 83 (ボイル・シャルルの法則と

      外気のする仕事)  熊本大

 

171109a

 

 図のように1molの単原子理想気体の入った

 断面積S〔m²〕の円筒容器が軸を鉛直にして

 固定されている。この容器にはなめらかに動く

 ピストンがあり、外気の温度がT〔K〕、その圧力

 がP〔N/m²〕のときに容器の上の内面から

 ピストンまでの距離はL〔m〕であった。ビストン

 の重さは無視できるものとし、重力加速度を

 g〔m/s²〕として次の問いに答えよ。ただし、

 答えは気体定数R〔J/K・mol〕を用いずに

 表せ。

 

 (1) このピストンに質量M〔kg〕のおもりを

   つるすとピストンは下の方へ動く。十分

   時間がたって気体の温度が外気と同じに

   なったとき、ピストンはもとの位置からいくら

   下がっているか。

 (2) 次に、ピストンがもとの位置へもどるまで

   容器内の気体を冷やした。このとき気体の

   温度はいくら下がったか。

 (3) (2)において外気がした仕事はいくらか。

 (4) (2)において容器の中の気体が失った

   熱量はいくらか。

 

 

      ☆        ☆        ☆

 (解答)

 (1) ピストンが下がることで増した分の浮力が、

    おもりの重力とつり合う。    

    ピストンが動く前後で、ボイル・シャルルの

    法則(温度一定)を使用。圧力をP₁、

    下がった長さをx(m)とすると、

    P(SL)=P₁S(L+x)

    ∴ P₁=PL/(L+x)

 

   「増した分の浮力=おもりの重力」より、

   {P-PL/(L+x)}S=Mg

  ∴ x=LMg/(PS-Mg) (m) ・・・答

 

 (2) 冷やした後の容器内の圧力をP₂、温度を

   T₂とすると、ボイル・シャルルの法則より、

    P/T=P₂/T₂  ∴ P₂=T₂P/T

 

   「初期状態より増した浮力=おもりの重力」

   より、(1)と同様に、

   (P-T₂P/T)S=Mg

   ∴ T₂=T-(MgT/PS)

   よって、元の温度Tから下がった温度は、

    MgT/PS (K) ・・・答 

 

 (3) 外気は圧力Pのまま、体積Sxだけ

    ピストンを押してるから、

   (外気がした仕事)

    =PSx

    =PSLMg/(PS-Mg) (J)・・・答

 

 (4) まず、気体定数を求める。

   初期の容器内の状態方程式は、

   P(SL)=1×RT

   ∴ R=PSL/T

   よって、

   内部エネルギーの減少は、

    (3/2)(PSL/T)(MgT/PS)

   =3LMg/2

   外気が容器内の気体に対してした仕事は、

    (外気がした仕事)-(おもりに対する仕事)

   =PSLMg/(PS-Mg)

     -Mg{LMg/(PS-Mg)}

   =LMg

 

   熱力学の第一法則より、

    (内部エネルギーの変化量)

     =(外から加えた熱量)+(外からされた仕事)

   ∴ (外から加えた熱量)

      =-3LMg/2-LMg

      =-5LMg/2

   ∴ (中の気体が失った熱量)

       =5LMg/2 (J) ・・・答

 

 

 (解説・感想)

 最初から気体定数Rを求めて解いてもいいが、

 出題者としてはボイル・シャルルの法則を使う

 ように誘導したつもりだと思う。

 

 最後、熱力学の第一法則は、書き方や読み方

 が色々細かく分かれるので、その場に応じて

 適当な形を使うことが必要。

 「外からされた仕事」にマイナスをつけると、

 「外に対してする仕事」。

 「外から加えられた熱量」にマイナスをつけると、

 「外に加えた熱量」。あるいは「失った熱量」。

 

 

次回は2ヶ月以内に書きたいと思うが、年末年始と重なるので、

年明けの1月下旬になるかも。今日のところはこの辺で。。☆彡

 

               (計 3731字)

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