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「分割数」の計算、数学者ラマヌジャンとスープ豆20粒の分け方627通り(朝日新聞・天声人語)

マニアック・ブログというものは、毎日12年半続けても書くネタには

困らないが、記事にする際に挫折することは時々ある (^^ゞ お目当て

の情報が見つからなかったり、見つかり過ぎてまとまらなかったり。

あるいは、計算があまりに面倒で挫けたり♪

 

今日は、近所の騒音攻撃で寝不足の中、朝日新聞・朝刊(17年

12月18日)の名物コラム・天声人語について記事を書くことに決定。

冒頭のコネタに飛びついたのだ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

 インド出身の数学者ラマヌジャン(1887~1920)は 

 英国滞在中、台所で豆のスープを作ろうとして挫折した。 

 並外れた数字好き。豆20粒を何通りに分けられるか 

 気になり、調理を忘れる。豆粒の数が何であっても使える 

 公式を求めて没頭したという

 

この種の問題は、一般的な公式どころか、20粒に限ったとしても、

解くのは面倒(人間にとっては)。高校数学の問題なら、普通は5つ

前後だろう。5個のりんごを分けるやり方とか。

 

ただ、30分もあれば20粒問題の答を出せそうだと誤解してしまった

から、豆の話を軽くトッピングして記事を書くことに決定。

 

ところが、そもそも豆の話が、いくら英語で検索しても出て来ない。

「Ramanujan soup beans 20」とか、色々試しても

ダメ。映画『奇蹟がくれた数式』(The Man Who Knew

Infinity)の英語シナリオにも英語原作にも発見できず。日本語で

検索すると、上の天声人語関連のページばかりがヒットしてしまう。

 

「どの『評伝』に載ってるんですか?」と、朝日新聞に電話して聞く

のも面倒だ。昔、不愛想なオヤ・・じゃなくて中高年男性が応答して

来たし♪

 

 

      ☆        ☆        ☆

仕方ないから、とりあえず豆のエピソードは諦めて、20粒の分け方

を考え始めた。

 

しらみつぶしの場合分けで書き並べて、たかが30分だろうと思った

けど、早くも20分でうんざりして来る (^^ゞ 高校時代なら、夢中に

なって一気に書き上げただろうけど、大人は途中でつい、他の事に

目が行ってしまうのだ。集中力減退か!

 

一応やった範囲だけでも書いとこう。何枚かのお皿に分ける方法で、

どの皿にも1粒以上の豆があるとする。それぞれの皿は区別せず。

個数が少ない順に、左から並べて集合を作ってみた。1枚もあり。

 

多少の規則性は利用できる。例えば「4粒の分け方」なら、最も

少ない皿は1粒か2粒。1粒の時には、残り3粒だから、「3粒の

分け方」を参考にできる。

 

しかし、最も少ない皿が2粒の時には、残り2粒だけど、「2粒の

分け方」をそのまま使えるわけではない。最少が2粒という条件

が付くからだ。重複組合せとか、何か上手い技を使えるのかも

知れないけど、まだ思いつかないし、探し回ることもしてない。

 

あっ!、「分割数」(number of partition)

解説と計算公式(分割関数:partition function)を

英語版ウィキペディアで発見☆ ラマヌジャンの研究も載ってる!

やっぱり、数が大きくなるとコンピューター計算するわけね。

 

171219a

 

とりあえず、答が分かった。20粒の分け方は、627通りとのこと。

p(20)=627。後ほど補足する予定。分割数だと、1皿だけの場合

もカウントするようなので、私もその考えに合わせた。

 

 

       ☆        ☆        ☆

では、やった所まで書いてみよう。まだ真面目にチェックしてない

から、数えもらしがあるかも。。

 

2粒 2通り (2); (1,1)

3粒 3通り (3); (1,2) ; (1,1,1)

4粒 5通り (4); (1,3) (2,2); (1,1,2); (1,1,1,1)

5粒 7通り

   (5); (1,4) (2,3); (1,1,3) (1,2,2);  (1,1,1,2); (1,1,1,1,1)

   
  
6粒 11通り (6); (1,5) (2,4) (3,3); (1,1,4) (1,2,3) (2,2,2);

    (1,1,1,3) (1,1,2,2); (1,1,1,1,2); (1,1,1,1,1,1)

7粒 15通り

   (7); (1,6) (2,5) (3,4);  (1,1,5) (1,2,4) (1,3,3) (2,2,3);

   (1,1,1,4) (1,1,2,3) (1,2,2,2);  (1,1,1,1,3) (1,1,1,2,2);

     (1,1,1,1,1,2);  (1,1,1,1,1,1,1)
   
8粒 22通り

   (8);(1,7) (2,6) (3,5) (4,4);(1,1,6) (1,2,5) (1,3,4) (2,2,4) (2,3,3)

    (1,1,1,5) (1,1,2,4) (1,1,3,3) (1,2,2,3) (2,2,2,2);

      (1,1,1,1,4) (1,1,1,2,3) (1,1,2,2,2) ;

    (1,1,1,1,1,3) (1,1,1,1,2,2) ;

    (1,1,1,1,1,1,2) ; (1,1,1,1,1,1,1,1)
   
9粒 30通り

   (9); (1,8) (2,7) (3,6) (4,5) ;

      (1,1,7) (1,2,6) (1,3,5) (1,4,4) (2,2,5) (2,3,4) (3,3,3);

      (1,1,1,6) (1,1,2,5) (1,1,3,4) (1,2,2,4) (1,2,3,3) (2,2,2,3);

   (1,1,1,1,5) (1,1,1,2,4) (1,1,1,3,3) (1,1,2,2,3) (1,2,2,2,2);

   (1,1,1,1,1,4) (1,1,1,1,2,3) (1,1,1,2,2,2);

   (1,1,1,1,1,1,3) (1,1,1,1,1,2,2)

   (1,1,1,1,1,1,1,2); (1,1,1,1,1,1,1,1,1)

 

 ・・・・・・中略・・・・・・

 

20粒

  1皿 1通り (20) 

  2皿 10通り (粒数を2で割って、小数点以下は切り捨て)

   (1,19) (2,18) (3,17)・・・・・・ (10,10)

  3皿  33通り 9+8+6+5+3+2

   (1,1,18) (1,2,17) (1,3,16) (1,4,15) (1,5,14) (1,6,13) (1,7,12) (1,8,11) (1,9,10)

    (2,2,16) (2,3,15) (2,4,14) (2,5,13) (2,6,12) (2,7,11) (2,8,10) (2,9,9)

      (3,3,14) (3,4,13) (3,5,12) (3,6,11) (3,7,10) (3,8,9)

      (4,4,12) (4,5,11) (4,6,10) (4,7,9) (4,8,8)

  (5,5,10) (5,6,9) (5,7,8)  ;

   (6,6,8) (6,7,7)

 

  4皿 63通り

    {9+7+6+4+3+1}+{7+5+4+2+1}+

    {5+3+2}+{3+1}

   (1,1,1,17) (1,1,2,16) (1,1,3,15)・・・(1,1,9,9)

      (1,2,2,15) ・・・(1,2,8,9)

   (1,3,3,13)・・・(1,3,8,8)

   (1,4,4,11)・・・(1,4,7,8)

   (1,5,5,9)・・・(1,5,7,7)

   (1,6,6,7)
   
   (2,2,2,14)・・・(2,2,8,8) ;(2,3,3,12)・・・(2,3,7,8);

      (2,4,4,10)・・・(2,4,7,7) ;(2,5,5,8) (2,5,6,7); (2,6,6,6)

   (3,3,3,11)・・・(3,3,7,7) ;(3,4,4,9) (3,4,5,8) (3,4,6,7)

   (3,5,5,7) (3,5,6,6)

   (4,4,4,8) (4,4,5,7) (4,4,6,6); (4,5,5,6)

 

  5皿 84通り??

      {8+7+5+4+2+1}+{6+5+3+2}+{4+3+1}+{2+1}

   +{6+4+3+1}+{4+2+1}+2

   +{3+2}+1

   +1 ??

   (1,1,1,1,16) (1,1,1,2,15)・・・(1,1,1,8,9)

   (1,1,2,2,14) (1,1,2,3,13)・・・(1,1,2,8,8)

   (1,1,3,3,12) (1,1,3,4,11)・・・(1,1,3,7,8)

   (1,1,4,4,10) (1,1,4,5,9) (1,1,4,6,8) (1,1,4,7,7)

   (1,1,5,5,8) (1,1,5,6,7) ; (1,1,6,6,6)

   (1,2,2,2,13) (1,2,2,3,12)・・・(1,2,2,7,8)

   (1,2,3,3,11) (1,2,3,4,10)・・・(1,2,3,7,7)

   (1,2,4,4,9) (1,2,4,5,8) (1,2,4,6,7)

   (1,2,5,5,7) (1,2,5,6,6)

    ・・・

   (2,2,2,2,12) (2,2,2,3,11)・・・(2,2,2,7,7)

   (2,2,3,3,10) (2,2,3,4,9) (2,2,3,5,8) (2,2,3,6,7)

 

  ・・・途中は断念・・・

 

  15皿 5粒の場合の数+1通り?

   (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,6) (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,5)

      (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,4)  ;  ?

  16皿 5通り

    (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,5) (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,4)

      (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3) (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3)

      (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2) 

  17皿 3通り

    (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3) (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,4)

      (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2)

  18皿 2通り

  (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2) (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3)

   19皿 1通り  (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2)

  20皿 1通り  (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)

 

 

面倒すぎるので、途中は断念した。いずれ、プログラミングして

コンピューターに書かせたい♪

 

とりあえず、正解も解説も見つけたことだし、今日はこの辺で。。☆彡

 

                 (計 4156字)

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