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「大学入学共通テスト」試行調査(プレテスト)、数学ⅡB・第3問(数列、薬を飲む量と時間間隔)の解説

「大学入学共通テスト」第1回試行調査(プレテスト)については、

既に国語の記事、数学ⅠAの記事を書いた。今日は、数学ⅡB

の記事を書いてみよう。

 

問題・解答その他、情報はすべて大学入試センターHPで公開

されてる。以下で扱う第3問は一応、選択問題だが、実際はほぼ

全員が選択。

 

要するに、これだけ統計とかビッグデータの重要性が強調される

時代になっても、相変わらず大部分の高校生は正規分布などの

統計を避けるわけだ。高校教育のあり方や授業の進め方、大学

入試問題の傾向が問われるべきかも知れない。

 

 

      ☆        ☆        ☆

この問題には数値記入があるが、文章の記述は入ってない。ただ、

内容的にも難易度的にも良問だと思う。少し難しめといった感じで、

誘導も適切。あえて注文を付けるなら、薬の名前のDという文字は

紛らわしいだけだろう。無い方が親切だ。

 

正答率は、簡単な前半は高いが、難しくなる後半は低い。選択肢

が一部に付いてることなどを考慮すると、後半は実質的に正答者

ゼロに近いが、数ⅠAほど極端な不出来にはなってない。

 

日常的な実用性もある問題で、要するに、薬を毎回飲むのは面倒

だが、まとめ飲みは効率が悪い、ということ。ただし、2回まとめて

飲むくらいなら大丈夫なように、安全性も配慮して作られてるのだ。

 

もちろん、まとめ飲みはしないのが原則なので、念のため。間が

空き過ぎると、途中で薬の効果が不足することになるし、まとめて

飲んだ直後には副作用が強まってしまうから。

 

      ☆        ☆        ☆

171213a

 

171213b

 

171213c

 

(1) a(1)、つまり1回目の服用直後の血中濃度はP。すなわち、5。

    a(1)= ・・・アの答

 

  薬の濃度が1/2になる12時間ごとに、濃度が5増えるのだから、  

  a(n+1) = ()a(n)+ ・・・イ、ウ、エ

 

171213d

 

公式より、各項から引くと等比数列になるような定数は、

 d=(漸化式の定数項)/〔1-{a(n)の係数}〕

  =5/(1-1/2)

  =10 ・・・オ、カ

 

 a(n)-10=(1/2){a(n)-10}

 よって{a(n)-10}は公比の等比数列。 ・・・キ、ク

 

階差数列をとるなら、

 a(n+2)-a(n+1)=(1/2){a(n+1)-a(n)}

  ∴ (公比)=1/2 ・・・ケ、コ

 

考え方1の方を使うと、

 a(n)-10=(1/2)(n-1乗){a(1)-10}

       =(1/2)(n-1乗)(-5)

 ∴ a(n)=10)(n-1乗)

       ・・・サ、シ、ス、セ、ソ

 

 

(2)

171213e

 

(1)で求めた一般項a(n)の式より、a(n)の値は常に10未満。

つまり、常にL=40を下回る。

よって、0番と1番は誤りで、2番は正しい。

 

また、2回目の服用直前、濃度が最も下がってる時でさえ、

 a(2)-5=(10-5×1/2)-5=2.5

よって、常に濃度はM=2を上回るので、

3番は正しくて、4番と5番は誤り。

 

したがって答は、と3番。 ・・・

 

 

(3)

171213f

 

(1)と同様に考えると、24時間ごとに濃度が1/4になるから、

 b(n+1)=(1/4)b(n)+5

 ∴ b(n)-20/3=(1/4){b(n)-20/3}

 ∴ b(n)=(1/4)(n-1乗){b(1)-20/3}+20/3

      =20/3-5/3(1/4)(n-1乗)

 ∴ b(n+1)-P=5/3-5/3(1/4)(n乗)

 

一方、a(2n+1)-5=5-5(1/2)(2n乗)

            =5-5(1/4)(n乗)

 

 ∴ {b(n+1)-P}/{a(2n+1)-P}

     =3 ・・・チ、ツ

 

 

(4)

171213g

 

24時間ごとにk錠飲む場合の、n回目の服用直後の濃度を

c(n)とすると、(1)(3)と同様に考えて、

 c(n+1)=(1/4)c(n)+5k

 ∴ c(n)=

    (1/4)(n-1乗)(-5k/3)+20k/3

 ∴ (24n時間経過後の服用直前の濃度)

   =(n+1回目の服用直前の濃度)

   =c(n+1)-5k

   =5k/3-5k/3(1/4)(n乗)

 

(3)より、これは12時間ごとに1錠飲む場合の(k/3)倍。

 これが1倍になる時、 k= ・・・

 

この時、

 (n回目の服用直後の濃度)

   =c(n)

   =20-5(1/4)(n-1乗)

 

これは常に20未満なので、L=40を超えることはない。

したがって、正しいのは番。 ・・・

 

 

     ☆        ☆        ☆

2回分のまとめ飲みをする場合は、「ある意味」、3倍の量が必要

になるというのは面白い結果だ。

 

ちなみに私は、基本的に2回以上のまとめ飲みはしない。飲み

忘れた時はそのままにするか、次回に1.5回分くらい飲む。

効き目が強い場合は、少し時間を空けて、1回分+0.5回分に

分けて飲むとか。もちろん、お勧めはしないので念のため。

 

最後のテとトは、真面目に計算しなくても、直前の(3)から想像が

つく。元の量のままだと3分の1の濃度になってしまうから、3倍飲む

ということだし、その程度で許容範囲を超えるとは常識的に思えない。

 

もっと言うなら、(3)とも無関係に、単なる勘でも正答できるだろう。

それはそれで、高い評価に値する能力だと思う。  

では、今日のところはこの辺で。。☆彡

 

               (計 2108字)

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