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円と正方形、10個重ねて作る図形の面積~桜蔭中学2018入試・算数

2月4日の朝日新聞の朝刊に、2018年桜蔭

中学校の入試問題(算数)が出てました。解答

例(最後の答だけ)はSAPIXの提供です。

試験は2月1日にあったようで、四谷大塚HP

も問題と正解(最後の答)を公開してました

 

桜蔭の問題はどれも面白いのですが、この

ブログ記事では、問題Ⅱ(1)の図形の問題

の解き方、考え方を解説します。小学生

(5、6年)でも読めるように書いてるつもり

ですが、解き方は小学校や塾と違ってるかも

知れません。文はスマホ向けに短く改行

してます。

 

桜蔭学園は入試結果をほとんど公表して

ませんが、日本でトップクラスの女子校

なので、合格者の多くはこの問題を6分

くらいで解いてるのだろうと思います。

普通の高校生や大学生なら、10分でも

解きにくい難問でしょう。

 

ちなみに、桜蔭については過去2本の

記事を書いてます。大人向け、PC向け

の書き方ですが、参考までに。

 

 

cf.3人の移動(徒歩・ラン・自転車)、

 距離と時間の計算~桜蔭2016算数

 

 ランニング(5人のリレー)の距離計算

  ~桜蔭中学2015入試・算数

 

 

   ☆     ☆     ☆

図だけは朝日新聞をそのまま引用します。

 

(問題) 半径が3cmの円Aと、1辺の長さ

 が6cmの正方形Bを用いてできる次の

 3つの図形をA+A、A+B、B+Bと

 呼ぶことにします。

 

180220a

 

このとき、次の問いに答えなさい。

① A+A、A+B、B+Bの面積は

  それぞれ何cm² ですか。

② 同じように、AとBを合わせて10個

  用いて、下のような図形を作ります。

 

180220b

 

  両端にAを使うとき、Bをできるだけ

  少なく使って面積が250cm² 以上の

  図形を作るには、Bを何個使いますか。

  また、作った図形の面積は何cm²

  ですか。

 

 

    ☆     ☆     ☆

(解答)

 A+A、A+B、B+Bで、重なった 

 部分の面積をそれぞれ、aa、ab

 bbと呼ぶことにする。

 

 aa=(Aの4分の1)×2

    -(小さい正方形)

  =(3×3×3.14×1/2)-9

  =5.13

 

 ab=(Aの4分の1)

   =3×3×3.14×1/4

   =7.065

 

 bb=9

 

① A+A=(円2コ)-aa

    =3×3×3.14×2-5.13

    =51.39 (cm²) ・・・答

 

  A+B=円+正方形-ab

    =3×3×3.14+36-7.065

    =57.195 (cm²) ・・・答

 

  B+B=(正方形2コ)-bb

     =36×2-9

     =63 (cm²) ・・・答

 

 円Aだけ10個組み合わせてみると、

 (面積)=(円10コ)-aa×9

   =3×3×3.14×10-5.13×9

   =282.6-46.17

   =236.43

 

 よって、250cm²以上にするには、

 14cm²ほど増やせばよい

 

 Bを1個入れてA+B+Aの形を作ると

 (面積)=(円2コ)+正方形-ab×2

   =56.52+36-7.065×2

   =92.52-14.13

   =78.39

 

 それに対して、A+A+Aの形だと、

 (面積)=(円3コ)-aa×2

    =28.26×3-5.13×2

    =84.78-10.26

    =74.52

 

 つまり、Bを1個はさみ込むと、面積は 

 4cm² くらい大きくなる。

 よって、Bを4個はさみ込めばよい

 

 ab=7.065、bb=9だから、

 AとBだけ重ねて、BとBは重ならない

 ようにした方がムダが少なくて、Bの

 数も少なくできる。

 

 たとえば、ABABAABABAの順

 他の同様の順でも面積は同じになる。

 

したがって、

 (作った図形の面積)

  =(円6コ)+(正方形4コ)

     -ab×8-aa

  =28.26×6+36×4

    -7.065×8-5.13

  =169.56+144-61.65

  =251.91 (cm²) ・・・答

 

 

   ☆     ☆     ☆

「250cm²以上」というような問題を

解くとき、特に小学生なら、大まかな

計算を使うと良いでしょう。

 

上の解答では、14cm² ほど増やせばとか、

正方形Bを1個はさむと4cm² くらい大きく

なる、という話を使ってます。正確に3.87

大きくなるとか考えてもいいのですが、面倒

だし、逆に間違えやすくなります。

 

中学、高校になると、大小を表す不等号を

使った「不等式」も使います。ただ、最後の

答を出すだけのとき、あるいは、みんなに

分かりやすく説明するときは、大学以上

でも大まかな計算(近似)が役立つのです。

 

理科や社会の分野でも、実際の世の中で

役に立つ数字のかなりの部分は大まかな

ものです。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

            (計 1770字)

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