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三角形の相似から四角形の面積比へ~開成中学2018入試・算数・問題1(7)

2月6日の朝日新聞の朝刊に、2018年開成

中学校の入試問題(算数)が出てました。解答

例(最後の答だけ)はSAPIXの提供です。

試験は2月1日にあったようで、四谷大塚HP

も問題と正解(最後の答)を公開してました

 

問題1(7)の図形の問題が面白かったので、

計算や解き方、考え方をブログの記事にして

みます。小学生(5、6年)でも読めるように

書いてるつもりですが、解き方は小学校や

塾と少し違ってるかも知れません。文は

スマホ向けに短く改行してます。

 

去年も図形の問題で記事を書いてます。      

 三角形の相似と比の応用

 ~開成中学2017入試・算数・問題3

 

今年の方が単純だと思いますが、受験生が

どう思ったかは分かりません。ただ、算数は

85点満点で、合格者の平均は73.9点。

合格した人のほとんどは、下の問題を3分

くらいで解いてると思います。

 

 

   ☆     ☆     ☆

入試問題を見る前に、基本的な考え方や

コツを例題で見ておきましょう。すぐ分かる

人はスクロールで飛ばしてください。

 

180212a

 

上図で、△ABEと△ACDの面積比は

どうなるでしょうか?

 

△ABE=(3/5)×△ABD

   =(3/5)×{ (1/2)×△ACD }

   =(3/10)×△ACD

 

よって、 3:10 になります。この面積

計算を2回使うのが下の試験問題です。

 

 

   ☆     ☆     ☆

図だけは朝日新聞をそのまま引用します。

「∴」という記号は、「よって」とか「ゆえに」

を表します。「△」は「三角形」を表します。

 

180212b

 

図において、四角形ABCDは正方形で、

BE=EF=FC、CG=GDです。

(i) 三角形AIJと四角形ABCDの面積比

  を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(ⅱ) 四角形HIJKと四角形ABCDの

  面積比を最も簡単な整数比で答え

  なさい。 

 

 

   ☆     ☆     ☆

(解答) (ⅰ)

180212c

 

点Fを通ってCDに平行な線FLを引くと、

△BLFと△BGCは相似で、

△JLFと△JBAも相似。

 

∴ LF=(2/3)×GC

   =(2/3)×{(1/2)×AB}

   =(1/3)×AB

∴ AJ : JF = 3 : 1

 

同様に考えて、

 AI : IE = 6 : 1

 

∴ △AIJ

 =(3/4)×(6/7)×△AEF

 =(9/14)×△AEF

 =(3/14)×△ABC

 =(3/28)×四角形ABCD

 

∴ △AIJ : 四角形ABCD

   = 3 : 28 ・・・答

 

 

(ⅱ)

180212d

 

点Fを通ってCDに平行な線FMを引くと、

△BMFと△BDCは相似で、

△KMFと△KBAも相似。

 

∴ MF=(2/3)×DC

   =(2/3)×AB

∴ AK : KF = 3 : 2

 

同様に考えて、

 AH : HE = 3 : 1

 

∴ △AHK

 =(3/5)×(3/4)×△AEF

 =(9/20)×△AEF

 =(3/20)×△ABC

 =(3/40)×四角形ABCD

 

(1)の結果と合わせて、

 四角形HIJK

  =△AIJ-△AHK

  ={(3/28)-(3/40)}

     ×四角形ABCD

  =(9/280)×四角形ABCD

 

∴ 四角形HIJK : 四角形ABCD

  = 9 : 280 ・・・答

 

 

   ☆     ☆     ☆

(ⅰ)は、(ⅱ)のヒントになってます。

上の解答で「同様に考えて」と書いてる

2ヶ所は、同じような線を自分で書いて

考えてください。

 

その時々の計算で不要なことを消した図

を自分で描くと分かりやすくなります。

下図の赤線(または青線)を引いても

解けます。

 

180215b_2

 

中学なら、上の解答のような証明の文章を

自分で書くことがあります。高校なら「座標

計算」や「ベクトル」(矢印)という道具を

使う方法も習います。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf. ランニング(5人のリレー)の距離計算

    ~桜蔭中学2015入試・算数

 3人の移動(徒歩・ラン・自転車)、距離と時間

   ~桜蔭中学2016入試・算数

 

            (計 1504字)

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数学」カテゴリの記事

コメント

正面突破は凄く面倒・・と思っていました、
赤い線LとM、思いつきませんでした。
流石、、

投稿: gauss | 2018年2月14日 (水) 00時51分

> gauss さん
   
こんにちは。コメントどうもです。
  
補助線の引き方としては、あと2通り自然なものが
あるので、図を追加しときました。
僕が「中学生」なら、反射的に赤線を引きます。
小学生なら、すぐ諦めて飛ばします♪
  
補助線をどう引けばいいのか、一般的な理論が欲しいと
思ってますが、大まかな経験則とか直感しか見つかってません。
その辺りが数学の難しさだし、面白さでもありますね shine

投稿: テンメイ | 2018年2月15日 (木) 16時06分

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