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数学甲子園2017本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方2

(☆18年9月追記: 翌年の記事アップ。

数学甲子園2018予選、正答率の低い

   3つの問題の解き方と感想 )

 

 

    ☆    ☆    ☆

数学甲子園2017本選については、既に7ヶ月前に簡単な

解説記事をアップしてある

 

 本選Math Battle、問題と解き方(abema動画)

 

ただ、その時は動画で確認できた9問しか扱ってない。実際のマス・

バトルでは、日本語12問、英語6問、合計18問の出題だった。

すべて、最終的な答のみを求める客観的問題。

 

3日前(2018年4月18日)になってようやく、全問題と模範解答

(最後の答のみ)が公式サイトで公開されたので、続編記事を書く

ことにしよう。ただ時間が無いので、今日は日本語の残りの問題

5つのみ。英語の残りの問題はたぶん来週、3本目の記事で扱う。

 

なお、去年の予選については既に去年、記事をアップしておいた

 

 数学甲子園2017予選、全20問の問題、解き方、感想

 

 

      ☆        ☆        ☆

それでは、日本語の残りの問題を見てみよう。

 

問題2 三角形ABCにおいて、BC=a、CA=b、AB=c

   とします。右の図のように、各頂点から向かい合う

   辺に直線を引き、頂点Aから引いた直線と頂点B

   から引いた直線との交点をA´、頂点Bから引いた

   直線と頂点Cから引いた直線との交点をB´、頂点

   Cから引いた直線と頂点Aから引いた直線との

   交点をC´とするとき、

   三角形ABC ∽ 三角形A´B´C´となりました。

   このとき、比AA´:BB´:CC´をa、b、cを

   用いて表しなさい。

 

180421a

 

解き方 今回、私が一番難しいと思ったのはこの問題だった。

   やり方は色々思いつくけど、どれも面倒。もっと鮮やかな

   解法はないかと考えたけど、まだ思いついてない。三角形

   の相似とメネラウスの定理を使って解いておこう。

 

180421b

 

  上図で、青い小さな角3つが等しいことはすぐ示せる。

  また条件より、三角形A´B´C´の3辺の長さを

  上のように pa、pb、pc とおける(p>0)。

 

  ここで、三角形ABQ ∽ 三角形A´AQより、

  AB/AQ = A´A/A´Q

  ∴ A´A = AB×A´Q/AQ

       = c A´Q/AQ ・・・①

 

  一方、図形AA´B´Cでメネラウスの定理を使うと、

  (pa/CC´)(b/AQ)(A´Q/pc)=1

  ∴ CC´=(ab/c)A´Q/AQ ・・・②  

  ①②より、 AA´ = (c²/ab)CC´ ・・・③

 

  同様のやり方で、三角形CAPと図形A´BCC´

  について考えると、

  BB´ = (ca/b²)CC´ ・・・④

 

  ③④より、 AA´: BB´: CC´

   =(c²/ab): (ca/b²): 1

   =(c/a): (a/b): (b/c) ・・・答

 

 

    ☆       ☆       ☆

問題5 x = ³√(2+√3)+³√(2-√3)

   が方程式 f(x)=0 の解の1つとなるような

   整数係数の3次多項式f(x)を求めなさい。

   ただし、x³の係数は1であるとします。

 

解き方 特殊な定理や知識を使うとすぐ解けるのかも

   知れないけど、ここでは普通に計算する。

 

  求める多項式を x³+ax²+bx+cとおき、

  方程式に与えられた解を代入して整理すると、

  {³√(7+4√3)+2+³√(7-4√3)}a

   +{³√(2+√3)+³√(2-√3)}(b+3)

   +c+4=0

  ∴ a=0,b=-3,c=-4

  よって求める多項式は、

   x³-3x-4 ・・・答

 

 

      ☆       ☆       ☆

問題7 [x]をx以下の最大の整数とします。このとき、

   第n項が An = [n]・{(-1)の n-1乗}

   で表される数列 {An} の初項A₁から

   第2017項A₂₀₁₇までの和を求めなさい。

 

解き方 初項から具体的に並べて行くと、すぐ

   単純な規則性が分かる。第n群の和が

   n{(-1)のn-1乗}である群数列で、

   第n群の末項までの全項数は(n+1)²-1。

 

   和を書きくだしてみると、      

   1-1+1

   -2+2-2+2-2

   +3-3+3-3+3-3+3・・・・・・

   =1-2+3-4+・・・・・・

 

   よって第43群まで、つまり第1935項

   までの和は、

   1-2+3-4+・・・+43 = 22

 

   その後の第44群で、第2017項までは、

   -44+44-44+44-・・・+44

   よって、この部分だけの和は0。

 

   ∴ (第2017項までの和)

     =22+0=22 ・・・答

 

 

      ☆       ☆       ☆

問題10 xy平面上の曲線

   13x²+7y²-6(√3)xy-12x

     -12(√3)y+20=0

   を、原点を中心として5π/3だけ回転

   させた曲線の方程式を求めなさい。

 

解き方 高校の学習指導要領とかカリキュラムは

    度々変わるので、本当に分かりにくい。

    今だと、行列と一次変換が使えないから、

    数学Ⅲの複素数平面を使うということか。

    まあ、本戦出場者なら色々と知識がある

    だろうし、正答さえ出せばいい。

 

    5π/3だけ回転させるということは、

    -π/3(つまり-60度)だけ回転

    させるということ。

 

    回転後の曲線上の点(X,Y)を60度回転

    させると、複素数の掛け算を利用しても、

    行列の掛け算を利用しても、こうなる。

     (x座標)=X/2-(√3)Y/2

     (y座標)=(√3)X/2+Y/2

 

    これが元の曲線の式を満たすのだから、

    与式に代入して長い式を整理すると、

    (X-3)²/4+Y²=1

 

    最後に変数の文字だけ変えると、求める

    曲線の方程式は、

     (x-3)²/4+y²=1 ・・・答

 

 

     ☆       ☆       ☆

問題11 1辺の長さが6cmの正方形の紙が

    あります。右の図のように、この正方形

    の四隅からそれぞれ x cm(0<x<3)

    だけ離れた点をとり、正方形の中心と

    結んでできる凧型の部分を切り取り、

    残りの部分を側面とする四角錘の容器

    を作ります(のりしろの部分を考える

    必要はありません)。この容器の容積

    を Vcm³ とするとき、Vの最大値とその

    ときの x の値をそれぞれ求めなさい。

 

180421c

 

解き方 四角錘の底面は、1辺 6-2xの正方形。

   斜辺は、√{(3-x)²+3²}。

   高さは √{9-(x-3)²}となるから、

   V=(4/3)(x-3)²√{9-(x-3)²}

 

   9-(x-3)²=t² (0<t<3)とおくと、

   V=(4/3)(9-t²)t

    =(4/3)(-t³+9t)

 

   微分すると、t=√3の時、

   最大値 8√3 ・・・答

   xの値は、3-√6 ・・・答

 

それでは、続きはまた後ほど。。☆彡

 

 

 

P.S. 4日後に残りの記事をアップした。

  本選Math Battle、問題と解き方3

 

 

cf.数学甲子園2016本選1st Stage、全問題の解き方

  2016予選、全20問の問題、解き方、感想

  2016(Abemaライブ配信)、前半感想

  2015準々決勝、全問コメント&解き方

  2015予選、全20問の問題、解き方、感想

  2014準々決勝、全問コメント&問題10解答・別解

  2013予選のポイント、問題15の解説&解答      

  2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

  数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ (2011)

 

           (計 2660字)

 (追記94字 ; 合計2754字)

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