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数学甲子園2017本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方3

(☆18年9月追記: 翌年の記事アップ。

数学甲子園2018予選、正答率の低い

   3つの問題の解き方と感想 )

 

 

    ☆    ☆    ☆

数学甲子園2017本選については、

既に3本の記事を書いてる。

 

 予選、全20問の問題、解き方、感想

 本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

 本選Math Battle、問題と解き方2

 

これから書くこの記事が最後で、本選マス

バトルの3本目。残った英語の問題4問を

簡単に紹介、英文和訳&解説する。全体

的に、日本語の問題よりは難易度レベル

が低め。

 

全問題と模範解答(最後の答のみ)は、

公式サイトで公開中。以下、スマホ用に

1行の字数を減らすので、読みにくい面

もある。悪しからず。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題14 In how many different

 ways can a convex heptagon be

 decomposed into triangles by

 diagonals which do not intersect

 within the heptagon?

 

 凸七角形を、内部で交差しない対角線

 によって三角形へと分解する方法は、

 何通りあるか。

 

解き方 個人的にはこれが二番目に

 難しい問題だった。場合の数は多くない

 けど、意外と数えにくい。以下の多角形

 は全てウィキメディアで公開されてる物。

 

 まず凸四角形だと、明らかに2通り

 凸五角形だと、ある特定の辺がどの頂点

 と三角形をなすかを考えて場合分けする

 と、5通りだと分かる。

180425a

 

 上図だと、赤い辺がピンクの三角形を

 作る場合、2通り(残った右下部分は

 四角形になることに注目)。赤い辺が

 緑の三角形を作る場合も2通り。青の

 三角形だと1通り。合計で5通り。

 

180425b

 

 凸六角形でも同様に、赤い辺が作る

 三角形で場合分け。ピンクと紫が5通り

 ずつ。青と緑が2通りずつ。計14通り

 四角形や五角形の分け方を利用する。

 

180425c

 

 最後に、凸七角形。ピンクと茶色が14通り

 ずつ。青と紫が5通りずつ。緑の場合、左

 の四角形で2通り、右の四角形で2通り

 分解できるから、2×2=4通り。

 

 したがって合計は、

 14×2+5×2+4=42通り ・・・答

 

 

問題15 The coefficient of x² in the

 expansion of (1+ax)ⁿ is 63 and

 the coefficient of x is 12. Find

 the values of a and n, where a

 is a real number and n is a

 positive integer.

 

 (1+ax)ⁿの展開において、x²の

 係数は63で、xの係数は12。

 実数aと、正の整数nの値を求めよ。

 

解き方 これは完全にサービス問題。

 二項定理で展開すると、条件より、

 (x²の係数)=n(n-1)a²/2=63

 (xの係数)=na=12

 

 ∴ a=3/2, n=8 ・・・答

 

 

問題16 For △ABC with AB=12

 and AC=16, a point D lies on

 the side BC such that BD:DC

 =2:3. Points E and F are taken

 on sides AB and AC, respectively,

 and two lines EF and AD intersect

 at G. If 2 AE=AF, find EG:GF.

 

 AB=12、AC=16である三角形

 ABCにおいて、BCを2:3に内分

 する点をDとする。AB、AC上に

 それぞれ点E、Fを取り、2直線

 EFとADの交点をGとする。

 2AE=AFの時、

 EG:GFを求めよ。

 

解き方 これもサービス問題。ベクトルの

 1次独立とか使うより、補助線と

 メネラウスの定理で解くのが速い。

 

180425d

 

 図形AHFGにおいて、

 (FI/IH)(HA/AE)(EG/GF)=1

 ∴ (3/2)・(1.5/1)・(EG/GF)=1

 ∴ EG/GF=4/9

 ∴ EG:GF = 4:9 ・・・答

 

 

問題17 Let D be the region bounded

 by y=1-x² and y=0. Find the

 volume of the solid obtained by

 revolving D about the line y=-3.

 

 y=1-x²とy=0で囲まれた領域

 をDとする。Dを、直線y=-3の

 まわりに回転させて出来る立体

 の体積を求めよ。

 

解き方 これも簡単。y軸方向に+3

 平行移動して、y=4-x²、y=3

 で囲まれる領域を、x軸のまわりに

 回転させればよい。定積分の区間

 は0≦x≦1で計算して、2倍する。

 

 (体積)=

 2π∫{(4-x²)²-3²}dx

 =2π×68/15

 =136π/15 ・・・答

 

 

以上ですべて終了。マスバトル全体

だと、適度な難しさになってた。今年

は統計の分野から出題されるかも。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

cf.2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説      

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

          (計 2002字)

 (追記54字、合計2056字)

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