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数学甲子園2018本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方1(英語の問題)

(☆追記: 第2弾も暫定版でアップ。

 数学甲子園2018マスバトル2

   問題1~6 )

 

 

   ☆    ☆    ☆

今、連休中で不自由な状況だけど、先日

フレッシュ動画でライブ中継された数学

甲子園2018のマスバトル(普通の

テスト)の解説記事を始めてみよう。

予選で既に公開された問題3つは、

すぐに記事をアップしてある

 

放送時間内だけ問題が公開されて、答は    

発表されてないから、単なる参考記事。

放送時間内だけ問題が公開されて、答は    

過去間違えたことは(ほとんど)無い    

けど、一部の問題は解きにくい。

 

    

今回はまず、英語の問題6問の和訳と    

解き方、感想を書く。式は少ししか入力

しないし、答が間違ってる可能性も一応    

あるので、ご注意あれ。今使ってる端末

はiPadで、スマホ用に1行を短く    

入力する。PCの方、悪しからず。

 

   

 

  ☆    ☆    ☆

では、全18問中の13問から。    

まず簡単な3元連立方程式。

 

第13問    

Find the values of a for which    

the following system of    

equations has infinitely  many    

solutions.

xー2y+z=2    

x+yー3z=a    

2xーyー2z=a²

 

以下の連立方程式が無限に多くの解を    

持つようなaの値を求めよ。

 

解答(略解)    

式1と式2からzを消去して、    

4xー5y=a+6    

式1と3からzを消去して、

4xー5y=a²+4     

よって、無数の解を持つ条件は

a+6=a²+4    

  a=ー1,2  ・・・答

 

感想  大学レベルの線形代数の知識とか    

使うまでもない数 I の基本問題。時間と    

点数を稼ぎたい所。

 

 

  ☆    ☆    ☆   

次も数 I の基本、円の方程式と接線。

 

第14問    

For the circle    

x²+y²+6xー8y=0,

find the range of values of m    

for which the family of lines    

y=mxー1/3    

do not meet the circle.

 

円x²+y²+6xー8y=0

に対し、直線y=mxー1/3    

が共有点を持たないようなmの

値の範囲を求めよ。

 

略解    

接する時、m= 7/24,4/3      

7/24<m<4/3  ・・・答

 

感想  接線の傾きは、判別式より、点と

直線の距離の公式の方がちょっと楽。

出て来るmの2次方程式の因数分解

で焦るかも。不等号の下の等号は不要

だと思う(私が調べた限り)。

 

 

  ☆    ☆    ☆

次は、英語問題で唯一の難問。時間内に    

「解けなかった」参加者が多かったと思う    

けど、「答の推測だけ」なら綺麗な図で可能♪

 

第15問    

Point E lies on side CD of rectangle

ABCD.  Circle O is inscribed in

trapezoid ABCE. Circle P is tangent     

to AB, AE, and Circle O externally.    

Circle Q is inscribed in △ADE.    

Find the radius of Circle O if the

radii of circles P and Q are both 3.

 

点Eが長方形ABCDの辺CD上に

ある。円Oは台形ABCEに内接する。

円PはAB、AEに接し、円Oに外接。    

円Qは三角形AEDに内接。円P、Qの    

半径が共に3の時、円Oの半径を求めよ。

 

略解

円Pと辺ADの距離をpとし、円Oの    

半径をrとする。

まず、円P、Oと中心点2つ、辺ABに

ついて、三平方の定理と直角三角形の     

相似を用いて、

2√(3r)=(rー3)p/3

   

また、直角三角形AEDの面積を2通りに

表して等号でつなぐと、

(p+3)r     

=3(2p+3r+2√(3r)

2式から√ を消して整理すると

p=3r/(rー3)

この式を用いてpを消すと、

r=12 ・・・答

 

感想 最初、座標計算したら、惜しい所

まで行って挫折。大変な計算になる。

方針変更して図形的に解くとすぐだった。

 

 

  ☆    ☆    ☆

続いて空間のベクトル方程式の基本問題。

 

第16問    

Line L has equation (→r)=    

(ー1,4、0)+λ(1,1,ー1)    

and point A has coordinates

(3,ー2,7). Find the    

coordinates of the reflection of

the point A in L.

 

直線Lのベクトル方程式は、     

(→r) = (ー1,4,0)+λ(1,1,ー1) 、

点Aの座標は(3,ー2,7)。点A    

の、直線Lに対する鏡映点を求めよ。

 

略解    

L上で、点Aの正射影を点Mとする。

Mの座標はLの方程式を満たし、さらに    

ベクトルAMとLの方向ベクトルの内積     

が0だから、Mは(ー4,1,3)。

よって、鏡映点をBとすると、    

(→OB)=(→OA)+2(→AM)    

  =(ー11,4,ー1)・・・答

   

 

    

感想 英語の前置詞「in」につられて     

正射影を求めたくなるけど、鏡映のこと

らしい。直線を1次元の鏡と考えて、その    

鏡の中に鏡映点があるという発想かも。

 

 

  ☆    ☆    ☆

次は複素数平面と3次方程式の

標準的な問題。

 

第17問

The cubic equation 

z³ーaz²+ 3az+b =0    

has real root ー1 and complex    

roots  x±yi, where a, b, x     

and y are real numbers and y>0.     

Note that i represents the imaginary

unit.  If the three points -1, x+yi,    

and x-yi in the complex plane are    

the vertices of an equilateral triangle,       

find all pairs of a and b.

 

3次方程式z³ーaz²+ 3az+b =0    

が、実数解ー1と複素数解x±yi    

を持ち、a、b、x、yは実数、y>0    

である。ここでiは虚数単位。複素数平面上    

の3点ー1、x+yi、xーyiが     

正三角形をなす時、a、bの組を全て求めよ。

 

略解

ー1が実数解であることより、    

b=4a+1    

解と係数の関係より、     

a=ー1+2x    

x²+y²=b    

正三角形をなすための条件より    

x+1=±(√3)y     

以上4つの方程式の連立を解いて、     

(a,b)     

(0,1),(9,37)・・・答

 

感想  簡単な4元連立方程式で、計算

ミスだけがポイント。第2式と第4式を

用いてx、yを消去。a、bに絞り込む。

 

 

  ☆    ☆    ☆     

最後は整数(自然数)の標準〜発展問題。

 

第18問    

Find all three-digit numbers that are    

equal to the sum of the factorials    

of their digits.

 

3ケタの数の内、各ケタの数の階乗の和に    

等しいものを全て求めよ。

 

略解     

ケタの数字3つの内、最大の自然数を

考える。 7以上だと、7!=5040で

4ケタになってしまうから不適。

6だと、元の数は699以下なのに、

6!=720だから不適。

4以下だと、元の数は最大でも444で、      

各ケタの数の階乗の和が3ケタに届かない。

 

よって、ケタの数字3つの内、最大は5。    

5!×3=360だから、元の数はこれ以下。    

よって、元の数は355以下で、数字5の    

使用回数は1回か2回。

 

後はしらみつぶしに計算で調べて、     

条件を満たす例は    

145=1!+4!+5!のみ。    

したがって求める数は145のみ。・・・答

 

感想 1つしか見つからないのが不安

だけど、しらみつぶしの計算は簡単。数字

1を1つだけ含むなら元の数は奇数とか

考えてもよい。

 

 

残った日本語の問題は、また後ほど扱う予定。   

今週は僅かに制限オーバーで計15302字

今日のところはこの辺で☆彡

 

 

cf. 数学甲子園2018予選、

    正答率の低い3つの問題

  数学甲子園2017予選、

    全20問の問題、解き方、感想

  同・本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

  同・問題と解き方2

  同・問題と解き方3

 

 2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説      

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

          (計 3185字)

   (追記41字; 合計3226字)

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