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数学甲子園2018予選、正答率の低い3つの問題の解き方と感想

☆追記: マスバトルの記事の1本目をアップ。

  数学甲子園2018本選Math Battle、

   問題と解き方1(英語の問題) )

 

 

    ☆    ☆    ☆

数学甲子園2018の本選(9月16日)の

様子を、FRESH LIVEの動画が中継。

初の試みとして(?)、ライブ中継中だけ、

参加者が挑戦したMATH BATTLE

(マス・バトル)の全問題が公開された。

 

ところが予選の20問については、中継の

途中に3問解説しただけ。正答率が低い

問題の代表のようで、残り17問について

はまだ分からない。

 

一昨年は簡単だったけど、去年は難化。

今年はさらに難化して、平均点が大幅に

下がったとのこと。ひょっとすると、女子

選手がかなり減った(らしい)ことと関係

してるかも(単なる統計的な一般論)。

 

全体(2425人)の平均点は、4.3点。

本選出場者(159人)の平均は11.8点。

20点満点は0人、19点が2人。最も多い

点数(400人近く)は1点。来年は多少、

易しくなると予想する。

 

予選問題がすべて公開されるのがいつに

なるのか分からないけど、順番として先に

予選を3問だけ解説しとこう。以下の解答

は、数学検定協会の(?)スライドの略解

を参考に、私が少しアレンジしたものだ。

 

入力に使用してるのはPCだけど、スマホ

によるアクセスが多いと思われるので、

1行の字数を少なくしてある。

 

 

   ☆    ☆    ☆

番号順ではなく、ライブ中継の紹介順に

見て行こう。まず、全体の正答率7.6%

予選通過者の正答率22.6%の問題。

 

問題10

すべての辺の長さがaである正四角錘と、

1辺の長さがaである正四面体があります。

この2つの立体の正三角形の面をぴったり

とくっつけてできる立体は、何面体ですか。

 

解答

1辺の長さは1として一般性を失わない。

 

180917a

 

まず正四面体の2面がなす角α

(0°<α<180°、図の∠OMC)

について、余弦定理より、

 

cos α = 〔{(√3)/2}²+{(√3)/2}²

   -1²〕 / 2・{(√3)/2}²

   = 1/3

∴ sin α = (2√2)/3

 

180917b

 

次に正四角錘の正三角形の面同士が

なす角β(同上、図の∠AMC、前の図

と頂点の名前は合ってない)について、

余弦定理より、

 

cos β = 〔{(√3)/2}²+{(√3)/2}²

   -(√2)²〕 / 2・{(√3)/2}²

    = -1/3

∴ sin β =  (2√2)/3

 

よって、対応する正三角形をくっつけた

時、新たに隣接する正三角形のなす面

の角α+βについて、加法定理より、

 

cos (α+β) = (-1/3)×1/3

        ー  {(2√2)/3}×{(2√2)/3}

       = ー1

0°<α+β<360°より、

 α+β=180°

 

よって正四面体において、くっつけた

面の両隣の2面は、正四角錘の2面

(共に正三角形)と平らにつながって

一体化。一つの面へと統合される。

それ以外にも、元の2立体それぞれ

から、くっつけた1面が消滅。

 

∴ (くっつけて出来た立体の面の数)

  =(正四角錘の面の数ー1)

   +(正四面体の面の数ー1)-2

  =5

 

したがって新たな立体は五面体。・・・

 

 

感想  

180917c

 

実はわりと有名な話のようで、検索する

とあちこちに類題や解説がある。上図は

岐阜大学のpdfファイルより。幾何学的

(図形的)な議論を詳しく書いてた

 

私が参加者なら、簡単すぎて

 (5ー1)+(4ー1)=7面

はあり得ないと考えると思う。

その後、飛ばして別の問題に行くか、

直感的に6面とか5面と記入して、

チェックは後回しにするか。

 

正四面体を「2つ」合体させた立体を

2個作って、片方は90°回転させて

正方形の面でくっつけると、1辺2aの

正四面体になるとか解説。興味深い。

 

 

    ☆    ☆    ☆

続いて、最も難しかった問題。全体の

正答率はわずか1%通過者8.2%

全体の「無答」率は70.4%。

 

問題6

x=ω+2i を解にもつ整数係数の

n次方程式のうち、次数が最小でxの

最高次数の係数が1であるものを

求めなさい。ただし、ωはω³=1を

満たす虚数、iは虚数単位を表します。

 

解答 (記述式なら不完全)

ω³=1より、

(ωー1)(ω²+ω+1)=0。

ωは虚数だから、ω²+ω+1=0。

 

ω=xー2iを代入してωを消すと、

(x-2i)²+(xー2i)+1=0

iで整理して、 x²+xー3=(4x+2)i

両辺2乗でiを消すと、

(x²+xー3)²=ー(4x+2)²

∴ x⁴+2x³+11x²+10x+13=0・・・答

 

 

感想

ある程度以上の数学好き、理屈好きなら、

直ちに論証不足だと気付くはず。実際、

私は動画を見ながらすぐ突っ込んだ♪

「次数が最小」ということの説明がない。

 

ただ、予選は最後の答だけ出せばいいし、

ωでさえ3次方程式の解だから、4次で

十分低いと考えて済ませるのが実戦的。

 

本選での解説では、美人教師っぽい(笑)

田中さん(?)が(わざと)間違えて、6次式

を提示。ω³=1を利用してωを消したもの。

 

男性が突っ込んで、「最小」の解説をしてた

けど、あれでは不十分。とりあえず求めた

候補の方程式を因数分解したりして考察

しても、「他に」もっと低い次数の方程式が

ないことまでは示せてない。

 

モニック多項式⇒整数解以外の

有理数解を持たない」という話を付け

加えてたけど、使い方などの説明は無し。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では最後の3問目。全体の正答率

5.3%通過者39.6%。これはわりと

普通の問題で、もう少し時間があれば

解けた人が多かったと思う。

 

問題10

1からn(n≧2)までの相異なるn個の

整数の中から無作為に2個選びます。

大きい数をX、小さい数をYとするとき、

Xの期待値を求めなさい。

 

解答

まず、2個の選び方は全部で nC₂通り。

つまりn(nー1)/2通りで、これらは

同様に確からしい。

 

その内、X=k (2≦k≦n)である

組合せは、Y=1,・・・,kー1の時

だから kー1通り。

 

∴ (X=kである確率)

  =P(X=k)

  =(kー1)/{n(nー1)/2}

  =2(kー1)/n(nー1)

 

∴ (Xの期待値)

 = E(X)

 =∑k・P(X=k) (ただし1≦k≦n)

 ={2/n(nー1)}∑k(kー1)

 ={2/n(nー1)}×

  {n(n+1)(2n+1)/6ーn(n+1)/2}

 =2(n+1)/3 ・・・答

 

 

感想

私の第一感だと、大きい数と小さい数と

言っても、ほんの少しの差でいいから、

XもYもn個の自然数の平均値

(n+1)/2に近いと考えたくなるけど、

Xはかなり大きくなってる。

 

ちなみにYの期待値は(n+1)/3で、

Xの期待値の半分。大きく離れた2つの

期待値の平均が、全体の平均に一致。

 

要するに、2つの数の差の平均が

(n+1)/3で、その半分だけ全体平均

より大きいのがXの期待値、半分だけ

全体平均より小さいのがYの期待値か。

 

なお、この話は、「順序統計量」とか

ベータ分布」へと一般化されるとのこと。

自然数、整数みたいな離散的な確率変数

だけでなく、連続的なものも考える。

 

ともあれ、今日のところはこの辺で。

参加者とスタッフの皆さん、どうも

お疲れさま。。☆彡

 

 

 

cf. 数学甲子園2017予選、

    全20問の問題、解き方、感想

  同・本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

  同・問題と解き方2

  同・問題と解き方3

 

 2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説      

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

           (計 2972字)

   (追記62字 ; 合計3034字)

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数学」カテゴリの記事

コメント

今年も私は会場にいました。テンメイとほぼ同じ感想を持ちました。やはり、、「他に」もっと低い次数の方程式がないことまでは示せてない、と私も思います。

投稿: gauss | 2018年9月18日 (火) 01時19分

> gauss さん
   
こんばんは。毎度どうもです。
凄いですね。「参加」回数の最多記録かも♪
 
専門家でもやっぱり、そう思いますか。
高度な背景的知識を使えばあれで証明になるのかな?
・・とも思ったのですが、個人的「感想」として
つぶやいてみました。
  
証明はやろうと思えば出来そうな気もしますが、
需要が無さそうだし、とりあえずスルーしときます shine

投稿: テンメイ | 2018年9月19日 (水) 00時28分

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