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数学甲子園2018本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方2(問題1~6)

(☆18年11月2日の追記

 第3弾、第4弾記事をアップ。

 

 数学甲子園2018マスバトル3

 (第7問、白黒タイル) 

 本選、解き方4(問題8~12))

 

 

   ☆    ☆    ☆

残念ながら未完成の暫定版にすぎない

けど、今さら代わりの記事を書く余裕も

ない。今日の分の記事として、数学

甲子園2018本選マス・バトルの

記事の2本目をアップしとこう。

 

スマホ閲覧用に1行の字数を少なく

してあるので、PCの方、悪しからず。    

ちなみに1本目(問題13~18)は

下の通り。

 

 数学甲子園2018本選Math

 Battle(マスバトル)、問題と

 解き方1(英語の問題

 

 

   ☆    ☆    ☆

第1問

次の式を整数係数の範囲で

因数分解しなさい。

(2x²-1)²+{2(x+1)²-1}²

 

解答(略解)

展開して整理すると、

2(4x⁴+8x³+8x²+4x+1)

2(2x²+2x+1)² ・・・答

 

感想

単なるサービス問題だけど、与式の形

が規則的だから、図形的な意味と解法

があるのかも。

 

無料版も公開中のAI、Wolfram

 Alpha(ウルフラム・アルファ)

日本語版に入力して検算すると、

1秒ほどで答を確認できた。

 

181004a2

 

 

   ☆    ☆    ☆

第2問

すべての内角が180°未満の四角形

ABCDにおいて、AB=3、BC=4、

CD=4、DA=1です。

このとき、四角形ABCDの面積をSと

して、Sの範囲を求めなさい。

 

略解 (☆見落としの可能性あり)

四角形を、△ABD+△BCDと考え、

辺BDの長さを少しずつ伸ばしてみる。

僅かに内角180°未満にならない

時は、下図の通り。直角三角形

だから、面積S=6はすぐ分かる。

 

181004b

 

上図からBDを伸ばして行くと、ADとAB

が直角になるまでは、三角形2つの

面積が共に増加する。

 

その後、△ABDの面積は減少するが、

それよりも△BCDの面積の増加の方が

大きい。BD=2xとおき、さらにx²=a

とおいて微分すれば分かる。2次関数

のグラフを見比べるだけでも明らか。

 

181004c

 

上図のように、DAとABが一直線になる

時が面積の限界値を与える(これ未満)。

正三角形だから、

S=(4×2√3)/2=4√3

 

∴ 6 < S < 4√3 ・・・答

 

 

感想 きっちりした値が出ないし、微分が

面倒。さらに凸四角形成立条件もあるから、

不安になる。ただ、直角三角形と正三角形

が限界を与えるのは美しい。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題3

関数y=

(x²ー2x+3)²+2(x²ー2x)+4

の最小値と、そのときのxの値を

求めなさい。

 

略解

x²ー2x+3=(xー1)²+2

       =a

とおく。

a≧2で、等号はx=1の時。

 

y=a²+2(a-3)+4

 =(a+1)²-3

よって、a=2の時にyは最小。

(最小値)=6 (x=1のとき)・・答

 

感想 問題のレベルにムラがあると

いうか、簡単な問題を見抜く選球眼を

問うということか。ウルフラムなら

1秒。いずれスマホ使用可になって、

この種の単純な問題は無くなるかも。

 

181004d

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題4

3桁の正の整数ABCについて、その

累乗 

(ABC)²,(ABC)³,(ABC)⁴,・・・

を計算したところ、どの数も百の位が

A、十の位がB、一の位がCになりました。

このような3桁の正の整数ABCを

すべて求めなさい。

 

略解

2乗が条件を満たせば、3乗以上も

条件を満たす。

まず、1ケタ目の数Cの2乗の1ケタ目

が元通りCになるための条件は、

C=1,5,6。

 

後はしらみつぶしに調べて、求める数は

 376,625 ・・・答

 

感想 理屈を考えてもあまりメリットが

ないから、機械的計算の方が効率的。

ただ、何か上手い工夫があるのかも。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題5

文字A、Bを並べて、次の2条件を

満たす文字列をつくります。

条件1: 全体としてAとBが同数である。

条件2: 文字と文字の間に1つ仕切り

  を入れたとき、その仕切りより左に

  あるAの数はBの数より多い。

 

たとえば、AとBを3個ずつ使うとき、

できる文字列は

 AAABBB、AABABB

の2通りです。

 

AとBをn個ずつ使うとき、このような

文字列は何通りできますか。階乗

記号!を用いて表しなさい。ただし、

nは正の整数とします。

 

略解

左端は必ずA、右端は必ずB。

残ったA、B、n-1コずつ、合計

2(n-1)コは、仕切りの左側で

「Bの数が上回ることがない」ように

作ればよい。ただし同数なら可。

 

この文字列の数は、「カタラン数」

(Catalan number)と

呼ばれ、次の分数で表される。

 

Cat(n-1)

 ={2(n-1)}!

  /  n!(n-1)! ・・・答

 

 

感想 カタラン数の説明や証明は、

ネット上に多数あるが、どれも分かり

やすくはないのでここでは省略した。

上の略解で利用した、問題と少し

だけ違う文字列は、有名らしい。

 

ちなみに『大学への数学 解法の

探求 確率』に載ってる巧妙な

図形的証明は、海外の数学者が

考案。英語版ウィキペディア参照

ただし1対1対応で正しく数えてる

かどうか、確認は簡単ではない。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題6

10²²⁰/(10¹⁰-2) を小数で

表したときの一の位の数を求めなさい。

 

略解 

☆不安だけど答の数値は合ってそう。

 

分母を法とする合同式を用いる。

mod(10¹⁰-2)において、

 10¹⁰≡2

∴ 10²²⁰=(10¹⁰)²²

      ≡2²²

      ≡(2¹⁰)²×2²

      ≡4²×4

      ≡4

よって、10²²⁰-4=(10¹⁰-2)n

とおける(nは整数)。

 

mod10で考えると、

 -4≡-2n

 ∴ n≡2 (mod 5

 

ここで、n≡7(mod 10)だと、

nを設定した等式が成り立たない

(左辺=・・・96、

 右辺=・・・98×n)。

 

したがって、mod10で

 n≡2

∴ 10²²⁰-4≡(10¹⁰-2)×2

∴ 10²²⁰/(10¹⁰-2)

 ≡2+4/(10¹⁰-2)

 

右辺の分数は1より小さく正なので、

問題の分数を小数で表した時の

一の位は、2。 ・・・答

 

 

感想 正直、合同式は慣れてないので

怖い。割り算する時に「法(モード)」が

変わる点は忘れずに考慮してあるが、

論理的なミスが混ざってるかも。

 

ただし、ウルフラムで計算してみると、

確かに2のようだ。分数の計算結果は

下の近似値×10²¹⁰だから、小数第

210位を見ると、2になってる(青線)。

 

181004e

 

ウルフラムのミスまでは責任持てない

ものの、凄い時代になったと感心した。

既に時間切れなので、今日はそろそろ

この辺で。。☆彡

 

 

cf. 数学甲子園2018予選、

    正答率の低い3つの問題

  数学甲子園2017予選、

    全20問の問題、解き方、感想

  同・本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

  同・問題と解き方2

  同・問題と解き方3

 

 2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説      

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

           (計 2704字)

   (追記73字 ; 合計2777字)

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